曼哈顿算法大白话_lua语言a星寻路算法路径怎么平滑

❶ "最短路径优先算法"的优缺点

所谓的最短路径问题有很多种意思，
在这里启发式指的是一个在一个搜寻树的节点上定义的函数h(n)，用于评估从此节点到目标节点最便宜的路径。启发式通常用于资讯充分的搜寻算法，例如最好优先贪婪算法与a*。最好优先贪婪算法会为启发式函数选择最低代价的节点；a*则会为g(n)
+
h(n)选择最低代价的节点，此g(n)是从起始节点到目前节点的路径的确实代价。如果h(n)是可接受的（admissible）意即h(n)未曾付出超过达到目标的代价，则a*一定会找出最佳解。
最能感受到启发式算法好处的经典问题是n-puzzle。此问题在计算错误的拼图图形，与计算任两块拼图的曼哈顿距离的总和以及它距离目的有多远时，使用了本算法。注意，上述两条件都必须在可接受的范围内。

❷ lua语言a星寻路算法路径怎么平滑

在项目中遇到了自动寻路的需求，于是决定开始学习一下A星，对于A星我也没有深究，只能说是勉强搞定了需求，在这和大家分享一下，相互进步，

A星有个公式 f(x) = g(x) + h(x)
,搞清楚这个公式就好办了，f(x)就是当前位置到下一个位置的总价值，g(x)表示实际价，这是说这一部分代价是确定的，h(x)表示估价值，就是说我
从下一个位置到到终点的代价是未知的，所以叫估价值，如图中所示，黑色格子表示当前位置，绿色格子表示下一步可能到达的位置，即上、下、左、右这几个方
向，红色格子表示终点，褐色表示障碍物，现在要从黑色格子到达红色格子，那么黑色格子的下一步肯定是绿色格子当中的一个，黑色格子到绿色格子之间是相挨着
的，所以我们可以很明确的知道它的实际代价为1（移动一步的代价）即g(x)，绿色格子到红色格子之间隔着很长的距离，中间还有障碍物，所以这个代价是未
知的，即h(x)，所以总的代价就为f(x) = g(x) +
h(x)，我们看到周围有4个绿色的格子，到底走那一步比较好呢，所以我们要把这4个格子的f(x)值都求出来，然后进行排序，选择f(x)值最小的，即
总代价最少的那个格子，以此方法继续下去，直到到达终点或者地图上没有绿色格子了

下面来看一下这个工具类，g(x)和h(x)要选的比较合适，一般就是采用的曼哈顿算法，即两点在x方向和y方向的距离之和，
-- Filename: PathUtil.lua
-- Author: bzx
-- Date: 2014-07-01
-- Purpose: 寻路

mole("PathUtil", package.seeall)

local _map_data -- 地图数据
local _open_list -- 开放节点
local _open_map -- 开放节点，为了提高性能而加
local _close_map -- 关闭节点
local _deleget -- 代理
local _dest_point -- 目标点
local _start_point -- 起点
local _path -- 路径

-- 寻找路径
--[[
deleget = {
g = function(point1, point2)
-- add your code
-- 返回点point1到点point2的实际代价
end
h = function(point1, point2)
-- add your code
-- 返回点point1到点point2的估算代价
end
getValue = function(j, i)
-- 返回地图中第i行，第j列的数据 1为障碍物，0为非障碍物
end
width -- 地图宽度
height -- 地图高度
}
--]]
function findPath(deleget, start_point, dest_point)
_deleget = deleget
_dest_point = dest_point
_start_point = start_point
init()
while not table.isEmpty(_open_list) do
local cur_point = _open_list[1]
table.remove(_open_list, 1)
_open_map[cur_point.key] = nil
if isEqual(cur_point, dest_point) then
return makePath(cur_point)
else
_close_map[cur_point.key] = cur_point
local next_points = getNextPoints(cur_point)
for i = 1, #next_points do
local next_point = next_points[i]
if _open_map[next_point.key] == nil and _close_map[next_point.key] == nil and isObstacle(next_point) == false then
_open_map[next_point.key] = next_point
table.insert(_open_list, next_point)
end
end
table.sort(_open_list, compareF)
end
end
return nil
end

function init()
_open_list = {}
_open_map = {}
_close_map = {}
_path = {}
_map_data = {}
for i = 1, _deleget.height do
_map_data[i] = {}
for j = 1, _deleget.width do
local value = _deleget.getValue(j, i)
_map_data[i][j] = value
end
end
_open_map[getKey(_start_point)] = _start_point
table.insert(_open_list, _start_point)
end

function createPoint(x, y)
local point = {
["x"] = x,
["y"] = y,
["last"] = nil,
["g_value"] = 0,
["h_value"] = 0,
["f_value"] = 0
}
point["key"] = getKey(point)
return point
end

