蒙特卡洛算法实现实验总结

⑴ 什么是蒙特卡洛分析

蒙特卡罗分析法，是一种容差分析方法，以电子电路为例，在给定元器件的值和容差范围时，对电路进行直流特性，交流小信号特性，瞬态特性分析，得出整个电路的性能的统计规律。

换言之，也就是从一个系统的组成部分的变动范围来分析整个系统的性能、动态范围的统计规律的方法。

总之，是一种利用概率统计理论的仿真方法。通过容差分析，可以断定整个系统是否满足设计要求，从而判断某些元器件是否符合要求。

在电路设计中，实际元件的参数值和标称之间总存在着随机误差，了解和掌握各个元件参数值对电路性能的影响程度，是电路设计人员所关心的。因此在电路设计时，需考虑容差问题，并进行容差分析。

所谓容差分析是为设定方案确定电路元器件的容许变化范围，即元件的容差。它可分为两类:一是分析问题，给定元器件、电路及温度的容差，计算电路特性的容差，以验证是否符合设计要求;二是设计问题，给定电路特性指标的范围，求出所用元器件及电源等的容差，验证设计方案等是否适宜。但容差设计问题没有惟一解，所以在电路模拟中要解决这一问题，往往通过容差分析问题进行反求，对电路进行容差分析。

目前，在电子电路的可靠性设计中，蒙特卡罗分析法是进行容差分析的主要方法之一。电子电路中的蒙特卡罗分析法是一种基于概率统计模拟方法，它是在给定电路元器件参数容差的统计分布规律的情况下，用一组组伪随机数求得元器件参数的随机抽样序列，对这些随机抽样的电路进行直流、交流小信号和瞬态分析，并通过多次分析结果估算出电路性能的统计分布规律，如电路性能的中心值、方差，以及电路合格率、成本等。

⑵ 蒙特卡洛方法的详细过程

在控制方面，蒙特卡洛方法就是通过大量随机过程，类似于穷举法，验证控制系统的性能，主要是检验系统的鲁棒性，比方说：PID控制器参数已经整定完毕，但是被控对象的参数在某个范围内发生变化，这时，将系统的输出，比方说调整时间和超调亮在坐标图上以点的形式画出，那么如果进行100次试验，就会在图上形成一百个点，如果这些点排列相对集中，那么系统的鲁棒性就相对较好，并且，如果这些点离坐标原点的距离都很近，那么，这个PID控制器的调节时间和超调量性能也就比较好，这是我在控制领域见到的一种蒙特卡洛方法的运用，在经济领域，蒙特卡洛也有运用，可以简化过去的算法，将积分变为直接的随机试验，这样可以降低系统的运行时间，提高效率。

⑶ 蒙特卡洛算法的实际应用举例

比较简单的有随机抽样，通过坐标的变换产生球面，圆面，正方体面等等所需要的抽样。在某些计算机模拟过程中，可以随机产生噪声，比如说水中花粉随机行走之类的问题，可以用来随机产生外界水分子的作用力，用来模拟现实情况。当然也可以用这种方式来近似某些科学计算，最简单的例子就是近似计算积分。对于某些计算机无法完全枚举的优化问题，也可以用蒙特卡洛方法得到较好的解，常见的比如模拟退火，量子退火等优化方法，都用到了蒙特卡洛算法。

⑷ 一文读懂MCMC算法（马尔科夫链蒙特卡洛）

理解本文需要一些贝叶斯基础，小白可移步 https://www.jianshu.com/p/c942f8783b97

为了理解MCMC，我们依然是从一个具体的事例出发：假设当我们来到了一个小人国，我们感兴趣的是小人国的国民的 身高分布情况 ，即有多少人高1米，有多少人高0.5米，又有多少人像我们正常人一样高。一种解决这个问题的暴力方法是找遍这个小人国的所有人，然后都测量身高，但显然，这是一个愚公移山式的方法，在很多情况下都是不可能的。

所以，由于精力有限，我们只找到了10个小人国的人民，这十个人的高度分别是:
1.14，1.02，1.08，0.96，0.79，0.94，1.00，0.93，1.13，1.02

