① 归并排序
先考虑一个简单的问题：如何在线性的时间内将两个有序队列合并为一个有序队列（并输出）？
A队列：1 3 5 7 9
B队列：1 2 7 8 9
看上面的例子，AB两个序列都是已经有序的了。在给出数据已经有序的情况下，我们会发现很多神奇的事，比如，我们将要输出的第一个数一定来自于这两个序列各自最前面的那个数。两个数都是1，那么我们随便取出一个（比如A队列的那个1）并输出：
A队列：1 3 5 7 9
B队列：1 2 7 8 9
输出：1
注意，我们取出了一个数，在原数列中删除这个数。删除操作是通过移动队首指针实现的，否则复杂度就高了。
现在，A队列打头的数变成3了，B队列的队首仍然是1。此时，我们再比较3和1哪个大并输出小的那个数：
A队列：1 3 5 7 9
B队列：1 2 7 8 9
输出：1 1
接下来的几步如下：
A队列：1 3 5 7 9 A队列：1 3 5 7 9 A队列：1 3 5 7 9 A队列：1 3 5 7 9
B队列：1 2 7 8 9 ==> B队列：1 2 7 8 9 ==> B队列：1 2 7 8 9 ==> B队列：1 2 7 8 9 ……
输出：1 1 2 输出：1 1 2 3 输出：1 1 2 3 5 输出：1 1 2 3 5 7
我希望你明白了这是怎么做的。这个做法显然是正确的，复杂度显然是线性。
归并排序(Merge Sort)将会用到上面所说的合并操作。给出一个数列，归并排序利用合并操作在O(nlogn)的时间内将数列从小到大排序。归并排序用的是分治(Divide and Conquer)的思想。首先我们把给出的数列平分为左右两段，然后对两段数列分别进行排序，最后用刚才的合并算法把这两段（已经排过序的）数列合并为一个数列。有人会问“对左右两段数列分别排序时用的什么排序”么？答案是：用归并排序。也就是说，我们递归地把每一段数列又分成两段进行上述操作。你不需要关心实际上是怎么操作的，我们的程序代码将递归调用该过程直到数列不能再分（只有一个数）为止。
初看这个算法时有人会误以为时间复杂度相当高。我们下面给出的一个图将用非递归的眼光来看归并排序的实际操作过程，供大家参考。我们可以借助这个图证明，归并排序算法的时间复杂度为O(nlogn)。
[3] [1] [4] [1] [5] [9] [2] [7]
\ / \ / \ / \ /
[1 3] [1 4] [5 9] [2 7]
\ / \ /
[1 1 3 4] [2 5 7 9]
\ /
[1 1 2 3 4 5 7 9]
上图中的每一个“ \ / ”表示的是上文所述的线性时间合并操作。上图用了4行来图解归并排序。如果有n个数，表示成上图显然需要O(logn)行。每一行的合并操作复杂度总和都是O(n)，那么logn行的总复杂度为O(nlogn)。这相当于用递归树的方法对归并排序的复杂度进行了分析。假设，归并排序的复杂度为T(n)，T(n)由两个T(n/2)和一个关于n的线性时间组成，那么T(n)=2*T(n/2)+O(n)。不断展开这个式子我们可以同样可以得到T(n)=O(nlogn)的结论，你可以自己试试。如果你能在线性的时间里把分别计算出的两组不同数据的结果合并在一起，根据T(n)=2*T(n/2)+O(n)=O(nlogn)，那么我们就可以构造O(nlogn)的分治算法。这个结论后面经常用。我们将在计算几何部分举一大堆类似的例子。
如果你第一次见到这么诡异的算法，你可能会对这个感兴趣。分治是递归的一种应用。这是我们第一次接触递归运算。下面说的快速排序也是用的递归的思想。递归程序的复杂度分析通常和上面一样，主定理(Master Theory)可以简化这个分析过程。主定理和本文内容离得太远，我们以后也不会用它，因此我们不介绍它，大家可以自己去查。有个名词在这里的话找学习资料将变得非常容易，我最怕的就是一个东西不知道叫什么名字，半天找不到资料。