-- 得到下一个可以移动的点
-- @param point 当前所在点
function getNextPoints(point)
local next_points = {}
for i = 1, #_deleget.directions do
local offset = _deleget.directions[i]
local next_point = createPoint(point.x + offset[1], point.y + offset[2])
next_point["last"] = point
if next_point.x >= 1 and next_point.x <= _deleget.width and next_point.y >= 1 and next_point.y <= _deleget.height then
next_point["g_value"] = _deleget.g(point, next_point)
next_point["h_value"] = _deleget.h(point, _dest_point)--math.abs(next_points.x - _dest_point.x) + math.abs(next_points.y - _dest_point.y)
next_point["f_value"] = next_point.g_value + next_point.h_value
table.insert(next_points, next_point)
end
end
return next_points
end

-- 得到路径
-- @param end_point 目标点
function makePath(end_point)
_path = {}
local point = end_point
while point.last ~= nil do
table.insert(_path, createPoint(point.x, point.y))
point = point.last
end
local start_point = point
table.insert(_path, start_point)
return _path
end

-- 两个点的代价比较器
function compareF(point1, point2)
return point1.f_value < point2.f_value
end

-- 是否是障碍物
function isObstacle(point)
local value = _map_data[point.y][point.x]
if value == 1 then
return true
end
return false
end

-- 两个点是否是同一个点
function isEqual(point1, point2)
return point1.key == point2.key
end

-- 根据点得到点的key
function getKey(point)
local key = string.format("%d,%d", point.x, point.y)
return key
end

下面是工具类PathUtil的用法
local deleget = {}
deleget.g = function(point1, point2)
return math.abs(point1.x - point2.x) + math.abs(point1.y - point2.y)
end
deleget.h = deleget.g
deleget.getValue = function(j, i)
local index = FindTreasureUtil.getIndex(j, i)
local map_info = _map_info.map[index]
if map_info.display == 0 and map_info.eid ~= 1 then
return 0
end
return 1
end
deleget.directions = {{-1, 0}, {0, -1}, {0, 1}, {1, 0}} -- 左，上，下，右
deleget.width = _cols
deleget.height = _rows

local dest_row, dest_col = FindTreasureUtil.getMapPosition(tag)
local dest_point = PathUtil.createPoint(dest_col, dest_row)
local start_row, start_col = FindTreasureUtil.getMapPosition(_player_index)
local start_point = PathUtil.createPoint(start_col, start_row)
_path = PathUtil.findPath(deleget, start_point, dest_point)

_path就是我们找到的路径，起点为最后一个元素，终点为第一个元素

❸ 用什么计算法曼哈顿算法能算吗

是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和。曼哈顿距离——两点在南北方向上的距离加上在东西方向上的距离，即d（i，j）=|xi-xj|+|yi-yj|。对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到达另一点的距离正是在南北方向上旅行的距离加上在东西方向上旅行的距离因此曼哈顿距离又称为出租车距离，曼哈顿距离不是距离不变量，当坐标轴变动时，点间的距离就会不同。

❹ 蒙特卡罗算法是什么

蒙特卡罗（MonteCarlo）方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战进行研制原子弹的“曼哈顿计划”。

该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的MonteCarlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。

主要是：

使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。

❺ A*算法介绍

姓名：车文扬学号：16020199006

【嵌牛导读】：A*算法的逐步详解

【嵌牛鼻子】：启发式算法

【嵌牛提问】：A*算法的原理是什么？

【嵌牛正文】：

A*算法

路径规划是指的是机器人的最优路径规划问题，即依据某个或某些优化准则（如工作代价最小、行走路径最短、行走时间最短等），在工作空间中找到一个从起始状态到目标状态能避开障碍物的最优路径。机器人的路径规划应用场景极丰富，最常见如游戏中NPC及控制角色的位置移动，网络地图等导航问题，小到家庭扫地机器人、无人机大到各公司正争相开拓的无人驾驶汽车等。

目前路径规划算法分为：

A*算法原理：

在计算机科学中，A*算法作为Dijkstra算法的扩展，因其高效性而被广泛应用于寻路及图的遍历，如星际争霸等游戏中就大量使用。在理解算法前，我们需要知道几个概念：