聪明的我们的直觉是，这大概符合一个 正态分布 ，然后我们碰到了一个开挂了的长老，他说：“没错，就是正态分布，而且标准差sd=0.1，现在让我看看你们这些愚蠢的人类能不能知道这个正态分布的平均值μ是多少！”。

一对分别名为马尔科夫和蒙特卡洛的名侦探组合就此登场，他们说：“首先，我们先随便猜一个平均值μ，比如μ(1) = 0.8好了。”

*我这里用μ(n)表示第n个提出的μ值，所以μ(1)是提出的第一个μ值，μ(2)是第二个提出的μ值。

接着他们要做的事，是要确定另一个值μ(2)，通常我们要谨慎一点去选择一个和之前提出来的值μ(1)差别不大的值，比如μ(2) = 0.7。

接着的问题就是，我们需要判断：究竟是μ(1) 更符合实际情况，还是μ(2) 更符合实际情况呢？但要如何作出这个判断呢，这里就要用到前面的贝叶斯公式了。

判断哪个值更好，实际上是在问，基于目前观察到的数据，得到这个参数μ的可能性哪个更大？ 即：
已知D = {1.14，1.02，1.08，0.96，0.79，0.94，1.00，0.93，1.13，1.02}
p(μ(2)|D) 大于还是小于还是等于 p(μ(1)|D) ？

这不就是在问谁的后验概率更大嘛？

为了解决这件事，一种思路是我们要把p(μ(2)|D) 和 p(μ(1)|D) 都用前面的贝叶斯公式解出来。但你很快就会发现在这种情况下证据概率p(D)会很难算。

但如果我们转念一想，我们要做的是比较p(μ(2)|D) 和p(μ(1)|D) ，那么 我们其实只要求p(μ(2)|D) / p(μ(1)|D) 就可以了，如果这个比值大于1，则说明μ2的后验概率更大，更符合实际情况 。

而实际上，
p(μ(2)|D) / p(μ(1)|D)
= (p(μ(2))p(D|μ(2)) / p(D)) / (p(μ(1))p(D|μ(1)) / p(D))
= p(μ(2))p(D|μ(2)) / p(μ(1))p(D|μ(1))

可以看到，由于分子和分母上的P(D)被相互抵消了，剩下来需要知道的值就只剩下μ(1)和μ(2)的 先验概率 ，以及分别在μ=μ(1)和μ=μ(2)时得到数据D的 似然概率 了。

现在，我们面临的问题要比之前简化了一些。但实际上我们还需要处理似然概率的计算和先验概率的问题。

先说说似然概率p(D|μ(2)) 和p(D|μ(1))，此时的似然概率是完全可以算出来的。因为我们已经假设了数据D符合的是正态分布模型了，且已知sd=0.1（前面大师说的），所以当我们假设μ=μ(1)时，就确定了一个平均值为μ(1)和标准差为0.1的正态分布，也就确定了这个正态分布的概率密度函数f(x)，接着基于我们的数据D计算x = 1.14，1.02，1.08...等值的概率密度，再将这些值相乘，便得到了似然概率*。

** 可以这样理解这一似然概率的计算：如果我们此时假定的正态分布与数据实际对应的正态分布越接近，就自然 可能 有越多的数据落在高概率密度函数的区域（即分布的平均值附近），如此，作为概率密度函数的连乘的似然概率自然也会更高。相比之下，如果你现在确定的正态分布的平均值为1500，标准差为1，那么它在x = 1.14的概率密度（概率密度的具体数值不等于概率，但是两者的数学意味是接近的）就会高度趋近于0，将这样一个数作为因子去计算似然概率，似然概率也显然将会比较低。

说完了似然概率，就轮到先验概率p(μ(2))和p(μ(1))的问题了。先验概率要怎么去算呢？答案是不用算！我们自己来定。但是先验概率毫无疑问对MCMC算法是有影响的，就像我们之前从之前贝爷的故事里看到的那样，后验概率是受到先验概率影响的。之所以一枚90%击中率的硬币几乎不能预测一个人是否得病，是因为得这种病本身的先验概率就超级低。 一个你需要记住的简单事实是，我们设定的先验概率越是背离真实的情况，就需要越多的数据去将先验概率修正，让后验概率符合实际的情况。 从这个意义上说， 贝叶斯推理不是无中生有，而是要先对数据背后的结果有一个信念（belief）的基础上，根据所见的数据，不断地修正原本的信念，使之逐渐接近数据背后对应的真实情况 。 （贝叶斯公式本身就带有学习、更新的意味，所以学界现在还有种说法是我们的大脑是贝叶斯式的）

