拓扑排序算法复杂度

❶ 数据结构中排序和查找各种时间复杂度

数据结构中排序和查找各种时间复杂度
(1)冒泡排序
冒泡排序就是把小的元素往前调或者把大的元素往后调。比较是相邻的两个元素比较，交换也发生在这两个元素之间。所以相同元素的前后顺序并没有改变，所以冒泡排序是一种稳定排序算法。
(2)选择排序
选择排序是给每个位置选择当前元素最小的，比如给第一个位置选择最小的。…… 例子说明好多了。序列5 8 5 2 9， 我们知道第一遍选择第1个元素5会和2交换，那么原序列中2个5的相对前后顺序就被破坏了， 所以选择排序不稳定的排序算法
(3)插入排序
插入排序是在一个已经有序的小序列的基础上，一次插入一个元素。比较是从有序序列的末尾开始，也就是想要插入的元素和已经有序的最大者开始比起，如果比它大则直接插入在其后面，否则一直往前找直到找到它该插入的位置。如果和插入元素相等，那么插入元素把想插入的元素放在相等元素的后面。所以，相等元素的前后顺序没有改变。所以插入排序是稳定的。
(4)快速排序
快速排序有两个方向，左边的i下标一直往右走（往后），当a[i] <= a[center_index]，其中center_index是中枢元素的数组下标，一般取为数组第0个元素。而右边的j下标一直往左走（往前），当a[j] > a[center_index]。如果i和j都走不动了，i <= j, 交换a[i]和a[j],重复上面的过程，直到i>j。 交换a[j]和a[center_index]，完成一趟快速排序。在中枢元素和a[j]交换的时候，很有可能把前面的元素的稳定性打乱，比如序列为 5 3 3 4 3 8 9 10 11， 现在中枢元素5和3(第5个元素，下标从1开始计)交换就会把元素3的稳定性打乱，所以快速排序是一个不稳定的排序算法。（不稳定发生在中枢元素和a[j]交换的时刻）
(5)归并排序
归并排序是把序列递归地分成短序列，递归出口是短序列只有1个元素(认为直接有序)或者2个序列(1次比较和交换),然后把各个有序的段序列合并成一个有序的长序列。不断合并直到原序列全部排好序。相等时不发生交换。所以，归并排序也是稳定的排序算法。
(6)基数排序
基数排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序，最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。基数排序基于分别排序，分别收集，所以其是稳定的排序算法。
(7)希尔排序(shell)
希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序，当刚开始元素很无序的时候，步长最大，所以插入排序的元素个数很少，速度很快；当元素基本有序了，步长很小，插入排序对于有序的序列效率很高。所以，希尔排序的时间复杂度会比o(n^2)好一些。由于多次插入排序，我们知道一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以shell排序是不稳定的。
(8)堆排序
我们知道堆的结构是节点i的孩子为2*i和2*i+1节点，大顶堆要求父节点大于等于其2个子节点，小顶堆要求父节点小于等于其2个子节点。在一个长为n的序列，堆排序的过程是从第n/2开始和其子节点共3个值选择最大(大顶堆)或者最小(小顶堆),这3个元素之间的选择当然不会破坏稳定性。但当为n/2-1, n/2-2, ...1这些个父节点选择元素时，就会破坏稳定性。有可能第n/2个父节点交换把后面一个元素交换过去了，而第n/2-1个父节点把后面一个相同的元素没有交换，那么这2个相同的元素之间的稳定性就被破坏了。所以，堆排序是不稳定的排序算法
一、排序
排序法 平均时间 最差情形 稳定度 额外空间 备注
冒泡 O(n2) O(n2) 稳定 O(1) n小时较好
交换 O(n2) O(n2) 不稳定 O(1) n小时较好
选择 O(n2) O(n2) 不稳定 O(1) n小时较好
插入 O(n2) O(n2) 稳定 O(1) 大部分已排序时较好
Shell O(nlogn) O(ns) 1<s<2 不稳定???="" o(1)???????="" s是所选分组</s
快速 O(nlogn) O(n2) 不稳定 O(nlogn) n大时较好
归并 O(nlogn) O(nlogn) 稳定 O(1) n大时较好
堆 O(nlogn) O(nlogn) 不稳定 O(1) n大时较好
基数 O(logRB) O(logRB) 稳定 O(n) B是真数(0-9)，R是基数(个十百)
二、查找
未写……
三 树图
克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O（eloge）
普里姆算法的时间复杂度为O（n2）
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O（n2）
拓扑排序算法的时间复杂度为O（n+e）
关键路径算法的时间复杂度为O（n+e）