搜索区域（The Search Area）：图中的搜索区域被划分为了简单的二维数组，数组每个元素对应一个小方格，当然我们也可以将区域等分成是五角星，矩形等，通常将一个单位的中心点称之为搜索区域节点（Node）。

开放列表(Open List)：我们将路径规划过程中待检测的节点存放于Open List中，而已检测过的格子则存放于Close List中。

父节点（parent）：在路径规划中用于回溯的节点，开发时可考虑为双向链表结构中的父结点指针。

路径排序（Path Sorting）：具体往哪个节点移动由以下公式确定：F(n) = G + H 。G代表的是从初始位置A沿着已生成的路径到指定待检测格子的移动开销。H指定待测格子到目标节点B的估计移动开销。

启发函数（Heuristics Function）：H为启发函数，也被认为是一种试探，由于在找到唯一路径前，我们不确定在前面会出现什么障碍物，因此用了一种计算H的算法，具体根据实际场景决定。在我们简化的模型中，H采用的是传统的曼哈顿距离（Manhattan Distance），也就是横纵向走的距离之和。

如下图所示，绿色方块为机器人起始位置A，红色方块为目标位置B，蓝色为障碍物。

我们把要搜寻的区域划分成了正方形的格子。这是寻路的第一步，简化搜索区域。这个特殊的方法把我们的搜索区域简化为了2 维数组。数组的每一项代表一个格子，它的状态就是可走(walkalbe)或不可走(unwalkable) 。现用A*算法寻找出一条自A到B的最短路径，每个方格的边长为10，即垂直水平方向移动开销为10。因此沿对角移动开销约等于14。具体步骤如下：

从起点 A 开始，把它加入到一个由方格组成的open list(开放列表) 中，这个open list像是一个购物清单。Open list里的格子是可能会是沿途经过的，也有可能不经过。因此可以将其看成一个待检查的列表。查看与A相邻的8个方格，把其中可走的 (walkable) 或可到达的(reachable) 方格加入到open list中。并把起点 A 设置为这些方格的父节点 (parent node) 。然后把 A 从open list中移除，加入到close list(封闭列表) 中，close list中的每个方格都是不需要再关注的。

如下图所示，深绿色的方格为起点A，它的外框是亮蓝色，表示该方格被加入到了close list 。与它相邻的黑色方格是需要被检查的，他们的外框是亮绿色。每个黑方格都有一个灰色的指针指向他们的父节点A。

下一步，我们需要从open list中选一个与起点A相邻的方格。但是到底选择哪个方格好呢？选F值最小的那个。我们看看下图中的一些方格。在标有字母的方格中G = 10 。这是因为水平方向从起点到那里只有一个方格的距离。与起点直接相邻的上方，下方，左方的方格的G 值都是10 ，对角线的方格G 值都是14 。H值通过估算起点到终点( 红色方格) 的Manhattan 距离得到，仅作横向和纵向移动，并且忽略沿途的障碍。使用这种方式，起点右边的方格到终点有3 个方格的距离，因此H = 30 。这个方格上方的方格到终点有4 个方格的距离( 注意只计算横向和纵向距离) ，因此H = 40 。

比较open list中节点的F值后，发现起点A右侧节点的F=40，值最小。选作当前处理节点，并将这个点从Open List删除，移到Close List中。

对这个节点周围的8个格子进行判断，若是不可通过（比如墙，水，或是其他非法地形）或已经在Close List中，则忽略。否则执行以下步骤：

若当前处理节点的相邻格子已经在Open List中，则检查这条路径是否更优，即计算经由当前处理节点到达那个方格是否具有更小的 G值。如果没有，不做任何操作。相反，如果G值更小，则把那个方格的父节点设为当前处理节点 ( 我们选中的方格 ) ，然后重新计算那个方格的 F 值和 G 值。

若当前处理节点的相邻格子不在Open List中，那么把它加入，并将它的父节点设置为该节点。

按照上述规则我们继续搜索，选择起点右边的方格作为当前处理节点。它的外框用蓝线打亮，被放入了close list 中。然后我们检查与它相邻的方格。它右侧的3个方格是墙壁，我们忽略。它左边的方格是起点，在close list 中，我们也忽略。其他4个相邻的方格均在open list 中，我们需要检查经由当前节点到达那里的路径是否更好。我们看看上面的方格，它现在的G值为14 ，如果经由当前方格到达那里，G值将会为20( 其中10为从起点到达当前方格的G值，此外还要加上从当前方格纵向移动到上面方格的G值10) ，因此这不是最优的路径。看图就会明白直接从起点沿对角线移动到那个方格比先横向移动再纵向移动要好。

