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壓縮感知中的測量矩陣

發布時間:2022-09-27 23:53:14

壓縮感知重構OMP演算法代碼

%A-稀疏系數矩陣
%D-字典/測量矩陣(已知)
%X-測量值矩陣(已知)
%K-稀疏度
function A=OMP(D,X,L)
[n,P]=size(X);
[n,K]=size(D);
for k=1:P
a=[];
x=X(:,k);
resial=x;%殘差
indx=zeros(L,1);%索引集
for j=1:L
proj=D'*resial;%D轉置與resial相乘,得到與resial與D每一列的內積值
pos=find(abs(proj)==max(abs(proj)));%找到內積最大值的位置
pos=pos(1);%若最大值不止一個,取第一個
indx(j)=pos;%將這個位置存入索引集的第j個值
a=pinv(D(:,indx(1:j)))*x;%indx(1:j)表示第一列前j個元素
resial=x-D(:,indx(1:j))*a;
end
temp=zeros(K,1);
temp(indx)=a;
A(:,k)=temp;%只顯示非零值及其位置
end

❷ 奈奎斯特采樣定理與壓縮感知

姓名:蘇彥愷

學號:14020150008

【嵌牛導讀】:傳統的奈奎斯特采樣定律隨著數字信號處理技術的發展,其缺陷以及應用上的不便日漸凸顯,壓縮感知技術應運而生。本文依據《數字信號處理》課程所學,對奈奎斯特采樣定理進行了原理以及上的概述,同時在本文的後半部分,對壓縮感知這一新式的信號處理技術進行了簡單介紹。在本文的末尾,依據奈奎斯特采樣定理與壓縮感知原理上的異同進行了優缺點的分析,同時對壓縮感知的發展進行了展望。

【嵌牛鼻子】:數字信號處理;奈奎斯特采樣定理;壓縮感知;稀疏矩陣

【嵌牛提問】:什麼是壓縮感知?與傳統的奈奎斯特采樣定理相比,壓縮感知有什麼樣的特點和優勢?

【嵌牛正文】:

奈奎斯特采樣定理部分

一、概述

在數字信號處理領域中,采樣定理是連續時間信號(通常稱為「模擬信號」)和離散時間信號(通常稱為「數字信號」)之間的基本橋梁。該定理說明采樣頻率與信號頻譜之間的關系,是連續信號離散化的基本依據。 它為采樣率建立了一個足夠的條件,該采樣率允許離散采樣序列從有限帶寬的連續時間信號中捕獲所有信息

二、基本原理 :

在進行模擬/數字信號的轉換過程中,當采樣頻率fs.max大於信號中最高頻率fmax的2倍時(fs.max>=2fmax),采樣之後的數字信號完整地保留了原始信號中的信息,一般實際應用中保證采樣頻率為信號最高頻率的5~10倍;采樣定理又稱奈奎斯特定理。

要使實信號采樣後能夠不失真還原,采樣頻率必須大於信號最高頻率的兩倍。

當用采樣頻率F對一個信號進行采樣時,信號中F/2以上的頻率不是消失了,而是對稱的映象到了F/2以下的頻帶中,並且和F/2以下的原有頻率成分疊加起來,這個現象叫做「混疊」(aliasing).

消除混疊的方法有兩種:

1.提高采樣頻率F,即縮小采樣時間間隔.然而實際的信號處理系統不可能達到很大的采樣頻率,處理不了很多的數據.另外,許多信號本身可能含有全頻帶的頻率成分,不可能將采樣頻率提高到無窮大.所以,通過采樣頻率避免混疊是有限制的.

2.採用抗混疊濾波器.在採用頻率F一定的前提下,通過低通濾波器濾掉高於F/2的頻率成分,通過低通濾波器的信號則可避免出現頻率混疊.

