變分問題有什麼演算法

⑴ 數學題目，

希爾伯特23問題和解決辦法的情況下
1900年希爾伯特應邀出席數學家在巴黎的國際會議，並作了題為「數學問題」的重要演講。在這個歷史性的演講，他做了一個許多重要的思想：

因為每個人追求的目標的原因是相同的數學研究也需要自己的問題。它是通過解決這些問題，研究人員行使其鐵將尋找新的思路，達到自由更廣闊的境界。

希爾伯特特別強調在數學發展中的重大問題中的作用，他說：「如果我們想數學知識的最接近的可能的未來發展是一個概念，它必須檢討目前的科學在未來提出了希望解決的問題「，而另一個人說：」對於影響深遠的一般數學過程及其個別研究人員的工作重要作用的某些問題起到不可否認的是，只要一門科學分支能提出大量的。問題，它充滿了活力，缺乏自主發展的預示跌勢或暫停「

他闡述了與特性的主要問題，很好的問題應具有以下三個特點：

清晰度和可理解性;

雖然困難，但有希望的;

有意義。

他分析經常在數學問題和一些克服困難的途徑研究中遇到的困難。當時他在新世紀的數學家提出會議應設法解決23問題，即著名的「希爾伯特23個問題。」

沒有解決問題，推動了場上的局面

1連續統假設公理集合論在1963年的發展，保羅J.Cohen證明在這個意義上，第一個問題是無法解決的。這連續統假設不能Zermelo_Fraenkel公理系統內確定真偽。

算術希爾伯特兩個公理的相容性的數學基礎證明算術的相容性公理？的想法，後來發展成希爾伯特計劃系統（「元數學」或「證據論」），但在1931年哥德爾的「不完全性定理」認為不可能的「元數學」算術公理證明的兼容性。兼容性問題仍然沒有解決的數學。

3和兩卷等於四面體構型為基礎的問題，其他較高端的很快（1900年）的希爾伯特學生M.Dehn給出了肯定的答案。

4直線上兩個點之間的幾何問題的基礎，提這個問題太籠統的最短距離。希爾伯特之後，許多數學家致力於探索各種特殊結構和幾何度量，在第四的研究很大的進步，但問題還沒有完全解決。

5，不要經過長期努力定義假設拓撲李群理論的可微函數組，這個問題最後由格里森，Montqomery，壓縮和其他人解決了1952年，答案是肯定的。

在量子力學，熱力學物理領域數學物理6公理的數學處理，公理化方法已經非常成功，但在一般情況下，這意味著什麼不言自明的物理學仍然是一個需要探討的問題。通過AHKonmoropob等人建立了公理化概率論。

7一定數量的非理性和超越數論1934年超越AOtemohm和Schneieder獨立解決這個問題的後半部分。 8素數猜想一般的情況下仍然是猜想。哥德巴赫問題，包括的至今尚未解決的第八個問題。中國數學家做了一系列的優秀作品。相互證明抗法的最一般的類域論的任何數量的域

9貞治由高木（1921）和E.Artin（1927）解決。

10 Diophantius方程有解判別變數由蘇聯，美國和數學家分析，在1970年證明希爾伯特期望的一般演算法不存在。

二次二次H.Hasse（1929）和CLSiegel（1936,1951）對這個問題的任何代數數論的11系數已取得顯著成效。上

12阿貝爾域kroneker定理任意代數有理域。復數乘法理論尚未得到解決。

13不能只用兩個變數的方程七通解函數。方程理論和由蘇聯數學家消極解決，這樣的要求是解析函數的情況在1957年真正的函數連續函數，那麼這個問題沒有解決。

14證明了有限的課堂代數不變數理論的完全系於1958年約翰田雅宜的函數給出了否定的解決。

代數幾何的15舒伯特演算符號嚴格的基礎上，由於許多數學家的努力，舒伯特演算基於純代數的治療一直是可能的，但合理的舒伯特演算得到解決。隨著代數幾何，由BLVander Waerden（1938-40）和A.Weil（1950）建立的基礎。拓撲