当把4个已经在open list 中的相邻方格都检查后，没有发现经由当前节点的更好路径，因此不做任何改变。接下来要选择下一个待处理的节点。因此再次遍历open list ，现在open list中只有7 个方格了，我们需要选择F值最小的那个。这次有两个方格的F值都是54，选哪个呢？没什么关系。从速度上考虑，选择最后加入open list 的方格更快。因此选择起点右下方的方格，如下图所示。

接下来把起点右下角F值为54的方格作为当前处理节点，检查其相邻的方格。我们发现它右边是墙（墙下面的一格也忽略掉，假定墙角不能直接穿越)，忽略之。这样还剩下 5 个相邻的方格。当前方格下面的 2 个方格还没有加入 open list ，所以把它们加入，同时把当前方格设为他们的父亲。在剩下的 3 个方格中，有 2 个已经在 close list 中 ( 一个是起点，一个是当前方格上面的方格，外框被加亮的 ) ，我们忽略它们。最后一个方格，也就是当前方格左边的方格，检查经由当前方格到达那里是否具有更小的 G 值。没有，因此我们准备从 open list 中选择下一个待处理的方格。

不断重复这个过程，直到把终点也加入到了open list 中，此时如下图所示。注意在起点下方2 格处的方格的父亲已经与前面不同了。之前它的G值是28并且指向它右上方的方格。现在它的G 值为20 ，并且指向它正上方的方格。这是由于在寻路过程中的某处使用新路径时G值更小，因此父节点被重新设置，G和F值被重新计算。

那么我们怎样得到实际路径呢？很简单，如下图所示，从终点开始，沿着箭头向父节点移动，直至回到起点，这就是你的路径。

A*算法总结：

1. 把起点加入 open list 。

2. 重复如下过程：

a. 遍历open list ，查找F值最小的节点，把它作为当前要处理的节点，然后移到close list中

b. 对当前方格的 8 个相邻方格一一进行检查，如果它是不可抵达的或者它在close list中，忽略它。否则，做如下操作：

□ 如果它不在open list中，把它加入open list，并且把当前方格设置为它的父亲

□ 如果它已经在open list中，检查这条路径 ( 即经由当前方格到达它那里 ) 是否更近。如果更近，把它的父亲设置为当前方格，并重新计算它的G和F值。如果你的open list是按F值排序的话，改变后你可能需要重新排序。

c. 遇到下面情况停止搜索：

□ 把终点加入到了 open list 中，此时路径已经找到了，或者

□ 查找终点失败，并且open list 是空的，此时没有路径。

3. 从终点开始，每个方格沿着父节点移动直至起点，形成路径。

❻ 最小曼哈顿网络问题的成就

在算法研究领域，人们最重视的是那些长期悬而未决的问题。“曼哈顿网络问题”就是这样一个不清楚它是否是P还是NP的问题。已经有近似度为2的近似算法，但是复杂度为O(n^8)。而郭泽宇把算法改造。使之加快到O(n^2)，是值得赞许的工作。所以被接受为国际会议大会报告，反映了同行对它的重视程度。
曼哈顿网络问题是计算机理论界研究的重要课题，郭泽宇对最小曼哈顿网络的算法复杂性进行研究，有理论意义和应用价值。鉴于曼哈顿网络问题是否NP问题尚无明确的结论，对曼哈顿网络问题的研究都集中在近似算法的研究。郭泽宇在导师指导下的前期工作对已有的2-近似算法进行改进，使其时间复杂度达到O(n2)(原算法为O(n8))，课题有很好的研究基础，有望得到进一步的创新成果。
最小曼哈顿网络问题-郭泽宇怎么解决最小曼哈顿网络问题？
2008年6月，郭泽宇申请了复旦大学本科生学术研究资助计划的“莙政”项目。最小曼哈顿网络问题是计算机学院朱洪教授给自己指导的本科生们所开设的题目。
郭泽宇大胆地选择了这一问题作为项目攻克对象。这既让朱洪教授和博士研究生孙贺这两位项目指导老师感到欣喜，也让“莙政”学者评审专家们捏了一把汗。基于鼓励本科生创新和支持年轻人闯劲的考虑，郭泽宇最终得到了资助。经过200多个日夜的思考和探索，这一难题终于被他找到突破口。
据悉，计算几何国际会议是计算几何领域最高级别的会议，这一会议，中国内地数学家已经阔别了整整十八年。
在郭泽宇的项目申请书中，中国科学院院士陆汝钤作为推荐老师，对本科生学术研究资助计划给予了充分的肯定，他认为通过这一方式使许多学生脱颖而出，走上了从事科学研究的道路。记者了解到，1998年，在李政道先生倡导和设立的“莙政基金”支持下，复旦大学开始开展资助优秀本科学生尽早接触学术研究的计划，并逐渐形成了一个层次分明、申请时间灵活、申请形式多样的本科生学术研究资助平台，即复旦大学本科生学术研究资助计划。
从1998年到2008年，共有1556位学生获得资助开展研究，其项目学科涵盖了医学、工学、理学、文学、教育学等多个领域。另据不完全统计，在2008年，参加复旦大学本科生学术研究资助计划资助项目的同学在国内外期刊发表论文30篇，其中第一作者文章20篇。