公式:C = B * log2 N ( bps )

三、應用

采樣定理通常針對單個變數的函數進行公式化。因此,定理可直接適用於時間相關的信號,並且通常在該上下文中公式化。然而,采樣定理可以以直接的方式擴展到任意多個變數的函數。

灰度圖像通常表示為代表位於行和列采樣位置的交叉處的像素(圖像元素)的相對強度的實數的二維陣列(或矩陣)。因此,圖像需要兩個獨立變數或索引,以指定每個像素唯一一個用於行,一個用於列。

彩色圖像通常由三個單獨的灰度圖像的組合構成,一個代表三原色(紅色,綠色和藍色)或簡稱RGB中的每一個。對於顏色使用3向量的其他顏色空間包括HSV,CIELAB,XYZ等。諸如青色,品紅色,黃色和黑色(CMYK)的一些顏色空間可以通過四維表示顏色。所有這些都被處理為二維采樣域上的向量值函數。

類似於一維離散時間信號,如果采樣解析度或像素密度不足,圖像也可能遭受混疊。例如,具有高頻率(換句話說,條紋之間的距離小)的條紋襯衫的數碼照片可以在襯衫被照相機的圖像感測器采樣時導致襯衫的混淆。對於這種情況,在空間域中采樣的「解決方案」將是更靠近襯衫,使用更高解析度的感測器,或者在用感測器採集圖像之前對圖像進行光學處理

壓縮感知部分

一、概述

壓縮感知(Compressed sensing),也被稱為壓縮采樣(Compressivesampling)或稀疏采樣(Sparse sampling),是一種尋找欠定線性系統的稀疏解的技術。壓縮感知被應用於電子工程尤其是信號處理中,用於獲取和重構稀疏或可壓縮的信號。這個方法利用訊號稀疏的特性,相較於奈奎斯特理論,得以從較少的測量值還原出原來整個欲得知的訊號。MRI就是一個可能使用此方法的應用。這一方法至少已經存在了四十年,由於David Donoho、Emmanuel Candès和陶哲軒的工作,最近這個領域有了長足的發展。近幾年,為了因應即將來臨的第五代移動通信系統,壓縮感知技術也被大量應用在無線通訊系統之中,獲得了大量的關注以及研究。

二、基本原理

為了更好的說明壓縮感知的基本原理,在這里引入奈奎斯特采樣進行比較說明。

如圖2.1所示, 圖b、d為三個餘弦函數信號疊加構成的信號,在頻譜圖(圖a)中只有個峰值。 如果對其進行8倍於全采樣的等間距亞采樣(圖b下方的紅點),則頻域信號周期延拓後,就會發生混疊(圖c),無法從結果中復原出原信號。

而如果採用隨機亞采樣(圖2.2b上方的紅點),那麼這時候頻域就不再是以固定周期進行延拓了,而是會產生大量不相關的干擾值。如圖2.2c,最大的幾個峰值還依稀可見,只是一定程度上被干擾值覆蓋。這些干擾值看上去非常像隨機雜訊,但實際上是由於三個原始信號的非零值發生能量泄露導致的(不同顏色的干擾值表示它們分別是由於對應顏色的原始信號的非零值泄露導致的)。得到如圖2.2d的頻譜圖後,再採用匹配追蹤的演算法,就可以對信號進行恢復。以上就是壓縮感知理論的核心思想——以比奈奎斯特采樣頻率要求的采樣密度更稀疏的密度對信號進行隨機亞采樣,由於頻譜是均勻泄露的,而不是整體延拓的,因此可以通過特別的追蹤方法將原信號恢復。

三、應用

1、全息成像

全息成像是一種記錄被攝物體反射(或透射)光波中全部信息(振幅、相位)的照相技術,而物體反射或者投射的光線可以通過記錄膠片完全重建,通過不同方位和角度觀察照片,可以看到被拍攝的物體的不同的角度,因此記錄得到的想可以使人產生立體視覺。然而全息圖記錄的立體信息非常龐大,在滿足傳統的香農采樣定理進行采樣時很難達到的帶寬及存儲和傳輸這些信息成為限制全息術發展的難題。