16拓撲代數曲線和曲面曲線和曲面的，前面的問題，常微分方程定性理論的一半，近年來也出現了顯著成效。

表達域（實數域）在阿廷的17平方明確的形式在1926年得到解決。通過溶液的空間群理論部分的晶體結構

18全等多面體。解決方案

19定期變分問題有一定的橢圓型偏微分方程的理論解決了這個問題已經解決了的感覺。

對偏微分方程的研究正在蓬勃發展橢圓型偏微分方程邊值問題的邊界值問題20一般理論。

21具有線性的存在常微分方程的線性順序值組偏微分方程的理論具有解決各種希爾伯特我（1905）年，H.Rohrl（德國，1957）中。

的解決了可變情況由P.Koebe（德國，1907年）22單值解析關系黎曼曲面體。

變分法希爾伯特本人和許多數學家變分法的發展作出了重要貢獻的23變分法的進一步發展。

國會一百年前與希爾伯特的問題敻危玟

21世紀，數學家的第一次國際會議在北京召開在即，將帶來些什麼數學在本世紀的發展？可以作為關於數學在20世紀，它的發展作為數學家的第一次國際會議的方向？國會數學家一個世紀前永遠的原因，僅僅是因為一個人，因為他的報告的史冊 - 「數學問題」希爾伯特（大衛·希爾伯特）和他的

1900年，希爾伯特提出了他著名的23數學問題，在巴黎的國際數學家大會第二次會議召開。在隨後的半個世紀中，許多世界級的數學思想有他們轉身。只是其另一個情況非常著名數學家外爾（H.外爾）說：「希爾伯特自爆他的魔笛，鼠群都跟著他躥了河裡。」這也難怪，他提出的問題是如此的清晰，很容易理解，他們中的一些有趣，足以讓許多外行都躍躍欲試，並解決任何一個，或在任何重大突破的一個問題，並且馬上就能來命名世界各地 - 我們的陳的，因為在第一個八解決希爾伯特問題（即素數的問題，包括黎曼猜想，哥德巴赫猜想等），必須將眉毛的世界一個顯著的貢獻。它概括了發展在二十世紀的數學，二十世紀的數學，通常被稱為問題希爾伯特烽火尤其是發展。

其實，這些問題絕大多數已經存在，不是希爾伯特首先提出的。但他的立場上了一個台階，有一個更清晰，更簡單的方法來重新提出了這些問題，並指出在解決很多問題的方向。

數學是非常多的問題，究竟是什麼更重要，更基本的？做出這樣的選擇，需要敏銳的洞察力。希爾伯特為什麼能如此目光如炬？數學歷史學家，研究員，中國中國科學院數學與系統科學學院， - 譯者「希爾伯特數學王國亞歷山大」一書袁張向東先生（和李文林先生翻譯），這是因為亞歷山大的希爾伯特數學王國！數學家可以分為兩大類，善於解決數學問題，從而使目前的情況了很好的理論總結，另外，它可以在兩個類別的一流，二流，三流的分解。希爾伯特兩種，長，行程現代數學的幾乎所有的最前沿，一些在數學的大枝差異對數學了如指掌提到的許多問題的發展的背景下離開了他的顯赫的名字有深入的研究，數學領域，「地王」。

為什麼希爾伯特總結數學的基本問題，在會議上，而不是普通百姓宣講他們的特定的結果？圖像表達告訴記者，這和其他的數學大師彭加勒（龐加萊）在1897年舉行辦的國際數學家大會第一次會議關於龐加萊是對數學的申請報告。他們兩人是在雙子座的國際數學界，當然，這兩個領軍人物，也有一些競爭的心理 - 是他對物理學的一般看法，數學龐加萊告訴關系自此希爾伯特有些人捍衛純數學。

法國龐加萊，希爾伯特是德國，法國和德國世仇，所以它們之間的競爭也帶來了競爭的國家的味道。雖然他們都非常尊重對方，這一點反映都沒有那麼明顯，但他們是學生和老師常常這樣想。

希爾伯特老師克萊恩（菲利克斯克萊因）是一個非常強大的一個國家的意義上，他十分重視在德國數學的發展，要成為國際數學界的橢圓形 - 前圓形，巴黎的中心，現在，他想在他們的城市已經成為了世界的中心摹哥廷根數學，數學界分為二，使橢圓的中心？