归并排序有一个有趣的副产品。利用归并排序能够在O(nlogn)的时间里计算出给定序列里逆序对的个数。你可以用任何一种平衡二叉树来完成这个操作，但用归并排序统计逆序对更方便。我们讨论逆序对一般是说的一个排列中的逆序对，因此这里我们假设所有数不相同。假如我们想要数1, 6, 3, 2, 5, 4中有多少个逆序对，我们首先把这个数列分为左右两段。那么一个逆序对只可能有三种情况：两个数都在左边，两个数都在右边，一个在左一个在右。在左右两段分别处理完后，线性合并的过程中我们可以顺便算出所有第三种情况的逆序对有多少个。换句话说，我们能在线性的时间里统计出A队列的某个数比B队列的某个数大有多少种情况。
A队列：1 3 6 A队列：1 3 6 A队列：1 3 6 A队列：1 3 6 A队列：1 3 6
B队列：2 4 5 ==> B队列：2 4 5 ==> B队列：2 4 5 ==> B队列：2 4 5 ==> B队列：2 4 5 ……
输出： 输出：1 输出：1 2 输出：1 2 3 输出：1 2 3 4
每一次从B队列取出一个数时，我们就知道了在A队列中有多少个数比B队列的这个数大，它等于A队列现在还剩的数的个数。比如，当我们从B队列中取出2时，我们同时知道了A队列的3和6两个数比2大。在合并操作中我们不断更新A队列中还剩几个数，在每次从B队列中取出一个数时把当前A队列剩的数目加进最终答案里。这样我们算出了所有“大的数在前一半，小的数在后一半”的情况，其余情况下的逆序对在这之前已经被递归地算过了。
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堆排序(Heap Sort)利用了堆(Heap)这种数据结构（什么是堆？）。堆的插入操作是平均常数的，而删除一个根节点需要花费O(log n)的时间。因此，完成堆排序需要线性时间建立堆（把所有元素依次插入一个堆），然后用总共O(nlogn)的时间不断取出最小的那个数。只要堆会搞，堆排序就会搞。堆在那篇日志里有详细的说明，因此这里不重复说了。
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快速排序(Quick Sort)也应用了递归的思想。我们想要把给定序列分成两段，并对这两段分别进行排序。一种不错的想法是，选取一个数作为“关键字”，并把其它数分割为两部分，把所有小于关键字的数都放在关键字的左边，大于关键字的都放在右边，然后递归地对左边和右边进行排序。把该区间内的所有数依次与关键字比较，我们就可以在线性的时间里完成分割的操作。完成分割操作有很多有技巧性的实现方法，比如最常用的一种是定义两个指针，一个从前往后找找到比关键字大的，一个从后往前找到比关键字小的，然后两个指针对应的元素交换位置并继续移动指针重复刚才的过程。这只是大致的方法，具体的实现还有很多细节问题。快速排序是我们最常用的代码之一，网上的快速排序代码五花八门，各种语言，各种风格的都有。大家可以随便找一个来看看，我说过了我们讲算法但不讲如何实现。NOIp很简单，很多人NOIp前就背了一个快速排序代码就上战场了。当时我把快速排序背完了，抓紧时间还顺便背了一下历史，免得晚上听写又不及格。
不像归并排序，快速排序的时间复杂度很难计算。我们可以看到，归并排序的复杂度最坏情况下也是O(nlogn)的，而快速排序的最坏情况是O(n^2)的。如果每一次选的关键字都是当前区间里最大（或最小）的数，那么这样将使得每一次的规模只减小一个数，这和插入排序、选择排序等平方级排序没有区别。这种情况不是不可能发生。如果你每次选择关键字都是选择的该区间的第一个数，而给你的数据恰好又是已经有序的，那你的快速排序就完蛋了。显然，最好情况是每一次选的数正好就是中位数，这将把该区间平分为两段，复杂度和前面讨论的归并排序一模一样。根据这一点，快速排序有一些常用的优化。比如，我们经常从数列中随机取一个数当作是关键字（而不是每次总是取固定位置上的数），从而尽可能避免某些特殊的数据所导致的低效。更好的做法是随机取三个数并选择这三个数的中位数作为关键字。而对三个数的随机取值反而将花费更多的时间，因此我们的这三个数可以分别取数列的头一个数、末一个数和正中间那个数。另外，当递归到了一定深度发现当前区间里的数只有几个或十几个时，继续递归下去反而费时，不如返回插入排序后的结果。这种方法同时避免了当数字太少时递归操作出错的可能。
下面我们证明，快速排序算法的平均复杂度为O(nlogn)。不同的书上有不同的解释方法，这里我选用算法导论上的讲法。它更有技巧性一些，更有趣一些，需要转几个弯才能想明白。
