复杂度为log2n的排序算法

A. 几种排序的时间复杂度排序

从时间复杂度看，所有内部排序方法可以分为两类。
1.插入排序 选择排序 起泡排序
其时间复杂度为O(n2)；
2.堆排序 快速排序 归并排序
其时间复杂度为O(nlog2n)。
这是就平均情况而言的，如果从最好的情况考虑，
则插入排序和起泡排序的时间复杂度最好，为O(n)，
而其他算法的最好情况同平均情况大致相同。
如果从最坏的情况考虑，快速排序的时间复杂度为O(n2)，插入排序和起泡排序虽然同平均情况相同，但系数大约增加一倍，运行速度降低一半，而选择排序、堆排序和归并排序则影响不大。

B. 快速排序算法（free pascal)详解，不要源程序，时间复杂度n（logn）；谢了//

快速排序是对冒泡排序的一种改进。它的基本思想是：通过一躺排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一不部分的所有数据都要小，然后再按次方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

假设要排序的数组是A[1]……A[N]，首先任意选取一个数据（通常选用第一个数据）作为关键数据，然后将所有比它的数都放到它前面，所有比它大的数都放到它后面，这个过程称为一躺快速排序。一躺快速排序的算法是：

1）、设置两个变量I、J，排序开始的时候I：=1，J：=N；

2）以第一个数组元素作为关键数据，赋值给X，即X：=A[1]；

3）、从J开始向前搜索，即由后开始向前搜索（J：=J-1），找到第一个小于X的值，两者交换；

4）、从I开始向后搜索，即由前开始向后搜索（I：=I+1），找到第一个大于X的值，两者交换；

5）、重复第3、4步，直到I>j；

详细过程举例如下：
原序： [26 5 37 1 61 11 59 15 48 19]
一： [19 5 15 1 11] 26 [59 61 48 37]
二： [11 5 15 1] 19 26 [59 61 48 37]
三： [1 5] 11 [15] 19 26 [59 61 48 37]
四： 1 5 11 [15] 19 26 [59 61 48 37]
五： 1 5 11 15 19 26 [59 61 48 37]
六： 1 5 11 15 19 26 [37 48] 59 [61]
七： 1 5 11 15 19 26 37 48 59 [61]
八： 1 5 11 15 19 26 37 48 59 61

快速排序法是所有排序方法中速度最快、效率最高的方法。程序如下：
var a:array[0..10] of integer；
n:integer;
procere qsort(l,r:longint);{r，l表示集合的左右边界，即把第r到第l个数进行排序}
var i,j,m:longint;
begin
m:=a[l];{标准数}
i:=l; {I，J为指针}
j:=r;
repeat
while a[i]<m do inc(i);
while a[j]>m do dec(j);
if i<=j then begin
a[0]:=a[i];
a[i]:=a[j];
a[j]:=a[0];
inc(i);
dec(j);
end;
until i>j;
if l<j then qsort(l,j); {如果集合中不止一个数则进入下一层递归，l，J为新边界}
if i<rthen qsort(i,r); {如果集合中不止一个数则进入下一层递归，i，r为新边界}
end;
begin
for n:=1 to 10 do read(a[n]);
qsort(1,10);
for n:=1 to 10 do write(a[n]:4);
end.

C. 设序列长度为n,在最坏的情况下,时间复杂度为O(log2n)的算法是什么

二分法

二分法的基本思想如下：
假设数据是按升序排序的，对于给定值x，从序列的中间位置开始比较，如果当前位置值等于x，则查找成功；若x小于当前位置值，则在数列的前半段中查找；若x大于当前位置值则在数列的后半段中继续查找，直到找到为止。
由于是数组是预先排序好的，所以可以采用折半查询的方式，每次抛掉待查询部分的一半
这样，长度为N的数组，只需要log2N次查询即可，2是对数的底。
例如，长度为7的数组，最多只需要3次就可以找到
O(log2n)只是表示是log2N同一数量级，因为有个取整的问题，而且也有可能在查询过程中就已经找到（也就是某个折半查询点正好是待查询数据），这样O(log2n)就是一个上限

