三对角矩阵的快速算法

A. 追赶法解三对角矩阵的问题

追赶法本质上就是不选主元的Gauss消去法, 只要所有顺序主子式都非零就可以用
对角占优性可以保证顺序主子式都非零, 同时保证数值稳定性
如果没有对角占优性有可能会出现算法中断或者即使不中断但精度也比较低的情况

B. 线性代数 三对角行列式的计计算方法

线性代数三对角行列式的计算方法如下：

用行列式的归纳法。

得到An=aA(n-1)+bA(n-2)

然后通过数列的方法接出An即可。

注：上述的Ai指的是行列式中含有的第i阶子行列式。

举例如下：求下列行列式的值。

按第一行展开
Dn = aD(n-1) - bcD(n-2).
递归关系的特征方程为 x^2-ax+bc=0.
记 u=a^2-4bc.

当u=0时, x^2-ax+bc=0 的根为 α=a/2.
Dn = c1α^n + c2nα^n.
代入 D1 = a, D2 = a^2-bc 得 C1=C2=1
所以 Dn = (n+1)(a/2)^n.

当u≠0时, x^2-ax+bc=0 的根为 α=(a+√u)/2, β=(a-√u)/2.
所以 Dn = c1α^n + c2β^n.
代入 D1 = a, D2 = a^2-bc 解得c1,c2
即有 Dn=(a+√u)^(n+1)-(a-√u)^(n+1)

C. 什么三对角线矩阵，三对角线线性方程组

三对角线矩阵就是对角线，邻近对角线的上下次对角线上有元素，其他位置均为0的矩阵，是一种特殊的上Hessenberg矩阵（这个就是上三角矩阵加上下三角部分的第一条次对角线有元素，其他都为0元素）。三对角线性方程组么就显然是由三对角线矩阵诱导出的方程组，比如A是三对角矩阵，那么Ax=b这个关于x的方程组就是三对角线线性方程组。这类矩阵在数值算法中经常用到，尤其是对于对称的一些矩阵计算问题。

D. lanczos算法将矩阵化为三对角矩阵后，用什么方法求特征值、特征向量呢

实对称三对角矩阵可以用对称QR算法/分治算法/二分法/MRRR等多种方法对角化
如果没有什么特殊需求的话Lanczos过程之后用QR算法就行了

E. 计算三对角矩阵时，为什么舍去了 b^2-4ac=0的情况

没必要讨论，因为若同时满足(x-b)^2-4ac=0和(n+1)[(x-b)/2]^n=0，则ac=0，此时An为上三角或下三角矩阵或对角矩阵，不再是三对角矩阵。
其实就算把它仍当做三对角矩阵来讨论，结论也还是不变

F. 三对角矩阵数组下标推导

有三对角矩阵 A[n,n],将其三条对角线上的元素逐行地存储到向量B[0..3n-3]中,使得B[k]=aij,写一算法求三对角矩阵在这种压缩存储表示下的转置矩阵.
i=(k+1)/3;
j=k-2((k+1)/3)
语句段如下：
for (k=0; k

G. 求一种快速求解矩阵论中求解行列式因子，不变因子，初等因子，约当型...

对计算机而言这种计算相当的复杂。。。大概是先转化成三对角矩阵，然后再进行各种迭代计算。对于人工计算，还是老老实实算出各个特征子空间，然后好好分解吧。

H. 老师好。请问追赶法求三对角矩阵，为什么要求是对角占优的

追赶法就是三对角矩阵不选主元的Gauss消去法
对角占优的条件保障了算法不会中断（除数为0的情况），同时也保证算法是数值稳定的

I. 求一篇用变型方法求三对角矩阵逆矩阵的算法过程，急！！救命的

由A^-1BA=6A+BA得
A^-1BA*A^-1=6A*A^-1+BA*A^-1
A^-1B=6E+E*B
A^-1B-E*B=6E
(A^-1-E)*B=6E
所以B=6E*(A^-1-E)^-1

具体，带入数据运算结果如下:
A^-1直接等于一个对角矩阵，对角线上的3个数为1/2，1/3，1/4
E是3阶的单位矩阵，对角线上的数字全为1，其他都是0.
A^-1-E得到一个新的对角矩阵，对角线上的3个数为-1/2，-2/3，-3/4
(A^-1-E)^-1再得到一个新的对角矩阵，对角线上的3个数为-2，-3/2，-4/3
6E就是对角线上的数字全为6，其他都是0的对角矩阵
最后6E*(A^-1-E)^-1得到一个对角矩阵，对角线上的3个数为6*(-2)=-12,6*(-3/2)=-9,6*(-4/3)=-8
所以B就是一个对角矩阵，对角线上的3个数为-12，-9，-8

J. 求一个三对角矩阵的特征值，算法不限，要求须有MATLAB的求解程序。急需！！！

MATLAB的求解程序如下：

>> A=[1,2,3,4,5]; %对角线元素
B=[6,7,8,9]; %对角线上方的元素，个数比A少一个
C=[10,11,12,13]; %对角线下方的元素，个数比A少一个
diag(A)+diag(B,1)+diag(C,-1)

ans =

1 6 0 0 0
10 2 7 0 0
0 11 3 8 0
0 0 12 4 9
0 0 0 13 5