在希爾伯特和親密的朋友閔可夫斯基（赫爾曼·閔可夫斯基）與克萊因的幫助下實現自己的目標 - 1900年，希爾伯特和法國一直是最偉大的數學家龐加萊相提並論，而克萊因自己很快就來到到G？哥廷根閔可夫斯基也非常有影響力的數學家。事實上，他們被稱為在德國，「教授無敵三」。

一個例子可以想像他們的魅力。

有一天，當談到拓撲著名定理 - 當四色定理，閔可夫斯基突然有了一個想法，所以對於學生的滿堂說：「這個定理還沒有被證實，因為該到目前為止，只有一些三流的數學家也進行了研究現在我來證明這一點。「說完，他拿起粉筆在現場來證明這個定理。在本課結束後，他還沒有說完卡。他接下類的證書，歷時數周。最後，在一個下雨的早晨，他走上講台天空中出現一個晴天霹靂。 「上帝也激怒了我的囂張氣焰，」他說，「我證明了它並不完全。」 （該定理直到1994年與計算機證明這一點。）

1912年，彭加萊亡。 ？繼G中數學世界的中心哥廷根偏移，數學似乎成了一個圓圈 - 但該中心取代摹哥廷根？此時，青年數學流行的口號哥廷根學校的聲譽鼎盛時期被「打你的毯子，到哥廷根來！」

一個世紀後，希爾伯特列出的23個問題大約一半的問題已經解決了，大多數剩下的一半也有顯著的進步。但希爾伯特本人並沒有解決其中任何一個。有人問他為什麼他不會自己解決所提到的問題，比如說，費爾馬大定理？

費馬大定理是寫在空白頁的書中，他還聲稱，他想出了一個奇妙的卡法，但不幸的是沒有足夠大的空白處寫不下。希爾伯特的回答幽默同樣的意義：「我不想殺了這個金蛋的母雞」 - 一個德國企業家建立了一個基金會獎項的第一人，解決費馬大定律，希爾伯特當他的基金會，在每年的利息董事長資金，請充分利用優秀的學者來校講學在哥廷根，所以對他來說，由費馬大定律只是金蛋的母雞。 （費馬大定律只解決了直到1997年。）

之前列出23個問題，希爾伯特已經認識到了國際數學界的領導者，已經取得了數學的一些重要結果的許多領域。他的其他貢獻，比如他的不言自明的命題形式主義的想法，「幾何基礎」一書等，對數學在20世紀的發展產生了深遠的影響。

1 21世紀7數學問題

21世紀7數學問題

最近馬薩諸塞州克雷數學的（黏土）研究所2000年5月24日，在法蘭西學院在巴黎宣布了一項媒體事件這么熱：七「千禧年數學問題」的百萬美元每個獎勵。以下是一個簡要介紹七個挑戰。其中「千年之謎」

：P（多項式演算法）問題的NP（非多項式演算法）

問題，你在一個盛大的晚會參加。因為他們覺得尷尬，你想知道這是否大廳還有人已經知道。你的主人向你提議說，你必須知道誰是指日可待甜點盤女士羅絲。不費一秒鍾，你就能一目瞭然了那裡，發現你的主人是正確的。但是，如果沒有這樣的暗示，你要環顧房間，逐一檢查每一個人，看是否有你認識的人。產生這個問題的一個解決方案通常比驗證更高一個給定的解決方案需要更多的時間。這是這種一般現象的一個例子。與此相似的是，如果有人告訴你，數13,717,421可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你，它可以利用3607的分解上3803，然後你可以使用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。不管我們是聰明的編程，可以迅速確定答案是驗證使用內部的知識，沒有這樣的提示，或者需要花費大量的時間來解決，被看作是邏輯和計算機科學，最突出的問題之一。這是史蒂芬漢考克（StephenCook）聲明於1971年。

「千年難題」二：霍奇（Hodge的）猜想

二十世紀，數學家們發現，研究對象的復雜形狀的一種強有力的方式。其基本思想是要求在何種程度上，我們可以通過增加維數來創建簡單的幾何鍵合在一起形成一個塊形狀給定的對象。這種技術變得如此有用，所以它可以用在許多不同的方式進行推廣;最終導致一些強大的工具，使數學家們取得了很大時，他們學習各種對象的分類進展遇到。不幸的是，在此推動下，中離場程序的幾何點變得模糊。從某種意義上說，沒有必要添加部件的某些幾何解釋。霍奇猜想斷言，所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型，稱為霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數幾何閉鏈組件（有理線性）組合。