D. 排序算法的复杂度

由于程序比较简单，所以没有加什么注释。所有的程序都给出了完整的运行代码，并在我的VC环境
下运行通过。因为没有涉及MFC和WINDOWS的内容，所以在BORLAND C++的平台上应该也不会有什么
问题的。在代码的后面给出了运行过程示意，希望对理解有帮助。 这是最原始，也是众所周知的最慢的算法了。他的名字的由来因为它的工作看来象是冒泡： #include<iostream>usingnamespacestd;voidBubbleSort(int*pData,intCount){intiTemp;for(inti=0;i<Count;i++){for(intj=Count-1;j>i;j--){if(pData[j]<pData[j-1]){iTemp=pData[j-1];pData[j-1]=pData[j];pData[j]=iTemp;}}}}voidmain(){intdata[7]={10,9,8,7,6,5,4};BubbleSort(data,7）;for(inti=0;i<7;i++){cout<<data[i]<<;}cout<<endl;system(PAUSE);}倒序（最糟情况)
第一轮：10，9，8，7->10，9，7，8->10，7，9，8->7，10，9，8（交换3次)
第二轮：7，10，9，8->7，10，8，9->7，8，10，9（交换2次)
第一轮：7，8，10，9->7，8，9，10（交换1次)
循环次数：6次
交换次数：6次
其他：
第一轮：8，10，7，9->8，10，7，9->8，7，10，9->7，8，10，9（交换2次)
第二轮：7，8，10，9->7，8，9，10->7，8，10，9（交换1次)
（这是原撰写人的--7，8，10，9->7，8，10，9->7，8，10，9（交换0次)，第二轮应该是这样的）
第三轮：7，8，9，10->7，8，9，10（交换1次)
循环次数：6次
交换次数：3次
上面我们给出了程序段，现在我们分析它：这里，影响我们算法性能的主要部分是循环和交换，
显然，次数越多，性能就越差。从上面的程序我们可以看出循环的次数是固定的，为1+2+...+n-1。
写成公式就是1/2*(n-1）*n。
现在注意，我们给出O方法的定义：
若存在一常量K和起点n0，使当n>=n0时，有f(n)<=K*g(n)，则f(n) = O(g(n))。（呵呵，不要说没学好数学呀，对于编程数学是非常重要的！！！）
现在我们来看1/2*(n-1）*n，当K=1/2，n0=1，g(n)=n*n时，1/2*(n-1）*n<=1/2*n*n=K*g(n)。所以f(n)
=O(g(n))=O(n*n)。所以我们程序循环的复杂度为O(n*n)。
再看交换。从程序后面所跟的表可以看到，两种情况的循环相同，交换不同。其实交换本身同数据源的
有序程度有极大的关系，当数据处于倒序的情况时，交换次数同循环一样（每次循环判断都会交换），
复杂度为O(n*n)。当数据为正序，将不会有交换。复杂度为O(0)。乱序时处于中间状态。正是由于这样的
原因，我们通常都是通过循环次数来对比算法。 交换法的程序最清晰简单，每次用当前的元素一一的同其后的元素比较并交换。 #include<iostream.h>voidExchangeSort(int*pData，intCount){intiTemp;for(inti=0;i<Count-1;i++){//共（count-1）轮，每轮得到一个最小值for(intj=i+1;j<Count;j++){//每次从剩下的数字中寻找最小值，于当前最小值相比，如果小则交换if(pData[j]<pData[i]){iTemp=pData[i];pData[i]=pData[j];pData[j]=iTemp;}}}}voidmain(){intdata[]={10,9,8,7,6,5,4};ExchangeSort(data,sizeof(data)/sizeof(int));for(inti=0;i<sizeof(data)/sizeof(int);i++){cout<<data[i]<<;}cout<<endl;system(PAUSE);}第一轮： 9，10，8，7->8，10，9，7->7，10，9，8（交换3次)
第二轮：7，10，9，8->7，9，10，8->7，8，10，9（交换2次)
第一轮：7，8，10，9->7，8，9，10（交换1次)
循环次数：6次
交换次数：6次
其他：
第一轮：8，10，7，9->8，10，7，9->7，10，8，9->7，10，8，9（交换1次)
第二轮：7，10，8，9->7，8，10，9->7，8，10，9（交换1次)
第一轮：7，8，10，9->7，8，9，10（交换1次)
循环次数：6次
交换次数：3次
从运行的表格来看，交换几乎和冒泡一样糟。事实确实如此。循环次数和冒泡一样
也是1/2*(n-1）*n，所以算法的复杂度仍然是O(n*n)。由于我们无法给出所有的情况，所以
只能直接告诉大家他们在交换上面也是一样的糟糕（在某些情况下稍好，在某些情况下稍差）。 现在我们终于可以看到一点希望：选择法，这种方法提高了一点性能（某些情况下）
这种方法类似我们人为的排序习惯：从数据中选择最小的同第一个值交换，在从剩下的部分中
选择最小的与第二个交换，这样往复下去。 #include<iostream.h>voidSelectSort(int*pData，intCount){intiTemp;intiPos;for(inti=0;i<Count-1;i++){iTemp=pData[i];iPos=i;for(intj=i+1;j<Count;j++){if(pData[j]<iTemp){iTemp=pData[j];iPos=j;}}pData[iPos]=pData[i];pData[i]=iTemp;}}voidmain(){intdata[]={10，9，8，7，6，5，4};SelectSort(data，7）;for(inti=0;i<7;i++)cout<<data[i]<<;cout<< ;}倒序（最糟情况)
第一轮：10，9，8，7->(iTemp=9）10，9，8，7->(iTemp=8）10，9，8，7->(iTemp=7）7，9，8，10（交换1次)
第二轮：7，9，8，10->7，9，8，10(iTemp=8）->(iTemp=8）7，8，9，10（交换1次)
第一轮：7，8，9，10->(iTemp=9）7，8，9，10（交换0次)
循环次数：6次
交换次数：2次
其他：
