压缩感知与稀疏表示

① 压缩感知的展望

非线性测量的压缩感知。讲压缩感知解决的线性逆问题推广到非线性函数参数的求解问题。广义的讲，非线性测量的压缩感知，可以包括以前的测量矩阵不确定性问题，量化误差问题，广义线性模型问题，有损压缩样本问题。
压缩感知在矩阵分解中的推广应用。主成分分析，表示字典学习，非负矩阵分解，多维度向量估计，低秩或高秩矩阵恢复问题。
确定性测量矩阵的设计问题。 随机矩阵在实用上存在难点。随机矩阵满足的RIP是充分非必要条件。在实际中，稀疏表示矩阵和随机矩阵相乘的结果才是决定稀疏恢复性能字典。
传统压缩感知是以稀疏结构为先验信息来进行信号恢复。当前最新进展显示数据中存在的其他的简单代数结果也作为先验信息进行信号估计。联合开发这些信号先验信息，将进一步提高压缩感知的性能。

② 如何在压缩感知中正确使用阈值迭代算法

如何在压缩感知中正确使用阈值迭代算法？ 测量[2]。重构算法是依据对信号的测量和问题的稀疏性重构原始信号的技术。上述过程可以描述为 如下数学模型：设s ∈ RN 为原始信号，该信号在某组基{ψi }N 下具有稀疏表示s = Ψx，其中Ψ = i=1 [ψ1 , ψ2 , . . . , ψN ]， = [x1 , x2 , . . . , xN ] ；给定测量矩阵Θ ∈ RM ×N ， Θ可得到信号s的观测值y， x 由 即 y = Θs = ΘΨx 其中Φ = ΘΨ ∈ RM ×N 称为传感矩阵， 为采样数；则从观测数据y来恢复未知的稀疏向量x， M 进而恢 复原始信号s的问题可建模为下述L0 问题: x∈RN min x 0 s.t. y = Φx (1.1) 这里 x 0 为x的非零分量的个数。显然L0 问题是一个组合优化问题（NP难问题[11]） 通常将其转化到 ， 一个稀疏优化问题求解： x∈RN min S(x) s.t. y = Φx (1.2) 这里S(x)是x的某个稀疏度量[16]，例如对给定的q ∈ (0, 1]，取S(x) = x q ，其中 x q 是x的q?准范 q 数。L0 问题（1.1）和稀疏优化问题(1.2)通常都纳入如下的正则化框架来加以研究： x∈RN min Cλ (x) y ? Φx 2 + P (x; λ) (1.3) 其中λ > 0为正则化参数， (x; λ)为罚函数。 P 不同的罚函数对应不同的压缩感知模型， 例如， (x; λ) = P 1/2 λ x 0 对应L0 问题； (x; λ) = λ x 1 对应L1 问题[8]， (x; λ) = λ x 1/2 对应L1/2 问题[9]， P P 等等。正则化 框架提供了压缩感知研究的一般模型。通常，我们要求罚函数P (x; λ)具有某些特别性质，例如，我们 假设： (i) 非负性： (x; λ) P 0, ?x ∈ RN ； c}有界； 0； (ii) 有界性：对任何正常数c， 集合{x : P (x; λ) (iii) 可分性： (x; λ) = P N i=1 λp(xi )， p(xi ) 且 (iv) 原点奇异性： (x; λ)在x = 0处不可导， P 但在其它点处处可导。 本文目的是：从正则化框架（1.3）出发，研究并回答以下有关压缩感知应用的四个基本问题：如 何从给定的罚函数导出压缩感知问题的阈值表示？如何根据阈值表示设计阈值迭代算法并建立其收 敛性理论？ 如何应用阈值迭代算法到压缩感知问题？ 如何针对不同特征的压缩传感问题选择不同形式 的阈值迭代算法？所获结论期望为压缩感知中如何正确使用阈值迭代算法提供理论依据。 2 阈值迭代算法与压缩传感 本节讨论前三个问题。作为预备， 我们首先简要介绍阈值函数与阈值迭代算法。 2.1 阈值函数 高效、 快速、 高精度的重构算法是压缩感知广泛应用的前提。 阈值迭代算法 Thresholding Iterative （ Algorithms）正是这样一类十分理想的压缩感知重构算法，它因迭代简单、可单分量处理、能有效 2 中国科学 第 40 卷 第 1 期 用于大规模高维问题而得到普遍推崇。Blumensath等[14]提出了求解近似L0 问题的Hard阈值迭代算 法， Daubechies等[15]提出了求解L1 问题的Soft阈值迭代算法， 徐宗本等[9, 10, 16]提出了求解L1/2 问题 的Half和Chalf阈值迭代算法。