❼ 求曼哈顿距离 , 向量余弦相似度的优缺点

曼哈顿距离

曼哈顿距离的正式意义为L1-距离或城市区块距离，也就是在欧几里得空间的固定直角坐标系上两点所形成的线段对轴产生的投影的距离总和。

例如在平面上，座标（x1,y1）的点P1与座标（x2,y2）的点P2的曼哈顿距离为：

要注意的是，曼哈顿距离依赖座标系统的转度，而非系统在座标轴上的平移或映射。

曼哈顿距离的命名原因是从规划为方型建筑区块的城市（如曼哈顿）间，最短的行车路径而来（忽略曼哈顿的单向车道以及只存在于3、14大道的斜向车道）。任何往东三区块、往北六区块的的路径一定最少要走九区块，没有其他捷径。

出租车几何学满足除了SAS全等定理之外的希伯特定理，SAS全等指任两个三角型两个边与它们的夹角相等，则这两个三角型必全等。

在出租车几何学中，一个圆是由从圆心向各个固定曼哈顿距离标示出来的点围成的区域。因此这种圆其实就是旋转了45度的正方形。如果有一群圆，任两圆皆相交，则整群圆必在某点相交；因此曼哈顿距离会形成一个超凸度量空间（Injective metric space）。对一个半径为r的圆来说，这个正方形的圆每边长√2r。此'"圆"的半径r对切比雪夫距离（L∞空间）的二维平面来说，也是一个对座标轴来说边长为2r的正方形，因此二维切比雪夫距离可视为等同于旋转且放大过的二维曼哈顿距离。然而这种介于L1与L∞的相等关系并不能延伸到更高的维度。

余弦相似度
在向量空间模型中，文本泛指各种机器可读的记录。用D（Document）表示，特征项（Term，用t表示）是指出现在文档D中且能够代表该文档内容的基本语言单位，主要是由词或者短语构成，文本可以用特征项集表示为D(T1，T2，…，Tn)，其中Tk是特征项，1<=k<=N。例如一篇文档中有a、b、c、d四个特征项，那么这篇文档就可以表示为D(a，b，c，d)。对含有n个特征项的文本而言，通常会给每个特征项赋予一定的权重表示其重要程度。即D＝D(T1，W1；T2，W2；…，Tn，Wn)，简记为D＝D(W1，W2，…，Wn)，我们把它叫做文本D的向量表示。其中Wk是Tk的权重，1<=k<=N。在上面那个例子中，假设a、b、c、d的权重分别为30，20，20，10，那么该文本的向量表示为D(30，20，20，10)。在向量空间模型中，两个文本D1和D2之间的内容相关度Sim(D1，D2)常用向量之间夹角的余弦值表示，公式为：

其中，W1k、W2k分别表示文本D1和D2第K个特征项的权值，1<=k<=N。
在自动归类中，我们可以利用类似的方法来计算待归类文档和某类目的相关度。例如文本D1的特征项为a，b，c，d，权值分别为30，20，20，10，类目C1的特征项为a，c，d，e，权值分别为40，30，20，10，则D1的向量表示为D1(30,20,20,10,0),C1的向量表示为C1（40，0，30，20，10），则根据上式计算出来的文本D1与类目C1相关度是0.86