壓縮感知技術為傳統的信息采樣傳輸帶來了革命性的突破,為信號的計算和傳輸節省了很大資源。利用壓縮感知可以去掉大量沒有實際意義的信息采樣,通過遠低於傳統采樣樣本點就可以重構出原始信號,解決了全息術在數據存儲和傳輸方面的限制。

2、核磁共振成像

核磁共振成像作為一種極其重要的醫學成像技術,具有對病灶診斷精確、對人體安全性高等優點,但是較長的數據採集時間成為其廣泛應用的瓶頸。因此,在保證成像質量的前提下,探索一種新的快速成像方法迫在眉睫。壓縮感知作為一種全新的信號采樣理論,針對稀疏信號或可壓縮信號,可以在采樣數量遠少於傳統采樣方式的情況下精確地恢復出原始信號,這就為核磁共振圖像的快速獲取提供了一種新的思路。

四、奈奎斯特和壓縮感知的對比

從采樣的角度來看,壓縮感知和基於奈奎斯特采樣定理的傳統信號採集是兩種不同形式的信號採集方式。(壓縮感知打破了傳統信號處理中對於奈奎斯特采樣要求的限制)

1.采樣率:在壓縮感知理論下,信號的采樣率不再取決於信號的帶寬,而是取決於信息在信號中的結構與內容(稀疏性)。關於采樣率的計算方式,壓縮感知是從少量離散測量數據恢復離散數字信號,其計算方式為采樣率=測量值的大小/恢復信號的大小;而傳統信號採集是從離散采樣數據中恢復模擬信號。

2.信號採集方式:傳統采樣理論是通過均勻采樣獲取數據;壓縮感知則通過計算信號與一個觀測函數之間的內積來獲得觀測數據。

3.恢復信號形式:傳統采樣定理關注的對象是無限長的連續信號;壓縮感知是有限維觀測向量空間的向量即離散信號。

4.恢復信號方式:傳統采樣恢復是在奈奎斯特采樣定理的基礎上,通過采樣數據的sinc函數線性內插獲得,而壓縮感知採用的是利用信號的稀疏性,從線性觀測數據中通過求解一個非線性的優化問題來恢復信號的方法。

5.壓縮感知的核心思想:壓縮和采樣合並進行,並且測量值遠小於傳統采樣方法的數據量,突破香農采樣定理的瓶頸,使高解析度的信號採集成為可能。

總結

奈奎斯特采樣定理一直是信號處理領域的金科玉律,但其性能仍沒法滿足諸如全息成像、核磁共振等產生龐大數據的技術的信息恢復。然而在數字信號處理領域進入二十一世紀以後,壓縮感知技術帶來了顛覆性的改變,以比奈奎斯特采樣頻率要求的采樣密度更稀疏的密度對信號進行隨機亞采樣,通過特別的追蹤方法將原信號恢復,使得用於恢復信號的數據量遠少於傳統采樣所需要的數據量。壓縮感知理論的誕生已經對計算科學、信號處理、電子信息等領域產生重大的影響,其理論具有廣闊的應用前景,但仍然不夠完善,希望在今後的研究中能彌補壓縮感知現有的不足,展現其強大的生命力,為更多難題提供新的解決方法。