③ 稀疏表示和压缩感知有何异同

只有一个信号能够稀疏表示的时候，才能实现压缩感知。

④ 稀疏矩阵与压缩感知应该如何理解

压缩感知就是压缩，进行压缩的对象是稀疏矩阵。

⑤ 压缩感知的主要应用

认知无线电方向：宽带谱感知技术是认识无线电应用中一个难点和重点。它通过快速寻找监测频段中没有利用的无线频谱，从而为认知无线电用户提供频谱接入机会。传统的滤波器组的宽带检测需要大量的射频前端器件，并且不能灵活调整系统参数。普通的宽带接收电路要求很高的采样率，它给模数转换器带来挑战，并且获得的大量数据处理给数字信号处理器带来负担。针对宽带谱感知的难题，将压缩感知方法应用到宽带谱感知中：采用一个宽带数字电路，以较低的频谱获得欠采样的随机样本，然后在数字信号处理器中采用稀疏信号估计算法得到宽带谱感知结果。
信道编码：压缩传感理论中关于稀疏性、随机性和凸最优化的结论可以直接应用于设计快速误差校正编码, 这种编码方式在实时传输过程中不受误差的影响。在压缩编码过程中, 稀疏表示所需的基对于编码器可能是未知的. 然而在压缩传感编码过程中, 它只在译码和重构原信号时需要, 因此不需考虑它的结构, 所以可以用通用的编码策略进行编码. Haupt等通过实验表明如果图像是高度可压缩的或者SNR充分大, 即使测量过程存在噪声, 压缩传感方法仍可以准确重构图像。 波达方向估计：目标出现的角度在整个扫描空间来看，是极少数。波达方向估计问题在空间谱估计观点来看是一个欠定的线性逆问题。通过对角度个数的稀疏限制，可以完成压缩感知的波达方向估计。
波束形成：传统的 自适应波束形成因其高分辨率和抗干扰能力强等优点而被广泛采用。但同时它的高旁瓣水平和角度失匹配敏感度高问题将大大降低接收性能。为了改进Capon 波束形成的性能，这些通过稀疏波束图整形的方法限制波束图中阵列增益较大的元素个数，同时鼓励较大的阵列增益集中在波束主瓣中，从而达到降低旁瓣水平同时，提高主瓣中阵列增益水平，降低角度失匹配的影响。例如，最大主瓣旁瓣能量比，混合范数法，最小全变差。 运用压缩传感原理, RICE大学成功研制了单像素压缩数码照相机。 设计原理首先是通过光路系统将成像目标投影到一个数字微镜器件(DMD)上, 其反射光由透镜聚焦到单个光敏二极管上, 光敏二极管两端的电压值即为一个测量值y, 将此投影操作重复M次, 得到测量向量 , 然后用最小全变分算法构建的数字信号处理器重构原始图像。数字微镜器件由数字电压信号控制微镜片的机械运动以实现对入射光线的调整。 由于该相机直接获取的是M次随机线性测量值而不是获取原始信号的N(M，N)个像素值, 为低像素相机拍摄高质量图像提供了可能.。
压缩传感技术也可以应用于雷达成像领域, 与传统雷达成像技术相比压缩传感雷达成像实现了两个重要改进: 在接收端省去脉冲压缩匹配滤波器; 同时由于避开了对原始信号的直接采样, 降低了接收端对模数转换器件带宽的要求. 设计重点由传统的设计昂贵的接收端硬件转化为设计新颖的信号恢复算法, 从而简化了雷达成像系统。 生物传感中的传统DNA芯片能平行测量多个有机体, 但是只能识别有限种类的有机体, Sheikh等人运用压缩传感和群组检测原理设计的压缩传感DNA芯片克服了这个缺点。 压缩传感DNA芯片中的每个探测点都能识别一组目标, 从而明显减少了所需探测点数量. 此外基于生物体基因序列稀疏特性, Sheikh等人验证了可以通过置信传播的方法实现压缩传感DNA芯片中的信号重构。