那个相关度0.86是怎么算出来的？

是这样的，抛开你的前面的赘述

在数学当中，n维向量是 V{v1, v2, v3, ..., vn}
他的模： |v| = sqrt ( v1*v1 + v2*v2 + ... + vn*vn )
两个向量的点击 m*n = n1*m1 + n2*m2 + ...... + nn*mn
相似度＝ (m*n) /(|m|*|n|)
物理意义就是两个向量的空间夹角的余弦数值
对于你的例子
d1*c1 = 30*40 + 20*0 + 20*30 + 10*20 + 0*10 = 2000
|d1| = sqrt(30*30 +20*20 + 20*20 + 10*10 + 0*0) = sqrt(1800)
|c1| = sqrt(40*40 + 0*0 + 30*30 + 20*20 + 10*10) = sqrt(3000)
相似度 = d1*c1/(|d1|*|c1|)= 2000/sqrt(1800*3000)= 0.86066

————希望可以帮到您！觉得好就请点采纳答案吧，你的采纳是我的动力，谢谢！————

❽ 已知两点经纬度，怎么求两点的曼哈顿距离

假设地球半径为R曼哈顿距离求的即是球面直角三角形两条直角边的距离之和。设点1(x1,y1)，点2(x2,y2)假设x2>x1以x2所在纬线(半径为R2)为基准，d1=2 pi R2 |y2-y1|/360，东经为正，西经为负，若|y2-y1|>180，实际的d1*=2 pi R2-d1，若|y2-y1|<180，d1*=d1d2=2 pi R |x2-x1|/360，北纬为正，南纬为负d=d2+d1*

❾ 全面归纳距离和相似度计算方法

距离(distance，差异程度)、相似度(similarity，相似程度)方法可以看作是以某种的距离函数计算元素间的距离，这些方法作为机器学习的基础概念，广泛应用于如：Kmeans聚类、协同过滤推荐算法、相似度算法、MSE损失函数等等。本文对常用的距离计算方法进行归纳以及解析，分为以下几类展开：

对于点x=(x1,x2...xn) 与点y=(y1,y2...yn) , 闵氏距离可以用下式表示：

闵氏距离是对多个距离度量公式的概括性的表述，p=1退化为曼哈顿距离；p=2退化为欧氏距离；切比雪夫距离是闵氏距离取极限的形式。

曼哈顿距离公式：

欧几里得距离公式：

如下图蓝线的距离即是曼哈顿距离（想象你在曼哈顿要从一个十字路口开车到另外一个十字路口实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”，此即曼哈顿距离名称的来源，也称为城市街区距离），红线为欧几里得距离：

切比雪夫距离起源于国际象棋中国王的走法，国际象棋中国王每次只能往周围的8格中走一步，那么如果要从棋盘中A格(x1,y1)走到B格(x2,y2)最少需要走几步？你会发现最少步数总是max(|x2-x1|,|y2-y1|)步。有一种类似的一种距离度量方法叫切比雪夫距离。

切比雪夫距离就是当p趋向于无穷大时的闵氏距离：

距离函数并不一定是距离度量，当距离函数要作为距离度量，需要满足：

由此可见，闵氏距离可以作为距离度量，而大部分的相似度并不能作为距离度量。

闵氏距离也是Lp范数（如p==2为常用L2范数正则化）的一般化定义。
下图给出了一个Lp球（ ||X||p = 1 ）的形状随着P的减少的可视化图：

距离度量随着空间的维度d的不断增加，计算量复杂也逐增，另外在高维空间下，在维度越高的情况下，任意样本之间的距离越趋于相等（样本间最大与最小欧氏距离之间的相对差距就趋近于0），也就是维度灾难的问题，如下式结论：

对于维度灾难的问题，常用的有PCA方法进行降维计算。

假设各样本有年龄，工资两个变量，计算欧氏距离（p=2）的时候，(年龄1-年龄2)² 的值要远小于(工资1-工资2)² ，这意味着在不使用特征缩放的情况下，距离会被工资变量（大的数值）主导, 特别当p越大，单一维度的差值对整体的影响就越大。因此，我们需要使用特征缩放来将全部的数值统一到一个量级上来解决此问题。基本的解决方法可以对数据进行“标准化”和“归一化”。

另外可以使用马氏距离（协方差距离），与欧式距离不同其考虑到各种特性之间的联系是（量纲）尺度无关 (Scale Invariant) 的，可以排除变量之间的相关性的干扰，缺点是夸大了变化微小的变量的作用。马氏距离定义为：

马氏距离原理是使用矩阵对两两向量进行投影后，再通过常规的欧几里得距离度量两对象间的距离。当协方差矩阵为单位矩阵，马氏距离就简化为欧氏距离；如果协方差矩阵为对角阵，其也可称为正规化的欧氏距离。