看一看快速排序的代码。正如我们提到过的那种分割方法，程序在经过若干次与关键字的比较后才进行一次交换，因此比较的次数比交换次数更多。我们通过证明一次快速排序中元素之间的比较次数平均为O(nlogn)来说明快速排序算法的平均复杂度。证明的关键在于，我们需要算出某两个元素在整个算法过程中进行过比较的概率。
我们举一个例子。假如给出了1到10这10个数，第一次选择关键字7将它们分成了{1,2,3,4,5,6}和{8,9,10}两部分，递归左边时我们选择了3作为关键字，使得左部分又被分割为{1,2}和{4,5,6}。我们看到，数字7与其它所有数都比较过一次，这样才能实现分割操作。同样地，1到6这6个数都需要与3进行一次比较（除了它本身之外）。然而，3和9决不可能相互比较过，2和6也不可能进行过比较，因为第一次出现在3和9，2和6之间的关键字把它们分割开了。也就是说，两个数A(i)和A(j)比较过，当且仅当第一个满足A(i)<=x<=A(j)的关键字x恰好就是A(i)或A(j) （假设A(i)比A(j)小）。我们称排序后第i小的数为Z(i)，假设i<j，那么第一次出现在Z(i)和Z(j)之间的关键字恰好就是Z(i)或Z(j)的概率为2/(j-i+1)，这是因为当Z(i)和Z(j)之间还不曾有过关键字时，Z(i)和Z(j)处于同一个待分割的区间，不管这个区间有多大，不管递归到哪里了，关键字的选择总是随机的。我们得到，Z(i)和Z(j)在一次快速排序中曾经比较过的概率为2/(j-i+1)。
现在有四个数，2,3,5,7。排序时，相邻的两个数肯定都被比较过，2和5、3和7都有2/3的概率被比较过，2和7之间被比较过有2/4的可能。也就是说，如果对这四个数做12次快速排序，那么2和3、3和5、5和7之间一共比较了12*3=36次，2和5、3和7之间总共比较了8*2=16次，2和7之间平均比较了6次。那么，12次排序中总的比较次数期望值为36+16+6=58。我们可以计算出单次的快速排序平均比较了多少次：58/12=29/6。其实，它就等于6项概率之和，1+1+1+2/3+2/3+2/4=29/6。这其实是与期望值相关的一个公式。
同样地，如果有n个数，那么快速排序平均需要的比较次数可以写成下面的式子。令k=j-i，我们能够最终得到比较次数的期望值为O(nlogn)。
这里用到了一个知识：1+1/2+1/3+...+1/n与log n增长速度相同，即∑(1/n)=Θ(log n)。它的证明放在本文的最后。
在三种O(nlogn)的排序算法中，快速排序的理论复杂度最不理想，除了它以外今天说的另外两种算法都是以最坏情况O(nlogn)的复杂度进行排序。但实践上看快速排序效率最高（不然为啥叫快速排序呢），原因在于快速排序的代码比其它同复杂度的算法更简洁，常数时间更小。
快速排序也有一个有趣的副产品：快速选择给出的一些数中第k小的数。一种简单的方法是使用上述任一种O(nlogn)的算法对这些数进行排序并返回排序后数组的第k个元素。快速选择(Quick Select)算法可以在平均O(n)的时间完成这一操作。它的最坏情况同快速排序一样，也是O(n^2)。在每一次分割后，我们都可以知道比关键字小的数有多少个，从而确定了关键字在所有数中是第几小的。我们假设关键字是第m小。如果k=m，那么我们就找到了答案——第k小元素即该关键字。否则，我们递归地计算左边或者右边：当k<m时，我们递归地寻找左边的元素中第k小的；当k>m时，我们递归地寻找右边的元素中第k-m小的数。由于我们不考虑所有的数的顺序，只需要递归其中的一边，因此复杂度大大降低。复杂度平均线性，我们不再具体证了。
还有一种算法可以在最坏O(n)的时间里找出第k小元素。那是我见过的所有算法中最没有实用价值的算法。那个O(n)只有理论价值。
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我们前面证明过，仅仅依靠交换相邻元素的操作，复杂度只能达到O(n^2)。于是，人们尝试交换距离更远的元素。当人们发现O(nlogn)的排序算法似乎已经是极限的时候，又是什么制约了复杂度的下界呢？我们将要讨论的是更底层的东西。我们仍然假设所有的数都不相等。