❷ 求详解 pascal 拓扑排序

拓扑排序
有向无回路图又称为dag。对这种有向无回路图的拓扑排序的结果为该图所有顶点的一个线性序列，满足如果G包含(u,v)，则在序列中u出现在v之前（如果图是有回路的就不可能存在这样的线性序列)。一个图的拓扑排序可以看成是图的所有顶点沿水平线排成的一个序列，使得所有的有向边均从左指向右。因此，拓扑排序不同于通常意义上对于线性表的排序。

有向无回路图经常用于说明事件发生的先后次序，图1给出一个实例说明早晨穿衣的过程。必须先穿某一衣物才能再穿其他衣物(如先穿袜子后穿鞋)，也有一些衣物可以按任意次序穿戴(如袜子和短裤)。图1(a)所示的图中的有向边(u,v)表明衣服u必须先于衣服v穿戴。因此该图的拓扑排序给出了一个穿衣的顺序。每个顶点旁标的是发现时刻与完成时刻。图1(b)说明对该图进行拓扑排序后将沿水平线方向形成一个顶点序列，使得图中所有有向边均从左指向右。

下列简单算法可以对一个有向无回路图进行拓扑排序。

procere Topological_Sort(G);
begin
1.调用DFS(G)计算每个顶点的完成时间f[v];
2.当每个顶点完成后，把它插入链表前端;
3.返回由顶点组成的链表;
end;
图1(b)说明经拓扑排序的结点以与其完成时刻相反的顺序出现。因为深度优先搜索的运行时间为θ(V+E)，每一个v中结点插入链表需占用的时间为θ(1)，因此进行拓扑排序的运行时间θ(V+E)。

图1 早晨穿衣的过程

为了证明算法的正确性，我们运用了下面有关有向无回路图的重要引理。

引理1

有向图G无回路当且仅当对G进行深度优先搜索没有得到反向边。

证明：

→：假设有一条反向边(u,v)，那么在深度优先森林中结点v必为结点u的祖先，因此G中从v到u必存在一通路，这一通路和边(u,v)构成一个回路。

←：假设G中包含一回路C，我们证明对G的深度优先搜索将产生一条反向边。设v是回路C中第一个被发现的结点且边(u,v)是C中的优先边，在时刻d[v]从v到u存在一条由白色结点组成的通路，根据白色路径定理可知在深度优先森林中结点u必是结点v的后裔，因而(u,v)是一条反向边。(证毕)

定理1

Topological_Sort(G)算法可产生有向无回路图G的拓扑排序。

证明:

假设对一已知有问无回路图G=(V,E)运行过程DFS以确定其结点的完成时刻。那么只要证明对任一对不同结点u,v∈V，若G中存在一条从u到v的有向边，则f[v]<f[u]即可。考虑过程DFS(G)所探寻的任何边(u,v)，当探寻到该边时，结点v不可能为灰色，否则v将成为u的祖先，(u,v)将是一条反向边，和引理1矛盾。因此，v必定是白色或黑色结点。若v是白色，它就成为u的后裔，因此f[v]<f[u]。若v是黑色，同样f[v]<f[u]。这样一来对于图中任意边(u,v)，都有f[v]<f[u]，从而定理得证。（证毕）

另一种拓扑排序的算法基于以下思想：首先选择一个无前驱的顶点（即入度为0的顶点，图中至少应有一个这样的顶点，否则肯定存在回路），然后从图中移去该顶点以及由他发出的所有有向边，如果图中还存在无前驱的顶点，则重复上述操作，直到操作无法进行。如果图不为空，说明图中存在回路，无法进行拓扑排序；否则移出的顶点的顺序就是对该图的一个拓扑排序。

下面是该算法的具体实现：

procere Topological_Sort_II(G);
begin
1 for 每个顶点u∈V[G] do d[u]←0; //初始化d[u],d[u]用来记录顶点u的入度

2 for 每个顶点u∈V[G] do
3 for 每个顶点v∈Adj[u] do d[v]←d[v]+1; //统计每个顶点的入度

4 CreateStack(s); //建立一个堆栈s

5 for 每个顶点u∈V[G] do
6 if d[u]=0 then push(u,s); //将度为0的顶点压入堆栈

7 count←0;