第一轮：8，10，7，9->(iTemp=8）8，10，7，9->(iTemp=7）8，10，7，9->(iTemp=7）7，10，8，9（交换1次)
第二轮：7，10，8，9->(iTemp=8）7，10，8，9->(iTemp=8）7，8，10，9（交换1次)
第一轮：7，8，10，9->(iTemp=9）7，8，9，10（交换1次)
循环次数：6次
交换次数：3次
遗憾的是算法需要的循环次数依然是1/2*(n-1）*n。所以算法复杂度为O(n*n)。
我们来看他的交换。由于每次外层循环只产生一次交换（只有一个最小值）。所以f(n)<=n
所以我们有f(n)=O(n)。所以，在数据较乱的时候，可以减少一定的交换次数。 插入法较为复杂，它的基本工作原理是抽出牌，在前面的牌中寻找相应的位置插入，然后继续下一张 #include<iostream.h>voidInsertSort(int*pData，intCount){intiTemp;intiPos;for(inti=1;i<Count;i++){iTemp=pData[i];//保存要插入的数iPos=i-1;//被插入的数组数字个数while((iPos>=0)&&(iTemp<pData[iPos])){//从最后一个（最大数字）开始对比，大于它的数字往后移位pData[iPos+1]=pData[iPos];iPos--;}pData[iPos+1]=iTemp;//插入数字的位置}}voidmain(){intdata[]={10，9，8，7，6，5，4};InsertSort(data，7);for(inti=0;i<7;i++)cout<<data<<;cout<< ;}其他：
第一轮：8，10，7，9->8，10，7，9(交换0次)(循环1次)
第二轮：9，10，8，7->8，9，10，7（交换1次)（循环2次)
第一轮：8，9，10，7->7，8，9，10（交换1次)（循环3次)
循环次数：6次
交换次数：3次
其他：
第一轮：8，10，7，9->8，10，7，9（交换0次)（循环1次)
第二轮：8，10，7，9->7，8，10，9（交换1次)（循环2次)
第一轮：7，8，10，9->7，8，9，10（交换1次)（循环1次)
循环次数：4次
交换次数：2次
上面结尾的行为分析事实上造成了一种假象，让我们认为这种算法是简单算法中最好的，其实不是，
因为其循环次数虽然并不固定，我们仍可以使用O方法。从上面的结果可以看出，循环的次数f(n)<=
1/2*n*(n-1）<=1/2*n*n。所以其复杂度仍为O(n*n)（这里说明一下，其实如果不是为了展示这些简单
排序的不同，交换次数仍然可以这样推导）。现在看交换，从外观上看，交换次数是O(n)（推导类似
选择法），但我们每次要进行与内层循环相同次数的‘=’操作。正常的一次交换我们需要三次‘=’
而这里显然多了一些，所以我们浪费了时间。
最终，我个人认为，在简单排序算法中，选择法是最好的。 高级排序算法中我们将只介绍这一种，同时也是目前我所知道（我看过的资料中）的最快的。
它的工作看起来仍然象一个二叉树。首先我们选择一个中间值middle程序中我们使用数组中间值，然后
把比它小的放在左边，大的放在右边（具体的实现是从两边找，找到一对后交换）。然后对两边分别使
用这个过程（最容易的方法——递归）。
1.快速排序：//这段代码编译可以通过，一运行就出错，内部的细节有些问题，我还没找到解决方法。 #include<iostream.h>voidrun(int*pData，intleft，intright){inti，j;intmiddle，iTemp;i=left;j=right;middle=pData[left];do{while((pData[i]<middle)&&(i<right))//从左扫描大于中值的数i++；while((pData[j]>middle)&&(j>left))//从右扫描大于中值的数j--;if(i<=j)//找到了一对值{//交换iTemp=pData[i];pData[i]=pData[j];pData[j]=iTemp;i++;j--;}}while(i<=j);//如果两边扫描的下标交错，就停止（完成一次）//当左边部分有值（left<j)，递归左半边if(left<j)run(pData，left，j);//当右边部分有值（right>i)，递归右半边if(right>i)run(pData，i，right);}voidQuickSort(int*pData，intCount){run(pData，0，Count-1）;}voidmain(){intdata[]={10，9，8，7，6，5，4};QuickSort(data，7）;for(inti=0;i<7;i++)cout<<data[i]<<;//原作者此处代码有误，输出因为date[i],date数组名输出的是地址cout<< ;}这里我没有给出行为的分析，因为这个很简单，我们直接来分析算法：首先我们考虑最理想的情况
1.数组的大小是2的幂，这样分下去始终可以被2整除。假设为2的k次方，即k=log2(n)。
2.每次我们选择的值刚好是中间值，这样，数组才可以被等分。
第一层递归，循环n次，第二层循环2*(n/2）......
所以共有n+2(n/2）+4(n/4）+...+n*(n/n) = n+n+n+...+n=k*n=log2(n)*n
所以算法复杂度为O(log2(n)*n)
其他的情况只会比这种情况差，最差的情况是每次选择到的middle都是最小值或最大值，那么他将变
成交换法（由于使用了递归，情况更糟）。但是你认为这种情况发生的几率有多大？？呵呵，你完全
不必担心这个问题。实践证明，大多数的情况，快速排序总是最好的。
如果你担心这个问题，你可以使用堆排序，这是一种不稳定的O(log2(n)*n)算法，但是通常情况下速度要慢
于快速排序（因为要重组堆）。 双向冒泡