我们总是不断在数与数之间进行比较。你可以试试，只用4次比较绝对不可能给4个数排出顺序。每多进行一次比较我们就又多知道了一个大小关系，从4次比较中一共可以获知4个大小关系。4个大小关系共有2^4=16种组合方式，而4个数的顺序一共有4!=24种。也就是说，4次比较可能出现的结果数目不足以区分24种可能的顺序。更一般地，给你n个数叫你排序，可能的答案共有n!个，k次比较只能区分2^k种可能，于是只有2^k>=n!时才有可能排出顺序。等号两边取对数，于是，给n个数排序至少需要log2(n!)次。注意，我们并没有说明一定能通过log2(n!)次比较排出顺序。虽然2^5=32超过了4!，但这不足以说明5次比较一定足够。如何用5次比较确定4个数的大小关系还需要进一步研究。第一次例外发生在n=12的时候，虽然2^29>12!，但现已证明给12个数排序最少需要30次比较。我们可以证明log(n!)的增长速度与nlogn相同，即log(n!)=Θ(nlogn)。这是排序所需要的最少的比较次数，它给出了排序复杂度的一个下界。log(n!)=Θ(nlogn)的证明也附在本文最后。
这篇日志的第三题中证明log2(N)是最优时用到了几乎相同的方法。那种“用天平称出重量不同的那个球至少要称几次”一类题目也可以用这种方法来解决。事实上，这里有一整套的理论，它叫做信息论。信息论是由香农(Shannon)提出的。他用对数来表示信息量，用熵来表示可能的情况的随机性，通过运算可以知道你目前得到的信息能够怎样影响最终结果的确定。如果我们的信息量是以2为底的，那信息论就变成信息学了。从根本上说，计算机的一切信息就是以2为底的信息量(bits=binary digits)，因此我们常说香农是数字通信之父。信息论和热力学关系密切，比如熵的概念是直接从热力学的熵定义引申过来的。和这个有关的东西已经严重偏题了，这里不说了，有兴趣可以去看《信息论与编码理论》。我对这个也很有兴趣，半懂不懂的，很想了解更多的东西，有兴趣的同志不妨加入讨论。物理学真的很神奇，利用物理学可以解决很多纯数学问题，我有时间的话可以举一些例子。我他妈的为啥要选文科呢。
后面将介绍的三种排序是线性时间复杂度，因为，它们排序时根本不是通过互相比较来确定大小关系的。
附1：∑(1/n)=Θ(log n)的证明
首先我们证明，∑(1/n)=O(log n)。在式子1+1/2+1/3+1/4+1/5+...中，我们把1/3变成1/2，使得两个1/2加起来凑成一个1；再把1/5,1/6和1/7全部变成1/4，这样四个1/4加起来又是一个1。我们把所有1/2^k的后面2^k-1项全部扩大为1/2^k，使得这2^k个分式加起来是一个1。现在，1+1/2+...+1/n里面产生了几个1呢？我们只需要看小于n的数有多少个2的幂即可。显然，经过数的扩大后原式各项总和为log n。O(logn)是∑(1/n)的复杂度上界。
然后我们证明，∑(1/n)=Ω(log n)。在式子1+1/2+1/3+1/4+1/5+...中，我们把1/3变成1/4，使得两个1/4加起来凑成一个1/2；再把1/5,1/6和1/7全部变成1/8，这样四个1/8加起来又是一个1/2。我们把所有1/2^k的前面2^k-1项全部缩小为1/2^k，使得这2^k个分式加起来是一个1/2。现在，1+1/2+...+1/n里面产生了几个1/2呢？我们只需要看小于n的数有多少个2的幂即可。显然，经过数的缩小后原式各项总和为1/2*logn。Ω(logn)是∑(1/n)的复杂度下界。
附2：log(n!)=Θ(nlogn)的证明
首先我们证明，log(n!)=O(nlogn)。显然n!<n^n，两边取对数我们得到log(n!)<log(n^n)，而log(n^n)就等于nlogn。因此，O(nlogn)是log(n!)的复杂度上界。
然后我们证明，log(n!)=Ω(nlogn)。n!=n(n-1)(n-2)(n-3)....1，把前面一半的因子全部缩小到n/2，后面一半因子全部舍去，显然有n!>(n/2)^(n/2)。两边取对数，log(n!)>(n/2)log(n/2)，后者即Ω(nlogn)。因此，Ω(nlogn)是log(n!)的复杂度下界。