8 while (not Empty(s)) do
begin
9 u←top(s); //取出栈顶元素
10 pop(s); //弹出一个栈顶元素
11 count←count+1;
12 R[count]←u; //线性表R用来记录拓扑排序的结果

13 for 每个顶点v∈Adj[u] do //对于每个和u相邻的节点v
begin
14 d[v]←d[v]-1;
15 if d[v]=0 then push(v,s); //如果出现入度为0的顶点将其压入栈
end;
end;

16 if count<>G.size then writeln('Error! The graph has cycle.')
17 else 按次序输出R;
end;
上面的算法中利用d[u]来记录顶点u的入度，第2-3行用来统计所有顶点的入度，第5-6行将入度为0的顶点压入堆栈，第8-15行不断地从栈顶取出顶点，将该顶点输出到拓扑序列中，并将所有与该顶点相邻的顶点的入度减1，如果某个顶点的入度减至0，则压入堆栈，重复该过程直到堆栈空了为止。显而易见该算法的复杂度为O(VE)，因为第2-3行的复杂性就是O(VE)，后面8-15行的复杂性也是O(VE)。这个算法虽然简单，但是没有前面一个算法的效率高。

❸ 采用邻接表存储，拓扑排序算法的时间复杂度为多少

要看使用什么样的拓扑排序，最好的方法是输出DFS的逆序，这样的算法复杂度是O(V+L),V是顶点个数，L是边个数。

❹ 采用邻接表存储，拓扑排序算法的时间复杂度为多少

要看使用什么样的拓扑排序，最好的方法是输出DFS的逆序，这样的算法复杂度是O(V+L),V是顶点个数，L是边个数。

❺ 拓扑排序时间复杂度o(n+e)怎么算的

对有n个顶点和e条弧的有向图而言，建立求各顶点的入度的时间复杂度为O(e)；建零入度顶点栈的时间复杂度为O(n)；在拓扑排序过程中，若有向图无环，则每个顶点进一次栈、出一次栈，入度减1的操作在while语句中总共执行e次，所以总的时间复杂度为O(n+e)。

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。

时间复杂度是同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。

计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述了该算法的运行时间。这是一个关于代表算法输入值的字符串的长度的函数。

时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，它考察当输入值大小趋近无穷时的情况。

(5)拓扑排序算法复杂度扩展阅读

在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出 T(n) 的同数量级，找出后，f(n) = 该数量级，若 T(n)/f(n) 求极限可得到一常数c，则时间复杂度T(n) = O(f(n))。

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：

常数阶O(1),线性阶O(n),

线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),...，

k次方阶O(n^k),指数阶O(2^n)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

❻ 设图 G 采用邻接表存储，则拓扑排序算法的时间复杂度为（）

如果是邻接表存储，拓扑排序算法的时间复杂度应该是O(n + e)，n是顶点个数，e是弧的数量

❼ 拓扑排序 pascal

拓扑排序
有向无回路图又称为dag。对这种有向无回路图的拓扑排序的结果为该图所有顶点的一个线性序列，满足如果G包含(u,v)，则在序列中u出现在v之前（如果图是有回路的就不可能存在这样的线性序列)。一个图的拓扑排序可以看成是图的所有顶点沿水平线排成的一个序列，使得所有的有向边均从左指向右。因此，拓扑排序不同于通常意义上对于线性表的排序。

有向无回路图经常用于说明事件发生的先后次序，图1给出一个实例说明早晨穿衣的过程。必须先穿某一衣物才能再穿其他衣物(如先穿袜子后穿鞋)，也有一些衣物可以按任意次序穿戴(如袜子和短裤)。图1(a)所示的图中的有向边(u,v)表明衣服u必须先于衣服v穿戴。因此该图的拓扑排序给出了一个穿衣的顺序。每个顶点旁标的是发现时刻与完成时刻。图1(b)说明对该图进行拓扑排序后将沿水平线方向形成一个顶点序列，使得图中所有有向边均从左指向右。

下列简单算法可以对一个有向无回路图进行拓扑排序。

procere Topological_Sort(G);
begin
1.调用DFS(G)计算每个顶点的完成时间f[v];
2.当每个顶点完成后，把它插入链表前端;
3.返回由顶点组成的链表;
end;
图1(b)说明经拓扑排序的结点以与其完成时刻相反的顺序出现。因为深度优先搜索的运行时间为θ(V+E)，每一个v中结点插入链表需占用的时间为θ(1)，因此进行拓扑排序的运行时间θ(V+E)。