「千年難題」之三：龐加萊（龐加萊）

想，如果我們伸縮自如的橡膠帶圍繞一個蘋果表面的，那麼我們就可以撕掉它都不是，不要讓它留在表面，使其移動緩慢收縮到一個點。在另一方面，如果我們想像同樣的橡皮帶伸展在輪胎表面適當的方向，所以不要撕裂或胎面橡膠帶，有沒有辦法把它收縮了一點。我們說，蘋果表面是「單連通的」，而不是胎面。大約一百年前，龐加萊已經知道，由一個單一的連接刻畫，他提出三維球面本質上是一個二維球面（四維空間中有一個從原點所有單位）對應的問題。這個問題立即變得非常困難，從那時起，數學家一直在努力上。

「千年難題」之四：黎曼（黎曼）假設

有些數字並沒有表示為特殊性能兩個較小的數的乘積，例如，2,3， 5,7，依此類推。這樣的數稱為素數;它們都起到純數學及其應用具有重要作用。在所有的自然數，素數的這種分布並不遵循任何規律，然而，德國數學家黎曼（1826年至1866年）指出，素數的頻率緊密的函數調用黎曼蔡一個精心構造的塔相關（新元的行為。著名的黎曼假設斷言，方程Z（S）= 0對所有有意義的解都在一條直線上，這點一直是一個解決方案1,500,000,000開始驗證。證明它是對每個已建立一個有意義的解決方案會帶來很多的奧秘周圍的配光素數

「千年難題」之五：楊 - 米爾斯（楊 - 米爾斯）的存在和質量差距
>量子物理定律是基於經典力學到宏觀世界的牛頓定律成立基本粒子世界的方式。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理學。令人印象深刻的數學和根據楊對象之間的幾何關系 - 在世界各地的實驗室米爾斯方程的高能實驗已經預測為那些確診的應驗：布羅克哈文字，斯坦福，歐洲粒子物理研究所和築波。然而，它們都描述了重粒子，以及在數學方程的嚴格沒有已知的解決方案。尤其是，已經認識到大多數物理學家和他們的尊重。 「誇克」隱形的解釋適用於「質量差距」的假設從來沒有被證實對數學令人滿意。在這個問題上的進展需要引入的物理和數學兩個新的基礎。想法

「千年難題」之六：納維 - 存在與平滑

起伏的波浪跟隨我們的湖風是穿梭船，嘩嘩流跟著我們的現代飛機飛行的數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，可以由納維理解 - 斯托亞歷克斯方程解決他們的解釋和預言。雖然這些公式都寫在19世紀，我們對他們的了解依然少得可憐。挑戰是使對數學理論的進步，使我們能解開隱藏在納維 - 斯托克斯方程中的奧秘

「千年難題」之七：貝赫（樺木）和斯維訥傳遞 - 戴爾（斯溫納頓 - 戴爾）猜想

數學家一直如x ^ 2 + Y ^ 2 = Z ^ 2都刻畫的問題，因為代數方程迷人的整數解。歐幾里得不得不給出一個完整的答案，這個方程，但對於更復雜的方程，它變得非常困難。事實上，正如馬蒂亞謝偉琦（Yu.V.Matiyasevich）指出，希爾伯特第十問題是不可解，即有確定這種方法是否有一個整數解沒有通用方式。當該解決方案是一個點的阿貝爾簇，貝格和斯維訥通 - 戴爾認為犯罪嫌疑人，一群理性點的一列蔡函數z在S = 1的狀態點附近（S）的大小。特別是，這個有趣的推測是，當z（1）等於0，則存在的有理點的無限數量的（溶液），與此相反，當z（1）不等於0，那麼就只有這樣的點的數量有限。

