随机算法与概率分析

A. 随机算法原理

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详解各种随机算法
2018-02-06阅读 1.4K0
转自：JarvisChu

之前将的算法都是确定的，即对于相同的输入总对应着相同的输出。但实际中也常常用到不确定的算法，比如随机数生成算法，算法的结果是不确定的，我们称这种算法为（随机）概率算法，分为如下四类：

1、数值概率算法

用于数值问题的求解，通常是近似解

2、蒙特卡洛算法Monte Carlo

能得到问题的一个解，但不一定是正确解，正确的概率依赖于算法运行的时间，算法所用的时间越多，正确的概率也越高。求问题的准确解；

3、拉斯维加斯算法 Las Vegas

不断调用随机算法求解，直到求得正确解或调用次数达到某个阈值。所以，如果能得到解，一定是正确解。

4、舍伍德算法 Sherwood

利用随机算法改造已有算法，使得算法的性能尽量与输入数据无关，即平滑算法的性能。它总能求得问题的一个解，且求得的解总是正确的。

随机数

概述

计算机产生的随机数都是伪随机数，通过线性同余法得到。

方法：产生随机序列


d称为种子；m取值越大越好；m，b互质，常取b为质数；

B. 随机事件概率计算公式是什么

随机事件概率的计算公式为：C(n,m)*p^m*(1-p)^(n-m)。

其中事件的概率为p，n为随机事件，m为发生的次数，随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中，具有某种规律性的事件叫做随机事件（简称事件）。

概率（旧称几率，又称机率、机会率或或然率）是数学概率论的基本概念，是一个在0到1之间的实数，是对随机事件发生之可能性的度量。

随机试验的数学描述：

试验E的全部结果（其中是基本结果的集合）⇔样本空间Ω(其中是样本点的集合）。

随机事件⇔Ω中的子集A。

事件A发生⇔A中样本点出现。

基本事件：由一个样本点构成的单点集{ω}。

必然事件：Ω（Ω⊂Ω）。

不可能事件：∅（空集∅⊂Ω）

C. 随机数和概率问题

是一样的 典型的古典概率 每一个球被取出的概率是一样的 和标号排序没有任何关系（当然前提是要充分的随机，）

D. 如何计算随机概率

概率论，一个C上下个一个数字的算法：Cmn=m!/[n!*(m-n)!]
m在下，n在上n！代表n的阶乘=1*2*3*……*n。拓展资料：一、概率的严格定义：E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(·)是一个集合函数，P(·)要满足下列条件：
（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;
（2）规范性：对于必然事件S，有P(S)=1;
（3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+..
二、概率论是研究随机性或不确定性等现象的数学。更精确地说，概率论是用来模拟实验在同一环境下会产生不同结果的情况。在自然界和人类社会中，存在大量的随机现象，而概率是衡量该现象发生的可能性的量度。

E. 《算法导论（原书第2版）》pdf下载在线阅读，求百度网盘云资源

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书名：算法导论（原书第2版）

作者：[美] Thomas H.Cormen

译者：潘金贵 等

豆瓣评分：9.3

出版社：机械工业出版社

出版年份：2006-9

页数：754

内容简介：

这本书深入浅出，全面地介绍了计算机算法。对每一个算法的分析既易于理解又十分有趣，并保持了数学严谨性。本书的设计目标全面，适用于多种用途。涵盖的内容有：算法在计算中的作用，概率分析和随机算法的介绍。书中专门讨论了线性规划，介绍了动态规划的两个应用，随机化和线性规划技术的近似算法等，还有有关递归求解、快速排序中用到的划分方法与期望线性时间顺序统计算法，以及对贪心算法元素的讨论。此书还介绍了对强连通子图算法正确性的证明，对哈密顿回路和子集求和问题的NP完全性的证明等内容。全书提供了900多个练习题和思考题以及叙述较为详细的实例研究。

作者简介：

Thomas H.Cormen

达特茅斯学院计算机科学系副教授

Charles E.Leiserson

麻省理工学院计算机科学与电气工程系教授

Ronald L.Rivest

麻省理工学院计算机科学系Andrew与Erna Viterbi具名教授

Clifford Stein

哥伦比亚大学工业工程与运筹学副教授

F. 为什么算法导论中的数组序号是从1开始的

c语言下标从零开始是个错误，并且 index 也是一个有误导性的名词，它表示的是偏移量，明明应该用 offset。
然后 c 的徒子徒孙都学了它，导致现在很多人都误以为下标应该从 0 开始。
早期蛮荒时代，很多东西都不科学，算法导论作者致力于与落后文明作斗争，然而却遭到了楼主你的不理解，实乃编程届一大憾事。
我再说一遍，C 是结构化的汇编，下标基 0 是受到了 PDP-11 指令集的影响，更老的语言（比如 Fortran）都是基 1 的。
另外用 0/非 0 代表 false/true 也是 PDP-11 中 TST 指令和 Z 位的行为。
可能是这本书强调算法的求学思想，所以从一更加符合数学的数组规定。
但是编程的时候，指针这个东西会经常用到，如果用a(o)作为第一个元素 那么*a+n就等同于a(n) 比较方便
算法导论上的这个问题呢，我觉得我比较同意楼上的看法，这个书上面的很多的程序并不是可以敲上去直接运行的，他只是伪代码，思想而已，给人看的，人类的普遍思维是从1开始，那么书页就是从1开始了
说编程语言是给机器看而伪代码是给人看的简直是逗大家笑吧...编程语言设计出来就是给人看的....
另外从0开始在很多方便都极好....我觉得写多代码都能体会到吧..
帮算导洗地：
算法导论通篇用的是伪代码 是给人类阅读理解的 不是设计给机器去运行的
而绝大多数情况下， index 从 1 开始更符合人类直觉（如果你对这点有异议请参考的答案 ）
但少数情况下， index 从 0 开始更符合人类直觉。例如书中 hashing 还有 FFT 那块内容， index 是从 0 开始的。
其实写几天 Pascal 你就适应啦。。