今天写到这里了，大家帮忙校对哦
Matrix67原创
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② 请教算法导论中 T = 2T + nlgn 为什么不能用主定理
T=2T+nlgn？
那T=-nlgn，负数？
③ 怎么将C语言递归算法转化成“递归方程”该种算法时间的复杂度怎么求有固定的方法吗
不知道你是怎么得出"递归算法可以转化成方程"这个结论的呢? 如果真是这样,那么世界上恐怕很多NP问题都可以解决了. 深度优先搜索很多时候就是递归结构的,但是并没有什么办法将其转化成方程解决.
我猜想也许你说的是很特殊的一类递归问题,这类递归问题可以用数学函数来表达.例如计算阶乘的时候,n! = (n-1)*n. 那这个是怎么的出来的就真没有固定的套路,但是一般的思想是考虑如何把一个问题转化成规模更小的几个问题.
④ 用C++交换排序
所谓交换，就是根据序列中两个记录值的比较结果来对换这两个记录在序列中的位置。交换排序的特点是：将键值较大的记录向序列的尾部移动，键值较小的记录向序列的前部移动。常见的交换排序有冒泡排序（Bubble Sort），鸡尾酒排序（Cocktail Sort），奇偶排序（OddEven Sort），地精排序（Gnome Sort），快速排序（Quick Sort），臭皮匠排序（Stooge Sort），梳排序（Comb Sort），Bogo排序（Bogo sort）。下面介绍前六种：
（一）冒泡排序
最差时间复杂度：O(n^2)
最优时间复杂度：O(n)
平均时间复杂度：O(n^2)
最差空间复杂度：总共O(n)，需要辅助空间O(1)
稳定性：稳定
冒泡排序（Bubble Sort），它重复地走访过要排序的数列，一次比较两个元素如果他们的顺序错误就把他们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。
冒泡排序算法的运作如下：
1.比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换他们两个。
2.对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。在这一点，最后的元素应该会是最大的数。
3.针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。
4.持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。
实现代码：
[cpp] view plain
void BubbleSort(int *a, int len)
{
for (int i=0; i<len; i++)
{
for (int j=len-1; j>i; j--)
{
if (a[j]<a[j-1])
swap(a[j], a[j-1]);
}
}
}
（二）鸡尾酒排序
最差时间复杂度：O(n^2)
最优时间复杂度：O(n)
平均时间复杂度：O(n^2)
稳定性：稳定
鸡尾酒排序（Cocktail sort），是冒泡排序的一种变形。它与冒泡排序的不同之处在于排序时是以双向在序列中进行排序。数组中的数字本是无规律的排放，先对数组从左到右进行冒泡排序（升序），把最大值放到最右端，然后对数组从右到左进行冒泡排序（降序），把最小的数字放到最左端。然后再以此类推，以此改变冒泡的方向，并不断缩小未排序元素的范围。直到在一趟双向冒泡后没有发生交换，排序结束。
实现代码：
[cpp] view plain
void CocktailSort(int* a, int len)
{
int bottom = 0;
int top = len-1;
bool swapped = true;
while (swapped)
{
swapped = false;
for (int i=bottom; i<top; i++)
{
if (a[i]>a[i+1])
{
swap(a[i], a[i+1]);
swapped = true;
}
}
top = top-1;
for (int i=top; i>bottom; i--)