⑵ 請問有誰知道TV演算法（最小全變分演算法）

您好，[LASIP_Image_Restoration_DemoBox_v112.rar] - LASIP局部多項式逼近演算法用於二維信號處理、圖像復原，圖像去噪的MATLAB實現。
[blind.rar] - 利用盲卷積圖像復原方法，對模糊圖像進行圖像復原，可以達到比較好的效果。
[TV1.rar] - 採用T.Chan的總體變分(TV)方法實現圖像修復，由於演算法本身的局限性，無法解決視覺連通性的問題。

[Thisprocereforfull-variational.rar] - 本程序實現全變分(Total Variation, TV)的去噪演算法，它使用了PDF糾正TV演算法中的小問題。該演算法可以很好地保留原圖邊緣信息的同時，去除雜訊。
[LASIP_BlindDeconvolution.zip] - The LASIP routines for Multiframe Blind Deconvolution are used for restoration of an Image from its multiple blurred and noisy observations.
[irntv.zip] - The generalized total variation denoising algorithm which can be widely used for optimization or signal processing
[RestoreToolsNoIP.rar] - 一個非常好的圖像恢復的工具集，matlab編寫的源代碼。
[MaximumEntropyv1.00.zip] - 一個基於最大熵的圖像復原演算法源代碼。可以完成圖像的去燥聲和去模糊。
[TVInpainting.rar] - TV圖象修復 自己寫的小程序 matlab
[TVCMRI_pub.zip] - matlab code for Fixed point and Bregman iterative methods. minimize alpha*TV(Phi *x) + beta*||x||_1 + 0.5*||Ax-b||_2^2

⑶ 什麼是變分法應該如何理解變分法

教材中的變分法嚴格的說與泛函分析教材無關，是大學實分析或者最優控制課程里的知識點，

了解變分法，首先要理解泛函這一概念:

泛函是一種映射，原像空間(定義域)是函數空間，像空間(值域或達域)是實數(復數)空間，

與一般函數不同的是函數的自變數的取值在復數空間，因變數的取值亦是如此。而泛函則是把函數作為自變數，因變數在復數空間。

變分，即可視作對泛函這一特殊函數的微分。詳細說明如下:

⑷ 什麼是變分不等式，為什麼會產生變分不等式什麼是變分不等式問題

半變分不等式的概念：當具有變分形式的不等式問題涉及非凸的、非光滑的能量函數時
我們稱此不等式問題為半變分不等式
變分不等式是一類重要的非線性問題

⑸ 偏微分方程如何轉化為變分形式，然後有限元逼近又是怎麼做的誰能來給我介紹下

偏微分方程數值解有四個步驟
第一個步驟就是所謂的將偏微分方程轉變為它的弱形式。即變分形式。
第二步是對這個變分形式的方程進行有限維逼近。這個逼近有多種選擇，一種是使用伽遼金方法，相應的推廣有Petrov-Galerkin方法，另一種是Collocation方法。
第三步是子空間選擇標准，一種是有限元，另一種是譜方法
最後是將代數問題演算法化。

⑹ 二維變分問題

9.3.1 二維橢圓型偏微分方程的變分問題

目前二維電法正演問題是最重要的問題。所相應的是在第一類、第二類或第三類邊界條件下的泊松方程或拉普拉斯方程。用數學的語言來說，這些都是屬於橢圓型偏微分方程，所以這里就討論和二維橢圓型方程相聯系的變分問題。首先討論橢圓方程邊值問題和相應變分問題的等價性。

電法勘探中目標函數（如電位等）在勘探區域D內所滿足的橢圓型微分方程為

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在D域的邊界Γ上（Γ為逐段光滑的封閉曲線），滿足下列條件之一：

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以上式中u（x，y）為欲求目標函數，α、β、γ和f均為x和y的已知函數。要求α＞0，β≥0，γ≥0。方程（9.3.1）也稱為赫姆霍茲方程。