G. 随机算法的内容简介

本书是斯坦福一剑桥项目(Stanford-Cambridge Program)之一。
对于许多应用，随机算法是最简单可行的，或者是最快的，或者两者兼得。本书由该领域两位着名专家写成，给出了随机算法设计和分析的基本概念，适用于接近研究生开始阶段的水平。
本书的第一部分介绍了概率论的基本工具，以及在算法应用中经常使用的概率分析。为了说明每个工具的作用，在具体设置给出了一些算法示例。本书的第二部分为算法的应用，共包括七章，每一章集中在随机算法应用的一个重要领域，如数据结构、几何算法、图算法、数论、计数、并行算法及在线算法等。对于每个领域中的算法，做了全面并且具有代表性的选择。
尽管本书基本按照教材写成，也可作为一本有价值的参考书供专业人员和研究者使用。

H. 大神们，有没有一种能控制概率的随机算法. 用来抽奖用的。。比如可以控制某人的中奖的概率大一些

没有，因为正常的抽奖时没有概率问题的，也找不到任何规律

I. 随机化算法的举例

下面，我们就随机化问题，举一个例子：
一个长度在4..10的字符串中，需要判定是否可以在字符串中删去若干字符，使得改变后字符串符合以下条件之一：
（1）AAAA；（2）AABB；（3）ABAB；（4）ABBA。
例如：长度为6字符串“POPKDK”，若删除其中的“O”，“D”两个字母，则原串变为：“PPKK”，符合条件（2）AABB。
分析：
这道题很容易想到一种算法：运用排列组合：枚举每4个字母，然后逐一判断。算法是可行的，但是如果需要题目中加上一句话：需要判断n个字符串，且n<=100000，那么这样的耗时是不能让人忍受①的，因为在枚举的过程中，是非常浪费时间的。
（①：这里是指信息学中要求算法的普遍运算时间为：1000ms）
所以这道题有可能可以借助于随机化算法，下面我们来算一下在10个字符中取4个字符一共有多少种取法：C(4,10)=210。那么很容易得知，随机化算法如果随机300次，能得到的结果基本上就正确了(概率为1-(209/210)^300，约为0.76)，而随机时的时间消耗是O(1)，只需要判断没有随机重复即可，判重的时间复杂度也为O(1)，并且最多随机300次，这样就可以有效地得到答案，最大运算次数为：O(300n)，这是在计算机的承受范围内（1000ms）的。
从这里就能看出，随机化算法是一个很好的概率算法，但是它并不能保证正确，而且它单独使用的情况很少，大部分是与其他的算法：例如贪心、搜索等配合起来运用。 排序问题。快速排序是排序方法中较为便捷的方法之一，但是由于它极不稳定，最好的时候时间复杂度为O(n㏒n)，这里的㏒是指以2为底的对数运算。最坏的时候能达到与普通排序方法一样的O(n^2)。
而制约快速排序的有两个：一是数据，越无序的数据，快排的速度越快；二是中间点的枚举。
因为两个制约条件都与随机有着不可分开的关系。
所以，在快速排序中加入随机化算法无疑是十分重要的。
运用在：
（1）数据读入时，随机排放数据位置。
（2）中间点的枚举进行多次随机化后决定。
这样就基本上将快速排序的时间复杂度维持在最好状态。

J. 算法导论的内容简介

《算法导论》自第一版出版以来，已经成为世界范围内广泛使用的大学教材和专业人员的标准参考手册。本书全面论述了算法的内容，从一定深度上涵盖了算法的诸多方面，同时其讲授和分析方法又兼顾了各个层次读者的接受能力。各章内容自成体系，可作为独立单元学习。所有算法都用英文和伪码描述，使具备初步编程经验的人也可读懂。全书讲解通俗易懂，且不失深度和数学上的严谨性。第二版增加了新的章节，如算法作用、概率分析与随机算法、线性编程等，几乎对第一版的各个部分都作了大量修订。
本书深入浅出，全面地介绍了计算机算法。对每一个算法的分析既易于理解又十分有趣，并保持了数学严谨性。本书的设计目标全面，适用于多种用途。涵盖的内容有：算法在计算中的作用，概率分析和随机算法的介绍。本书专门讨论了线性规划，介绍了动态规划的两个应用，随机化和线性规划技术的近似算法等，还有有关递归求解、快速排序中用到的划分方法与期望线性时间顺序统计算法，以及对贪心算法元素的讨论。本书还介绍了对强连通子图算法正确性的证明，对哈密顿回路和子集求和问题的NP完全性的证明等内容。全书提供了900多个练习题和思考题以及叙述较为详细的实例研究。
本书内容丰富，对本科生的数据结构课程和研究生的算法课程都是很实用的教材。本书在读者的职业生涯中，也是一本案头的数学参考书或工程实践手册。