⑥ 压缩感知稀疏表示中离散小波变换要求必须是2的n次方并且是方阵，可是我的图像是640*480的怎么办呢

不懂压缩感知啥滴，但DWT不会要求信号滴大小，只有SWT才有2滴n次方滴要求，且也不要求是方阵。但这些要求通常都会用扩边延展处理，DWT和SWT通常为了解决卷积边界效应等都会做此处理，然后在结果中再裁剪便可。所以不管原始数据如何都不影响小波变换滴实现。

⑦ 压缩感知和矩阵分解的异同

UbiComp 不是机器学习的会议。没经过严格证明的就不能说他俩是等价的，虽然长得有点像。
压缩感知是个很大的toppic，你问的这个我更愿意称之为 sparse coding。强行问两样东西的异同没啥意义，因为是两个不同的东西。
1. 矩阵填充的目标函数原本是

但是由于有 rank 的约束这个问题不是凸的，于是用 trace norm 来代替，但是还是不好算，于是用 以及 来代替trace norm。
矩阵分解也是个很大的topic，分解之后形成的矩阵有可能有特殊某些意义。
2. spase coding 是为了从数据中学一组过完备的基来稀疏表示原先的样本。一般要求基 的第i列 。 它的目标是稀疏表示。
所以矩阵分解和sparse coding的目标并不一样，是两个不同的东西，彼此联系很少。

⑧ 稀疏表达是什么意思

信号稀疏表示（稀疏表达也可以叫为稀疏表示）是过去近20年来信号处理界一个非常引人关注的研究领域，众多研究论文和专题研讨会表明了该领域的蓬勃发展。信号稀疏表示的目的就是在给定的超完备字典中用尽可能少的原子来表示信号，可以获得信号更为简洁的表示方式，从而使我们更容易地获取信号中所蕴含的信息，更方便进一步对信号进行加工处理，如压缩、编码等 。

(8)压缩感知与稀疏表示扩展阅读：

应用：

1，压缩感知

为了有效重构原信号，传统方式下需要基于奈奎斯特采样定理实现对信号的采样。近年来，随着稀疏表示的兴起为重构原信号提出了一种新的理论-压缩感知。

2，目标跟踪

近年来，稀疏表示在目标跟踪领域也得到的广泛应用。针对红外图像序列中目标与背景对比度低、灰度特征易受噪声影响等问题，提出了一种基于稀疏表示模型的红外目标跟踪算法。提出了一个新的基于稀疏表示的目标跟踪方法，通过L1 范数最小化求解，实验结果表明，该方法比现有的基于 L1 范数最小化的跟踪方法性能更稳定、计算效率更高。

为了有效解决跟踪过程中的目标遮挡问题，提出了一种基于局部稀疏表示模型的跟踪方法。实验结果表明，该方法比各种流行跟踪方法稳定可靠且具有良好的抗遮挡性，并对海上红外目标跟踪取得良好效果。

参考资料：网络-稀疏表示

⑨ 如何理解压缩感知

同压缩感知一样，矩阵填补也是一个类似的反问题——能否预测矩阵中缺失的元素。对于这个问题，Candies给出的答案是：对一个N*N的矩阵进行随机的下采样，得到C*NlogN个样本并保证每一行每一列至少保留一个元素。如果原始矩阵时低秩的，那么可以通过求解矩阵的奇异值最小化问题（又称核范数规划）精确恢复原始矩阵。发现了吧？这个结论里没有稀疏性，没有字典，取而代之的是低秩这个条件——换句话说，我们不需要再去寻找可以稀疏表示信号的字典了，只需要知道信号组成的矩阵时低秩的即可。另外一个好处就是，观测矩阵的约束条件也得到了放松，不再需要去考虑和字典的非相关性——因为已经没有字典了。单纯的随机采样就足以满足条件，模拟端的积分器（电信号处理用），运动或反射模块（光信号处理用）都可以下岗了——世界从此和谐了。

⑩ 压缩感知中信号重构之前必须先进行稀疏表示吗

当然可以。

1. 将主信号端的波形设置为“方波”；

2. 2. 将输出信号的幅度低电平设置为0V，高电平设置为3.3V（如果你要5V TTL就设置为5V)；

3. 这样输出不就是TTL信号了，不过不知道你要输出什么样的信号，以上方法只能输出简单的时钟，或通过任意波的方式输出某种码型的周期数字信号。Agilent的信号发生器支持伪随机码输出，基本可以认为是非周期的。