图1 早晨穿衣的过程

为了证明算法的正确性，我们运用了下面有关有向无回路图的重要引理。

引理1

有向图G无回路当且仅当对G进行深度优先搜索没有得到反向边。

证明：

→：假设有一条反向边(u,v)，那么在深度优先森林中结点v必为结点u的祖先，因此G中从v到u必存在一通路，这一通路和边(u,v)构成一个回路。

←：假设G中包含一回路C，我们证明对G的深度优先搜索将产生一条反向边。设v是回路C中第一个被发现的结点且边(u,v)是C中的优先边，在时刻d[v]从v到u存在一条由白色结点组成的通路，根据白色路径定理可知在深度优先森林中结点u必是结点v的后裔，因而(u,v)是一条反向边。(证毕)

定理1

Topological_Sort(G)算法可产生有向无回路图G的拓扑排序。

证明:

假设对一已知有问无回路图G=(V,E)运行过程DFS以确定其结点的完成时刻。那么只要证明对任一对不同结点u,v∈V，若G中存在一条从u到v的有向边，则f[v]<f[u]即可。考虑过程DFS(G)所探寻的任何边(u,v)，当探寻到该边时，结点v不可能为灰色，否则v将成为u的祖先，(u,v)将是一条反向边，和引理1矛盾。因此，v必定是白色或黑色结点。若v是白色，它就成为u的后裔，因此f[v]<f[u]。若v是黑色，同样f[v]<f[u]。这样一来对于图中任意边(u,v)，都有f[v]<f[u]，从而定理得证。（证毕）

另一种拓扑排序的算法基于以下思想：首先选择一个无前驱的顶点（即入度为0的顶点，图中至少应有一个这样的顶点，否则肯定存在回路），然后从图中移去该顶点以及由他发出的所有有向边，如果图中还存在无前驱的顶点，则重复上述操作，直到操作无法进行。如果图不为空，说明图中存在回路，无法进行拓扑排序；否则移出的顶点的顺序就是对该图的一个拓扑排序。

下面是该算法的具体实现：

procere Topological_Sort_II(G);
begin
1 for 每个顶点u∈V[G] do d[u]←0; //初始化d[u],d[u]用来记录顶点u的入度

2 for 每个顶点u∈V[G] do
3 for 每个顶点v∈Adj[u] do d[v]←d[v]+1; //统计每个顶点的入度

4 CreateStack(s); //建立一个堆栈s

5 for 每个顶点u∈V[G] do
6 if d[u]=0 then push(u,s); //将度为0的顶点压入堆栈

7 count←0;

8 while (not Empty(s)) do
begin
9 u←top(s); //取出栈顶元素
10 pop(s); //弹出一个栈顶元素
11 count←count+1;
12 R[count]←u; //线性表R用来记录拓扑排序的结果

13 for 每个顶点v∈Adj[u] do //对于每个和u相邻的节点v
begin
14 d[v]←d[v]-1;
15 if d[v]=0 then push(v,s); //如果出现入度为0的顶点将其压入栈
end;
end;

16 if count<>G.size then writeln('Error! The graph has cycle.')
17 else 按次序输出R;
end;
上面的算法中利用d[u]来记录顶点u的入度，第2-3行用来统计所有顶点的入度，第5-6行将入度为0的顶点压入堆栈，第8-15行不断地从栈顶取出顶点，将该顶点输出到拓扑序列中，并将所有与该顶点相邻的顶点的入度减1，如果某个顶点的入度减至0，则压入堆栈，重复该过程直到堆栈空了为止。显而易见该算法的复杂度为O(VE)，因为第2-3行的复杂性就是O(VE)，后面8-15行的复杂性也是O(VE)。这个算法虽然简单，但是没有前面一个算法的效率高。

❽ 在用邻接表表示图时，拓扑排序算法时间复杂度为多少

O（n + e）。
对于一个具有n个顶点e条弧的有向图来说，刚开始将入度为0的顶点入栈的时间复杂为O(n)，在之后顶点出栈时，入度减1的操作共执行了e次，所以整个算法的时间复杂度为O(n + e)。