❸ 壓縮感知的歷史背景

盡管壓縮感知是由 E. J. Candes、J. Romberg、T. Tao 和D. L. Donoho 等科學家於2004 年提出的。但是早在上個世紀,相關領域已經有相當的理論和應用鋪墊,包括圖像處理、地球物理、醫學成像、計算機科學、信號處理、應用數學等。
可能第一個與稀疏信號恢復有關的演算法由法國數學家Prony 提出。這個被稱為的Prony 方法的稀疏信號恢復方法可以通過解一個特徵值問題,從一小部分等間隔采樣的樣本中估計一個稀疏三角多項式的非零幅度和對應的頻率。而最早採用基於L1范數最小化的稀疏約束的人是B. Logan。他發現在數據足夠稀疏的情況下,通過L1范數最小化可以從欠采樣樣本中有效的恢復頻率稀疏信號。D. Donoho和B.Logan 是信號處理領域採用L1范數最小化稀疏約束的先驅。但是地球物理學家早在20 世紀七八十年代就開始利用L1范數最小化來分析地震反射信號了。上世紀90 年代,核磁共振譜處理方面提出採用稀疏重建方法從欠采樣非等間隔樣本中恢復稀疏Fourier 譜。同一時期,圖像處理方面也開始引入稀疏信號處理方法進行圖像處理。在統計學方面,使用L1范數的模型選擇問題和相關的方法也在同期開始展開。
壓縮感知理論在上述理論的基礎上,創造性的將L1范數最小化稀疏約束與隨機矩陣結合,得到一個稀疏信號重建性能的最佳結果。
壓縮感知基於信號的可壓縮性, 通過低維空間、低解析度、欠Nyquist采樣數據的非相關觀測來實現高維信號的感知,豐富了關於信號恢復的優化策略,極大的促進了數學理論和工程應用的結合 。它是傳統資訊理論的一個延伸,但是又超越了傳統的壓縮理論,成為了一門嶄新的子分支。它從誕生之日起到現在不過五年時間,其影響卻已經席捲了大半個應用科學。

❹ 什麼是「壓縮感知」

壓縮感知, 也成為壓縮采樣。英文為Compressed Sampling 或者是 Compressive Sening。於2006年被提出,並被美國科技評論評為2007年度十大科技進展。
經典的采樣定理為香農/乃奎斯特采樣,即要保證信號的完全恢復,至少要有2倍的信號頻率采樣。但是這種采樣當中,其實信息是冗餘的。壓縮感知告訴我們,如果知道信號是稀疏的,那麼可以用遠低於乃奎斯特采樣率,一樣可以很好的恢復信號。
壓縮感知的核心:信號是稀疏的(即其中有K個為非零元素,其他的元素都為0),采樣矩陣和稀疏基是不相關的。
相關內容較多,網路知道裡面一下介紹不清楚。
如果有興趣可以參考 http://dsp.rice.e/cs 。這里前17篇是壓縮感知的綜述,看完後就對概念、模型、求解演算法、應用有個整體的了解。網頁中間的那麼多文獻是針對壓縮感知理論在各個領域的運用。在最後的部分,是網上現有的針對該問題的求解工具箱,大多數是基於Matlab的。只要分析後自己的模型,可以套用工具箱求解,非常方便。

❺ 什麼是「壓縮感知」

壓縮感知,又稱壓縮采樣,壓縮感測。英文為Compressed Sampling、 Compressive Sening或者是Compressed sensing。它作為一個新的采樣理論,它通過開發信號的稀疏特性,在遠小於Nyquist 采樣率的條件下,用隨機采樣獲取信號的離散樣本,然後通過非線性重建演算法完美的重建信號。

經典的采樣定理為香農/乃奎斯特采樣,即要保證信號的完全恢復,至少要有2倍的信號頻率采樣。但是這種采樣當中,其實信息是冗餘的。壓縮感知告訴我們,如果知道信號是稀疏的,那麼可以用遠低於乃奎斯特采樣率,一樣可以很好的恢復信號。
壓縮感知的核心:信號是稀疏的(即其中有K個為非零元素,其他的元素都為0),采樣矩陣和稀疏基是不相關的。
相關內容較多,網路知道裡面一下介紹不清楚。
視頻資料:1.陸吾生教授於2010年在華東師范大學講過"Compressed Sening and Signal Processing", 講的是中文,易聽懂,有點科普性質。2.Professor Justin Romberg 作為壓縮感知理論的創始人之一,2013年在清華大學講過「Comprssive Sening and Spare Recovery 」, 這個視頻要深入些,全英文講座,需要較好的英文和數學功底。