通常的冒泡是单向的，而这里是双向的，也就是说还要进行反向的工作。 #include<iostream.h>inlinevoidexchange(int*a,int*b){inttemp;temp=*a;*a=*b;*b=temp;}voidbubblesort(int*array,intnum){inti,j,k,flag=0;for(i=0;i<num;i++){printf(%d,array[i]);}printf( );for(i=0;i<num;i++){//所有数的个数为num个flag=0;for(j=i;j<num-i-1;j++){//每循环一次最底端的数的顺序都会排好，所以初始时j=i;if(array[j]>array[j+1]){exchange(&array[j],&array[j+1]);flag=1;}}for(k=num-1-i-1;k>i;k--){//每循环一次最顶端的数据的顺序也会排好，所以初始时k=num-i-2if(array[k]<array[k-1]){exchange(&array[k],&array[k-1]);flag=1;}}if(flag==0){//如果flag未发生改变则说明未发生数据交换，则排序完成return;}}}voidmain(){intdata[]={10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，-10，-1};bubblesort(data，12）;for(inti=0;i<12;i++)cout<<data<<;cout<< ;} 这个程序我想就没有分析的必要了，大家看一下就可以了。不明白可以在论坛上问。
MyData.h文件
///////////////////////////////////////////////////////
class CMyData
{
public:
CMyData(int Index，char* strData);
CMyData();
virtual ~CMyData();
int m_iIndex;
int GetDataSize(){ return m_iDataSize; };
const char* GetData(){ return m_strDatamember; };
//这里重载了操作符：
CMyData& operator =(CMyData &SrcData);
bool operator <(CMyData& data );
bool operator >(CMyData& data );
private:
char* m_strDatamember;
int m_iDataSize;
};
////////////////////////////////////////////////////////
MyData.cpp文件
////////////////////////////////////////////////////////
CMyData::CMyData():
m_iIndex(0)，
m_iDataSize(0)，
m_strDatamember(NULL)
{
}
CMyData::~CMyData()
{
if(m_strDatamember != NULL)
delete[] m_strDatamember;
m_strDatamember = NULL;
}
CMyData::CMyData(int Index，char* strData):
m_iIndex(Index)，
m_iDataSize(0)，
m_strDatamember(NULL)
{
m_iDataSize = strlen(strData);
m_strDatamember = new char[m_iDataSize+1];
strcpy(m_strDatamember，strData);
}
CMyData& CMyData::operator =(CMyData &SrcData)
{
m_iIndex = SrcData.m_iIndex;
m_iDataSize = SrcData.GetDataSize();
m_strDatamember = new char[m_iDataSize+1];
strcpy(m_strDatamember，SrcData.GetData());
return *this;
}
bool CMyData::operator <(CMyData& data )
{
return m_iIndex<data.m_iIndex;
}
bool CMyData::operator >(CMyData& data )
{
return m_iIndex>data.m_iIndex;
}
///////////////////////////////////////////////////////////
//////////////////////////////////////////////////////////
//主程序部分
#include <iostream.h>
#include MyData.h
template <class T>
void run(T* pData，int left，int right)
{
int i，j;
T middle，iTemp;
i = left;
j = right;
//下面的比较都调用我们重载的操作符函数
middle = pData[(left+right)/2]; //求中间值
do{
while((pData<middle) && (i<right))//从左扫描大于中值的数
i++；
while((pData[j]>middle) && (j>left))//从右扫描大于中值的数
j--;
if(i<=j)//找到了一对值
{
//交换
iTemp = pData;
pData = pData[j];
pData[j] = iTemp;
i++;
j--;
}
}while(i<=j);//如果两边扫描的下标交错，就停止（完成一次）
//当左边部分有值（left<j)，递归左半边
if(left<j)
run(pData，left，j);
//当右边部分有值（right>i)，递归右半边
if(right>i)
run(pData，i，right);
}
template <class T>
void QuickSort(T* pData，int Count)
{
run(pData，0，Count-1）;
}
void main()
{
CMyData data[] = {
CMyData（8，xulion)，
CMyData（7，sanzoo)，
CMyData（6，wangjun)，
CMyData（5，VCKBASE)，
CMyData（4，jacky2000)，
CMyData（3，cwally)，
CMyData（2，VCUSER)，
CMyData（1，isdong)
};
QuickSort(data，8）;
for (int i=0;i<8;i++)
cout<<data.m_iIndex<< <<data.GetData()<< ;
cout<< ;