{
if (a[i]<a[i-1])
{
swap(a[i], a[i-1]);
swapped = true;
}
}
bottom = bottom+1;
}
}
（三）奇偶排序
最差时间复杂度：O(n^2)
稳定性：稳定
奇偶排序（OddEven Sort），是一种相对简单的排序算法，最初发明用于有本地互联的并行计算。此算法通过比较数组中相邻的（奇-偶）位置数字对，如果该奇偶对是错误的顺序（第一个大于第二个），则交换。下一步重复该操作，但针对所有的（偶-奇）位置数字对。如此交替下去，直到不发生交换，则排序结束。
在并行计算排序中，使用该算法，每个处理器对应处理一个值，并仅有与左右邻居的本地互连。所有处理器可同时与邻居进行比较、交换操作，交替以奇-偶、偶-奇的顺序。该算法由Habermann在1972年最初发表并展现了在并行处理上的效率。但在单处理器串行运行此算法，类似冒泡排序，较为简单但效率并不特别高。
实现代码：
[cpp] view plain
void OddEvenSort(int *a, int len)
{
bool swapped = true;
while (swapped)
{
swapped = false;
for (int i=0; i<len-1; i=i+2)
{
if (a[i]>a[i+1])
{
swap(a[i], a[i+1]);
swapped = true;
}
}
for (int i=1; i<len-1; i=i+2)
{
if (a[i]>a[i+1])
{
swap(a[i], a[i+1]);
swapped = true;
}
}
}
}
（四）地精排序
最差时间复杂度：O(n^2)
最优时间复杂度：O(n)
平均时间复杂度：O(n^2)
稳定性：稳定
地精排序（Gnome Sort），被Dick Grune称为最简单的排序算法。整个算法只有一层循环，默认情况下前进冒泡，一旦遇到冒泡的情况发生就往回冒，直到把这个数字放好，然后继续前进，前进到数组最后一个数结束。此排序算法虽然代码极短，但效率不高。
实现代码：
[cpp] view plain
void GnomeSort(int *a, int len)
{
int i=0;
while (i<len)
{
if (i==0 || a[i-1]<=a[i]){
i++;
}
else {
swap(a[i], a[i-1]);
i--;
}
}
}
（五）快速排序
最差时间复杂度：O(n^2)
最优时间复杂度：O(nlogn)
平均时间复杂度：O(nlogn)
稳定性：不稳定
快速排序（Quick Sort），使用分治法策略来把一个串行分为两个子串行，左边子串的值总小于右边的子串。此算法的三个步骤：
1．分解：将数组A[l...r]划分成两个（可能空）子数组A[l...p-1]和A[p+1...r]，使得A[l...p-1]中的每个元素都小于等于A(p)，而且，小于等于A[p+1...r]中的元素。下标p也在这个划分过程中计算。
2．解决：通过递归调用快速排序，对数组A[l...p-1]和A[p+1...r]排序。
3．合并：因为两个子数组时就地排序，将它们的合并并不需要操作，整个数组A[l..r]已经排序。
实现代码（其他实现方法见“三种快速排序算法的实现”）：
[cpp] view plain
int partition(int* a, int left, int right)
{
int x = a[right];
int i = left-1, j = right;
for (;;)
{
while(a[++i] < x) { }
while(a[--j] > x) { if(j==left) break;}
if(i < j)
swap(a[i], a[j]);
else break;
}
swap(a[i],a[right]);
return i;
}
void quickSort(int* a, int left, int right)
{
if (left<right)
{
int p = partition(a, left, right);
quickSort(a, left, p-1);