根据向量x,y的点积公式：

我们可以利用向量间夹角的cos值作为向量相似度[1]：

余弦相似度的取值范围为：-1~1，1 表示两者完全正相关，-1 表示两者完全负相关，0 表示两者之间独立。余弦相似度与向量的长度无关，只与向量的方向有关，但余弦相似度会受到向量平移的影响（上式如果将 x 平移到 x+1, 余弦值就会改变）。

另外，归一化后计算欧氏距离，等价于余弦值：两个向量x,y, 夹角为A，欧氏距离D=(x-y)^2 = x^2+y 2-2|x||y|cosA = 2-2cosA

协方差是衡量多维数据集中，变量之间相关性的统计量。如下公式X，Y的协方差即是，X减去其均值乘以 Y减去其均值，所得每一组数值的期望（平均值）。

如果两个变量之间的协方差为正值，则这两个变量之间存在正相关，若为负值，则为负相关。

皮尔逊相关系数数值范围也是[-1，1]。皮尔逊相关系数可看作是在余弦相似度或协方差基础上做了优化（变量的协方差除以标准差）。它消除每个分量标准不同（分数膨胀）的影响，具有平移不变性和尺度不变性。

卡方检验X2，主要是比较两个分类变量的关联性、独立性分析。如下公式，A代表实际频数；E代表期望频数：

Levenshtein 距离是编辑距离 (Editor Distance) 的一种，指两个字串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。允许的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。
像hallo与hello两个字符串编辑距离就是1，我们通过替换”a“ 为 ”e“，就可以完成转换。

汉明距离为两个等长字符串对应位置的不同字符的个数，也就是将一个字符串变换成另外一个字符串所需要替换的字符个数。例如：1011101 与 1001001 之间的汉明距离是 2，“toned” 与 “roses” 之间的汉明距离是 3

另外的，对于字符串距离来说，不同字符所占的份量是不一样的。比如”我乐了“ 与【“我怒了”，”我乐了啊” 】的Levenshtein 距离都是1，但其实两者差异还是很大的，因为像“啊”这种语气词的重要性明显不如“乐”，考虑字符（特征）权重的相似度方法有：TF-IDF、BM25、WMD算法。

Jaccard 取值范围为0~1，0 表示两个集合没有重合，1 表示两个集合完全重合。

但Dice不满足距离函数的三角不等式，不是一个合适的距离度量。

基础地介绍下信息熵，用来衡量一个随机变量的不确定性程度。对于一个随机变量 X，其概率分布为：

互信息用于衡量两个变量之间的关联程度，衡量了知道这两个变量其中一个，对另一个不确定度减少的程度。公式为：

如下图，条件熵表示已知随机变量X的情况下，随机变量Y的信息熵，因此互信息实际上也代表了已知随机变量X的情况下，随机变量Y的(信息熵)不确定性的减少程度。

JS 散度解决了 KL 散度不对称的问题，定义为：

群体稳定性指标（Population Stability Index，PSI），可以看做是解决KL散度非对称性的一个对称性度量指标，用于度量分布之间的差异（常用于风控领域的评估模型预测的稳定性）。

psi与JS散度的形式是非常类似的，如下公式：

PSI的含义等同P与Q，Q与P之间的KL散度之和。

DTW 距离用于衡量两个序列之间的相似性，适用于不同长度、不同节奏的时间序列。DTW采用了动态规划DP（dynamic programming）的方法来进行时间规整的计算，通过自动warping扭曲时间序列（即在时间轴上进行局部的缩放），使得两个序列的形态尽可能的一致，得到最大可能的相似度。(具体可参考[5])

图结构间的相似度计算，有图同构、最大共同子图、图编辑距离、Graph Kernel 、图嵌入计算距离等方法（具体可参考[4][6]）。

度量学习的对象通常是样本特征向量的距离，度量学习的关键在于如何有效的度量样本间的距离，目的是通过训练和学习，减小或限制同类样本之间的距离，同时增大不同类别样本之间的距离，简单归类如下[2]：

最后，附上常用的距离和相似度度量方法[3]：

❿ 常见的相似度度量算法

本文目录：

定义在两个向量（两个点）上：点x和点y的欧式距离为：

常利用欧几里得距离描述相似度时，需要取倒数归一化，sim = 1.0/(1.0+distance)，利用numpy实现如下：

python实现欧式距离

从名字就可以猜出这种距离的计算方法了。想象你在曼哈顿要从一个十字路口开车到另外一个十字路口，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除非你能穿越大楼。实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”。而这也是曼哈顿距离名称的来源，曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distance)。

