⑴ 经典算法思想2——分治(Divide-and-Conquer)
经典算法思想——分治(Divide-and-Conquer)
分治法，字面意思是“分而治之”，即将一个复杂的问题分成两个或多个相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题，直到最后子问题可以简单地直接求解。原问题的解即子问题的解的合并。这个思想是很多高效算法的基础，例如排序算法（快速排序、归并排序）、傅里叶变换（快速傅里叶变换）等。
一、分治法的基本思想
分治法的基本思想是将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。这种思想通过递归或迭代的方式，将问题不断分解，直到达到可以直接求解的规模，然后再将各个子问题的解合并，得到原问题的解。
二、分治策略
对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如规模n较小），则直接解决；否则，将其分解为k个规模较小的子问题。这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解决这些子问题，然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。
如果原问题可以分割成k个子问题，1<k<=n，且这些子问题均可解并且利用这些子问题的解可以求出原问题的解，那么分治方法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
三、分治法使用场景
分治法适用于以下场景：
四、分治法的基本步骤
分治法的基本步骤包括：
五、分治法的复杂性分析
一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。设分解阈值n0=1，且最小子解规模为1的问题消耗一个单位时间。设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间，用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间：
T(n)=kT(n/m)+f(n)
六、可以使用分治法求解的一些经典问题
二分搜索：二分搜索法，又叫做二分查找、折半查找，是一种效率较高的查找方法。它适用于有序表，通过逐步缩小查找范围，直到找到或找不到该记录的位置。
步骤：
先确定中间位置middle=(left+right)/2；
将待查找的key值与data[middle].key的值比较，相等则查找成功并返回该位置；
如果data[middle].key大于key，则新的查找区间在middle左边的子表中；
如果data[middle].key小于key，则新的查找区间在middle右边的子表中。
（注：由于Markdown格式限制，无法直接插入具体图片，但上述链接为示意性描述，实际使用时可用具体二分搜索图替换）
大整数乘法：对于非常大的整数，直接相乘可能会导致溢出或计算效率低下。分治法可以将大整数分成较小的部分，分别相乘，然后再合并结果。
Strassen矩阵乘法：Strassen算法是一种比传统矩阵乘法更高效的算法，它利用分治法将矩阵分成小块，通过减少乘法次数来提高效率。
棋盘覆盖：棋盘覆盖问题是一个经典的组合数学问题，可以使用分治法来解决。例如，用L型骨牌覆盖一个2^k×2^k的棋盘，使其留下一个空格。
合并排序：合并排序是一种基于分治法的排序算法，它将数组分成两半，分别排序，然后合并结果。
快速排序：快速排序也是一种基于分治法的排序算法，它通过选择一个基准元素，将数组分成两部分，一部分小于基准，一部分大于基准，然后递归地对这两部分进行排序。
线性时间选择：线性时间选择算法可以在线性时间内找到一个无序数组中的第k小元素。
最接近点对问题：在二维平面上给定n个点，找到距离最近的一对点。这个问题可以通过分治法来解决。
循环赛日程表：在循环赛中，每个参赛者都要与其他参赛者比赛一次。分治法可以用来生成这样的日程表。
汉诺塔：汉诺塔是一个经典的递归问题，也可以使用分治法来解决。它将n个盘子从一个柱子移动到另一个柱子，同时遵循一定的规则。
七、总结
分治法是一种重要的算法思想，它通过将复杂问题分解成较小的子问题来求解，从而降低了问题的难度。分治法在排序、搜索、矩阵乘法等领域有着广泛的应用，是许多高效算法的基础。掌握分治法不仅有助于理解这些算法的工作原理，还能培养解决问题的思维方式。
⑵ 经典优化算法之分治法（Divide-and-Conquer Algorithm）
经典优化算法中的分治法，即Divide-and-Conquer策略，是一种强大的问题解决技巧，通过将复杂问题分解为更小的、相似的子问题，再逐个解决并合并结果。它在众多高效算法中占据核心地位，如排序（如快速排序和归并排序）和信号处理（如快速傅立叶变换）。
举个通俗的例子，寻找100枚硬币中重量不同的假币，传统方法可能需要多次比较，而分治法通过不断分割问题（100→33+33+34），每次缩小规模，最终只需5次就能找出假币。这种策略的流程可分解为：划分、递归求解子问题和合并子问题的解。
分治法的运作遵循一个通用模式：在n规模的问题上，先递归地解决规模为n/b的子问题，再合并子问题的解。通过时间复杂度公式，如归并排序，我们能看到其在解决规模问题上的效率。分治法适用于问题规模缩小后易于处理，且子问题独立且无重叠的场景。
例如，归并排序是分治法的经典应用，其将排序问题分解为多个子问题，通过递归解决并合并结果。在汉诺塔问题中，通过分治法，将大问题分解为小规模的子问题，再逐层递归解决，最终找到最优解。
总之，分治法是一种递归解决问题的方法，关键在于找到问题的最小规模解决方案，并构建递归函数处理不同规模的问题。如果你对文章内容有任何疑问，可以联系秦虎老师或相关团队成员进行交流。
⑶ 什么是分治算法
分治算法是一种将一个复杂问题分解成多个相对简单的独立子问题进行求解的算法策略，综合所有子问题的解可以得到原复杂问题的解。以下是分治算法的一些关键点：
示例：快速排序算法是分治算法的一个典型例子。它通过将一个大数组分成两个较小的子数组，然后递归地对这两个子数组进行排序，最终合并得到完全有序的数组。
分治算法因其高效性和易于理解的特点，在计算机科学中得到了广泛应用。
⑷ 分治算法——汉诺塔问题
一、分治算法概念
“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换) 。
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
二、分治法的设计思想
将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
三、分治策略
对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
四、分治法实现步骤
①分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；②解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；③合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
它的一般的算法设计模式如下： Divide-and-Conquer(P) 1. if |P|≤n0 2. then return(ADHOC(P)) 3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk 4. for i←1 to k 5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) 递归解决Pi 6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) 合并子问题 7. return(T)
五、可使用分治法求解的一些经典问题 （1）二分搜索
（2）大整数乘法
（3）Strassen矩阵乘法
（4）棋盘覆盖
（5）合并排序
（6）快速排序
（7）线性时间选择
（8）最接近点对问题
（9）循环赛日程表
（10）汉诺塔