數學上可以證明，若函數

（x，y）是方程Lu=f（即（9.3.1）在邊界條件（9.3.4）或（9.3.2）、（9.3.3）下）的解，則函數

使相應的泛函

J［u］=（Lu，u）-2（f，u） （9.3.5）

達到極小值，式中圓括弧表示內積，定義為

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或者反過來也一樣，若

使泛函J［u］達到極小值，則Lu=f是方程Lu=f在相應邊界條件下的解，即赫姆霍茲方程的邊值問題和二次泛函J［u］的變分問題是等價的。

這里不給出嚴格的證明，只從公式推導上說明其等價性，首先

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因為

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所以

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圖9.3 區域邊界的幾何關系

（dl為文中ds）

利用平面格林公式

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上式積分中間兩項可寫為

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由圖9.3可見

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所以

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代入第三類邊界條件，則

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上式中ds為Γ上的一個微線段，n為該線段的外法線方向，所以

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實際上，J［u］是一個二次泛函，可以求出它的一階變分和二階變分。設δu（x，y）是u（x，y）的增量，則

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式中：

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泛函（9.3.6）取極值的必要條件是

δJ=0

又因α＞0，β≥0，γ≥0且δu≢0，所以δ²J＞0，故泛函（9.3.6）達到極小值的充要條件是δJ=0，δ²J＞0。

現將一階變分δJ改寫一下，因為

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所以

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而δu是任意的，又α＞0，因此由δJ=0推得

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這就是方程（9.3.1）的第三邊值問題的解。

當γ=0時，在（9.3.6）式中沒有線積分項，易於看出，δJ=0相當於微分方程在第二類邊界條件下的求解，即：

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對於第一類邊值問題，這時相應的泛函（9.3.6）式也沒有線積分項，考慮到這時δu|_Γ=0，故有

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與δJ=0相應的極小函數u（x，y）就是方程在第一類邊界條件的解

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在以上討論過程中有這樣一種情況，即求一函數使泛函（9.3.6）達到極小值時，其邊界條件是被極值函數自動滿足的，無須作定解條件列出，這樣的邊界條件稱為自然邊界條件。

圖9.4 兩種介質的分界面

而第一類邊界條件，在變分問題中與在微分方程邊值問題中一樣，必須作定解條件列出，也就是說極值解必須在滿足這個邊界條件的函數類中去找，這類邊界條件稱為強加邊界條件。

前面的討論適合於物性連續變化的介質，現在考慮分區均勻具有物性分界面的情況，這時必須考慮介質分界面的影響，在公式中將出現介質物性參數。現以穩定電流場為例進行討論，由第一部分的理論：在兩種導電介質的界面上，電流場必須滿足的兩個普遍性邊界條件，即（8.3.9）和（8.3.10）式。這時介質參數α₁=σ₁，α₂=σ₂分別為兩種介質的導電率，

為界面法向方向，規定從介質1指向介質2。如圖9.4所示。為簡單起見，討論二維拉普拉斯方程第一邊值問題，相當於不包括場源空間的線源問題。

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這時β=0，f=0，（9.3.6）式簡化為

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式中D域由區域D₁和D₂合成，在D₁上α=α₁，在D₂上α=α₂。上式的變分可寫為

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由於規定界面的法線方向從介質1指向介質2，所以上式最後一項為負的。在界面Γ₁₂上，由於電位連續，在邊界附近介質1中的電位變化必等於介質2中的電位變化，即δu

=δu

，且由於電流法線分量連續，上式中後面兩項積分相互抵消，由此可得相應泛函的變分為

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式中Γ=Γ₁+Γ₂，只包括外邊界，不包括介質分界面。

由此可知，只要泛函表達式中包含物性參數，泛函的變分與介質分界面無關，只與外邊界有關。在泛函取極值的過程中，分界面上的邊界條件將自動滿足，這也屬於自然邊界條件。

9.3.2 里茲—伽遼金方法

里茲方法是求泛函的近似極小值函數的一個方法，伽遼金方法來源於力學中的「虛位移原理」，它和變分問題沒有任何聯系，因此不需要將微分方程問題化為泛函變分問題來求解。但當微分方程問題和變分問題等價時，它和里茲方法就是一樣的，所以這里將它們並聯起來敘述。

考慮滿足第一邊界條件下的泊松方程

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相應的變分問題是求泛函

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的極小值。

設極小值函數的近似值為

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通常W_i（x，y）可選取滿足邊界條件的三角函數或多項式，α_i為待定系數，將（9.3.14）式代入（9.3.13）則

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其中

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由此可見，J（u_n）是α₁，α₂，…，α_n的多元二次函數，由求泛函極小的必要條件，必須滿足