当我们看到数据的时候，通过观察数据，我们最开始会猜想μ=1的概率比较高，因此我们可以假定μ的先验概率是服从平均值为1，sd为0.5的概率分布，有了这样的先验概率分布，我们就可以计算得到当μ=μ1，μ2时分别对应的概率密度了。

搞定了先验概率和似然概率，就可以计算前面的公式p(μ(2))p(D|μ(2)) / p(μ(1))p(D|μ(1))了。当这个比值大于等于1时，我们就接受μ(2)，而如果这个比值小于1，我们就以这个比值为概率接受μ(2)。比如比值为0.5时，我们只有50%的概率接受μ(2)。当不接受的时候，我们得重新寻找一个μ(2)，再进行同样的后验概率比较。

反复进行这样的步骤之后， 我们可以想象，我们自然会更大程度地访问那些后验概率更高的μ值。我们访问不同的μ值的频率分布，就是关于μ值的后验概率分布（的近似）。 至于这背后具体的数学推导，我们就不谈了。但注意，参数的近似后验分布并不是我们想要拟合的模型“即最开始的问题：小人国的国民的 身高分布情况 ”。还记得我们最开始假设小人国的身高分布情况符合正态分布，且我们已经得知这个正态分布的标准差sd=1，而MCMC最终会告诉我们根据现有的数据，我们推断小人国身高分布的平均值μ，符合某个概率分布（比如平均值为1，sd为5），如果我们觉得合适，我们可以将μ的后验分布的平均值作为μ的最可能值。即，“小人国的国民的 身高分布情况 最有可能符合μ=1，sd=1的概率分布”。

最后总结一下MCMC算法：
（1）确定参数值的先验分布。
（2）先确定第一个访问（或者说采样）的参数的数值，作为当前参数数值
（3）根据当前访问的参数的数值，以一定的方式（比如 Metropolis sampler ）提出下一个待考虑访问的参数的数值。
（4）以比值的形式，比较当前参数数值和待考虑访问的参数数值的后验概率，计算后验概率涉及到先验概率和后验概率的概率密度。根据这个比值的大小，接受或拒绝该待考虑采样的参数数值。接受后则将该参数数值视为当前参数数值。
（5）重复（3）和（4），直到符合某种终止条件（比如说访问了10000个参数数值）

最终，将被采样的参数数值的频率分布作为对该参数的后验概率分布的近似。

看完以后，你是不是想说这么复杂的事，是人干的吗！？

废话，这种事当然是计算机来干啊，你还想手算不成？

⑸ 蒙特卡洛方法

蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

应用领域：

蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算、核工程)等领域应用广泛。

⑹ matlab如何实现蒙特卡洛算法

1、打开MATLAB软件，如图所示，输入一下指令。

⑺ matlab如何实现蒙特卡洛算法

1、首先我们启动matlab，新建一个函数文件。

⑻ 蒙特卡洛算法是什么

是二十世纪提出的数值计算方法。

蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。

是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。与它对应的是确定性算法。蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。

基本原理：

蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。

蒙特卡罗解题可归结为三个主要步骤。

构造或描述概率过程。

实现从已知概率分布抽样。

建立各种评估量。

⑼ Matlab蒙特卡洛算法的设计和实现

%%假设前10个分值为5，后10个分值为10
income=0; %% 收入
n=10000; %% 模拟次数,即有n个人参加游戏
for i=1:n
a=randperm(20);
a=a(1:10);
b=find(a>10); %%10分分值的
sumb=length(b)*10+(10-length(b))*5;
if sumb==50||sumb==100
income=income-100;
elseif sumb==55||sumb==95
income=income-10;
elseif sumb==70||sumb==75||sumb==80
income=income+1;
end
end
income

运行的结果表示庄家的收入，我测试很多次的结果都在8000以上，说明庄家是赚钱的。若有什么疑问继续追问