如果有興趣深入學習,建議還是認認真真看文獻。可以參考 http://dsp.rice.e/cs 。這里前17篇是壓縮感知的綜述,看完後就對概念、模型、求解演算法、應用有個整體的了解。網頁中間的那麼多文獻是針對壓縮感知理論在各個領域的運用。在最後的部分,是網上現有的針對該問題的求解工具箱,大多數是基於Matlab的。只要分析後自己的模型,可以套用工具箱求解,非常方便。

❻ 壓縮感知的展望

非線性測量的壓縮感知。講壓縮感知解決的線性逆問題推廣到非線性函數參數的求解問題。廣義的講,非線性測量的壓縮感知,可以包括以前的測量矩陣不確定性問題,量化誤差問題,廣義線性模型問題,有損壓縮樣本問題。
壓縮感知在矩陣分解中的推廣應用。主成分分析,表示字典學習,非負矩陣分解,多維度向量估計,低秩或高秩矩陣恢復問題。
確定性測量矩陣的設計問題。 隨機矩陣在實用上存在難點。隨機矩陣滿足的RIP是充分非必要條件。在實際中,稀疏表示矩陣和隨機矩陣相乘的結果才是決定稀疏恢復性能字典。
傳統壓縮感知是以稀疏結構為先驗信息來進行信號恢復。當前最新進展顯示數據中存在的其他的簡單代數結果也作為先驗信息進行信號估計。聯合開發這些信號先驗信息,將進一步提高壓縮感知的性能。

❼ 如何理解壓縮感知

壓縮感知的幾個看似稀鬆平常,但是很關鍵的理論基礎如下: 壓縮感知最初提出時,是針對稀疏信號x,給出觀測模型y=Φ*x時,要有怎麼樣的Φ,通過什麼樣的方式可以從y中恢復出x。(PS:稀疏信號,是指在這個信號x中非零元素的個數遠小於其中零元素的個數。) 然而,很多信號本身並非稀疏的,比如圖像信號。此時可以通過正交變換Ψ』,將信號投影到另外一個空間,而在這個空間中,信號a=Ψ'*x(analysis model)變得稀疏了。然後我們可以由模型y=Φ*a,即y=Φ*Ψ'*x,來恢復原始信號x。 後來,人們發現不僅僅能夠通過正交變換,得到稀疏的信號;還可以通過一個字典D,得到稀疏信號x=D*a(synthesis model),a是稀疏的,為了增強變換後信號的稀疏性,通常D是過完備的。即模型y=Φ*x=Φ*D*a,此時記A^{CS}=Φ*D,即為感知矩陣。這個模型,是我們現在最常用的。

❽ 請問壓縮感知理論中,「感知」究竟是對原信號還是對原信號的稀疏表達進行的(請看問題補充詳細描述)

測量矩陣phy測量的對象是原始信號x,測出來是測量值y,例如,有160個點(x),經測量後測量值y的點數明顯小於x的,這也是壓縮感知的目的 1、Phy是測量矩陣,而x可以用一組基(Psy)表達 2、對信號進行觀測 3、據我所知的幾種演算法恢復矩陣是根據測量矩陣和殘差弄出來的

❾ 壓縮感知中 稀疏基有很多種 怎麼用matlab表示


  1. CS是個好東西,首先非零個數可以直接用find, length( find(a~=0) ) 就是a中非零元素的個數。

  2. 求解1范數有工具包的,l1-magic.

  3. 你要得到右圖,第一步需要把小波基寫成矩陣Phi,假設要分解的信號是y, 利用l1magic 求解 y=A*Phi*x , A是測量矩陣,如果你只是想用小波分解y,A取1就好了。 得到的x才是稀疏的,否則直接小波分解,得到的系數一般不稀疏

  4. 多看看壓縮感知的基礎,l1magic 也可以適當了解他的用法,對你肯定有幫助

❿ 壓縮感知理論中,投影矩陣是指觀測矩陣還是指稀疏化表示矩陣

應該是觀測矩陣

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