E. 数组排序的最少时间复杂度O(nlog2n)怎么计算的

for(int j=1; j<=n; j*=2)

这个循环最终执行的次数假设为x，则x次的时候j=2^x 。

当j>n时停止执行，于是2^x>n ，则可以认为该循环一共执行了log2(n)次。

所以该循环的时间复杂度为o(log2(n))，简记为o(log n) ，忽略掉2的底数。

F. 原地归并排序时间复杂度

原地归并排序时间复杂度为O（nlog2n).
一般在提到Merge Sort时，大家都很自然地想到Divide-and-Conqure, O(n lgn)的时间复杂度以及额外的O(n)空间。O(n)的extra space似乎成了Merge Sort最明显的缺点，但实际上这一点是完全可以克服的，也就是说，我们完全可以实现O(n lgn) time 以及 O(1) space 的Merge Sort。对于这种不用额外空间(即常数大小的额外空间)的算法，有一个通用的名字叫做In-place Algorithms，因此我们称该归并算法为in-place merge sort，也就是原地归并排序。

G. C 语言快速排序最好情况时间复杂度为什么是 nlog2n (菜鸟在线)

快速排序最好的情况是每次把上一次的数组平均分成两个子数组。设数组总数一共为n，如果把这n个数每次分成2半最后每个数组只包含一个元素，假设要分k次，则2的k次方=n，解得k=log2 n（log以2为底对n取对数）.也就是说要分log2 n次，而每次都是处理n个数据。所以总的时间复杂度为O（n*log2 n）。

H. 算法的时间复杂度

时间复杂度的表示: O(执行次数)

一个有序的元素列表查找某个元素可以用二分查找，每次取中间元素进行比较大小，直到相等。因为每次不符合时总会排除一半的元素 ，所以查找的次数为log2n，那么时间复杂度为O(log2n)。如果是一个无序的元素列表，查找从位置0开始，那么简单查找的次数为n，那么时间复杂度为O(n)。

除此之外快速排序为O(n*log2n)，选择排序为O(n*n)。

旅行算法就是n个旅行地点，你可从某个地方出发到余下某下一个地点，走完所有地点。从最开始时走有n个地点可以选择，接下来再走就有n-1个地点可以选择，这样直到只有一个地点可以选择。那么所有你可走的路径就是一个阶乘，选择复杂度为O( n!)。

关于数组和链表的操作。先说数组，因为你有了元素的索引，可以随机访问，你就能快速找到这个元素，而且所有元素的读取都是一样的步骤，所以读取时间复杂度为O(1)，数组的插入和删除的时间复杂度为O(n)，因为要移动元素。链表的特性是每个都存储了下一个元素的地址，只能顺序访问。那么读取插入删除的时间复杂度分别是O(n)、O(1)、O(1)。

I. 谁能给一个时间复杂度是O(log2n)的算法，谢谢。

（1）时间频度

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

（2）时间复杂度

在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：

常数阶O(1),对数阶O(log(2)n),线性阶O(n),

线性对数阶O(nlog(2)n),平方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),...，

k次方阶O(n^k),指数阶O(2^n)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。