(1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的曼哈顿距离

(2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的曼哈顿距离

python实现曼哈顿距离：

国际象棋玩过么？国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个。那么国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步？自己走走试试。你会发现最少步数总是max( | x2-x1 | , | y2-y1 | ) 步。有一种类似的一种距离度量方法叫切比雪夫距离。

(1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的切比雪夫距离

(2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的切比雪夫距离

python实现切比雪夫距离：

闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义。

两个n维变量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为：

其中p是一个变参数。

当p=1时，就是曼哈顿距离

当p=2时，就是欧氏距离

当p→∞时，就是切比雪夫距离

根据变参数的不同，闵氏距离可以表示一类的距离。

闵氏距离，包括曼哈顿距离、欧氏距离和切比雪夫距离都存在明显的缺点。

举个例子：二维样本(身高,体重)，其中身高范围是150 190，体重范围是50 60，有三个样本：a(180,50)，b(190,50)，c(180,60)。那么a与b之间的闵氏距离（无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离）等于a与c之间的闵氏距离，但是身高的10cm真的等价于体重的10kg么？因此用闵氏距离来衡量这些样本间的相似度很有问题。

简单说来，闵氏距离的缺点主要有两个：

(1)将各个分量的量纲(scale)，也就是“单位”当作相同的看待了。

(2)没有考虑各个分量的分布（期望，方差等)可能是不同的。

标准欧氏距离的定义

标准化欧氏距离是针对简单欧氏距离的缺点而作的一种改进方案。标准欧氏距离的思路：既然数据各维分量的分布不一样，好吧！那我先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等吧。均值和方差标准化到多少呢？这里先复习点统计学知识吧，假设样本集X的均值(mean)为m，标准差(standard deviation)为s，那么X的“标准化变量”表示为：

而且标准化变量的数学期望为0，方差为1。因此样本集的标准化过程(standardization)用公式描述就是：

标准化后的值 = ( 标准化前的值－分量的均值 ) /分量的标准差

经过简单的推导就可以得到两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的标准化欧氏距离的公式：

如果将方差的倒数看成是一个权重，这个公式可以看成是一种加权欧氏距离(Weighted Euclidean distance)。

有M个样本向量X1~Xm，协方差矩阵记为S，均值记为向量μ，则其中样本向量X到u的马氏距离表示为：

而其中向量Xi与Xj之间的马氏距离定义为：

若协方差矩阵是单位矩阵（各个样本向量之间独立同分布）,则公式就成了：

也就是欧氏距离了。

若协方差矩阵是对角矩阵，公式变成了标准化欧氏距离。

马氏距离的优缺点：量纲无关，排除变量之间的相关性的干扰。

几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异，机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。

在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式：

两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦

类似的，对于两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)，可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度。

即：

夹角余弦取值范围为[-1,1]。夹角余弦越大表示两个向量的夹角越小，夹角余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时夹角余弦取最大值1，当两个向量的方向完全相反夹角余弦取最小值-1。

python实现余弦相似度：

两个等长字符串s1与s2之间的汉明距离定义为将其中一个变为另外一个所需要作的最小替换次数。例如字符串“1111”与“1001”之间的汉明距离为2。

应用：信息编码（为了增强容错性，应使得编码间的最小汉明距离尽可能大）。

python实现汉明距离：

两个集合A和B的交集元素在A，B的并集中所占的比例，称为两个集合的杰卡德相似系数，用符号J(A,B)表示。

杰卡德相似系数是衡量两个集合的相似度一种指标。

与杰卡德相似系数相反的概念是杰卡德距离(Jaccard distance)。杰卡德距离可用如下公式表示：

杰卡德距离用两个集合中不同元素占所有元素的比例来衡量两个集合的区分度。

可将杰卡德相似系数用在衡量样本的相似度上。

样本A与样本B是两个n维向量，而且所有维度的取值都是0或1。例如：A(0111)和B(1011)。我们将样本看成是一个集合，1表示集合包含该元素，0表示集合不包含该元素。

p ：样本A与B都是1的维度的个数

q ：样本A是1，样本B是0的维度的个数

r ：样本A是0，样本B是1的维度的个数

s ：样本A与B都是0的维度的个数

这里p+q+r可理解为A与B的并集的元素个数，而p是A与B的交集的元素个数。

而样本A与B的杰卡德距离表示为：

皮尔逊相关系数即为相关系数 ( Correlation coefficient )与相关距离(Correlation distance)

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曼哈顿算法大白话

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