quickSort(a, p+1, right);
}
}
（六）臭皮匠排序
最差时间复杂度：O(n^2.7)
臭皮匠排序（Stooge Sort），是一种低效的排序算法，在《算法导论》第二版第7章的思考题中被提到，是由Howard Fine等教授提出的所谓“漂亮的”排序算法。将数列平分为三个子串，依次递归排序前两个子串、后两个子串、前两个子串，最后确保整个数列有序。此算法在最坏情况下的递归式为T(n) = 3T(2n/3) + 1。由主定理很容易知道它的算法复杂性为：T(n) = O(n^log(3/2, 3))。很显然log(3/2, 3))>2，也就是说这个算法比插入排序的O(n^2)性能还差。
实现代码：
[cpp] view plain
void StoogeSort(int *a, int i, int j)
{
if(a[i]>a[j])
swap(a[i], a[j]);
if((i+1)>=j)
return;
int k = (j-i+1)/3;
StoogeSort(a, i, j-k);
StoogeSort(a, i+k, j);
StoogeSort(a, i, j-k);
}
⑤ 算法导论里面的大师解法是什么 用大师解法计算下面递归表达式的时间复杂度. T(n)=2T(n/2) + Θ(n^0.1)
#a i从0循环到n，算法复杂度为O(n)。
#b 一共要做n^2/2次加法，算法复杂度为O(n^2)。
#c 要求一个k，满足2^k>=n ，算法复杂度为O(log(n))
#d 注意到这个函数做的事跟#c的函数恰好相反，算法复杂度相同，也是O(log(n))
#e 因为已算出#g每次做3(n-3)次加法，那么i从1到n，一共做2/3*(n^2-5n+6)次加法，所以复杂度为O(n^2)。
#f 这个函数可以写成公式T(n)=T(n-2)+T(n-1)，这个递归式跟黄金分割有关系，解这个递归式，可以知道 T(n) = O((√5-1/2)^n)
#g 函数调用一共做3(n-3)次加法，所以复杂度为O(n)
PenitentSin 这位兄台的#c 算的不对啦，#g也不对。还有#f，这个虽然是递归，但不是递归就等于指数级的复杂度，要解递归方程才能断定的。
关于算法复杂度，《算法导论》一书中第四章有一个主定理，记住这个定理之后，这些问题就小case了（除了复杂递归之外）。
⑥ 中位数算法
楼上才是白痴，自己什么也不懂不要说的别人也是什么也不懂。
就是因为有了你们这种人，世界多花了巨额的代价来多做不必要的工作。
很明显楼主不是你这样的。
实数的排序算法复杂度是O(nlogn)，这个中位数可以做到O(n)
下面我来说明这个算法的过程。
算法是基于归并排序（merge-sort）的更改。
把中位数更改为等价的叙述。无序的n个数中的第int(n/2)大的元素。(k=int(n/2))
1.随机化数据，这样可以保证因为输出时候的对称性（可能的顺序输入）而造成的算法退化。
for (int i=number.count;i>=0;i--)
swap(number[i],number[random(0,i-1)]);//swap，交换，random，0，k闭区间的随机数。
2.归并排序主过程。
mergesort(a,b,k)//寻找number数组中从下标a到下标b的元素中的第k大的元素。
{
t=number[a];
把这a,b中的元素从排，使a~p-1的元素比t小，p+1~b的元素比t大。number[p]=t;//O(n)，这步你构造吧。不是很困难，伪代码不写太多。
//此时比t小元素有p-1-a+1=p-a个,
//分情况，如果k=p-a+1,返回t
//如果k>p-a+1,返回mergesort(p+1,b,k-(p-a+1))
//如果k<p-a+1,返回mergesort(a,p-1,k)
}
以上算法T(n)=T(n/2)+O(n)
根据主定理，T(n)=O(n)。
再次bs楼上的无知和狂妄的态度。
⑦ ALGORITHMS怎么样
递推公式那节，主定理的证明没有考虑叶节点的代价，而且，分解和合 并的代价应该计算到倒数第二层才对。 语言简练清晰，倒还是不错的。 和算法导论相比，似乎......