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由此可得

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或

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這是一個線性代數方程組，解此方程組求出系數α₁，α₂，…，α_n，代入（9.3.14）式，便是我們要求的解。

事實上，將λ_k，s和μ_k的表達式代入（9.3.15）式，可寫為

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或

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由格林第一公式

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令u=u_n，v=W_s，並考慮邊界條件，W_i也應滿足邊界條件W_s|_Γ=0，故有

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代入（9.3.16）式中可得

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這是方程組（9.3.15）的另一形式，即所謂伽遼金方程組。

對於一般橢圓型方程（9.3.1）的第一邊值問題

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相應的變分問題是求泛函

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的極小值。

同樣，假設其極小值函數近似為（9.3.14）式，可以證明此時確定α_k的方程組為

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其中

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方程組（9.3.20）的伽遼金形式為

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9.3.3 能量極小原理

在電磁學中有這樣一個基本原理，即電磁場在達到平衡狀態時都要求滿足能量最小的條件，或者說，電磁能量取得極小的條件和麥克斯韋方程組是等價的，是以不同的形式表示電磁場狀態及分布的基本定律。

已知電磁場的功率密度通量是由坡印亭矢量給出的

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而單位體積的功率ψ是密度通量

的負散度，即

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由於

，

和

可將（9.3.22）式寫為

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將上式對時間t積分，可以得到能量密度

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上式中等式右邊三項分別表示磁場的、電場的和傳導電流的能量密度。

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式中γ²=-μω（ωε+iσ），這是用磁場強度表示的總能量表達式。同樣可求出以電場強度表示的總能量表達式：

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當考慮存在場源時，有

磁源能量

電源能量

電流源能量

電流源功率

式中：

是源磁化強度；

為電極化強度；

為源電流密度。

電磁總能量D_T由場的能量和源的能量組成，例如電場的總能量是電場能量和電極化源能量的總和

D_T=D_F+D_E

前面已敘，電磁場的狀態由能量極小原理確定。於是由極值的必要條件，能量D_T的變分δD_T必為零，對電場，其變分方程為

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對磁源磁場為

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當給定場源分布和適當邊界條件時便可由上面變分方程求出介質各處的場值。

實際上可以證明滿足變分方程的場值一定滿足帶有場源項的赫姆霍茲方程。例如（9.3.25）式，由於其變分和積分是對不同變數進行的，故可以交換其順序，可得

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利用高斯公式，上式第二項為

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由於在區域的邊界S面上變分δE處處為零，所以上式為零。這樣可寫出

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由於在區域內δE不為零，δD_T為零，則要求

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在均勻導磁率的區域，化簡為

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或

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這就是帶有場源的赫姆霍茲方程。可見由能量極小原理所導出的變分方程與麥克斯韋方程組導出的微分方程對決定場的狀態是等價的。

⑺ 什麼是變分問題

速降線問題,等周線問題等.說白了就是給出一條滿足一定條件的曲線,使它對應的某個函數達到極值,什麼時間最短啦,能量最小啦,等等

⑻ 現代控制理論中得變分法是如何處理問題的

變分法是處理函數的函數的數學領域，和處理數的函數的普通微積分相對。譬如，這樣的泛函可以通過未知函數的積分和它的導數來構造。變分法最終尋求的是極值函數：它們使得泛函取得極大或極小值。有些曲線上的經典問題採用這種形式表達：一個例子是最速降線，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點A到達不直接在它底下的一點B。在所有從A到B的曲線中必須極小化代表下降時間的表達式。

⑼ 卡爾曼濾波和三維變分公式

卡爾曼濾波（Kalman filtering）是一種利用線性系統狀態方程，通過系統輸入輸出觀測數據，對系統狀態進行最優估計的演算法。由於觀測數據中包括系統中的雜訊和干擾的影響，所以最優估計也可看作是濾波過程。數據濾波是去除雜訊還原真實數據的一種數據處理技術，Kalman濾波在測量方差已知的情況下能夠從一系列存在測量雜訊的數據中，估計動態系統的狀態。由於它便於計算機編程實現，並能夠對現場採集的數據進行實時的更新和處理，Kalman濾波是目前應用最為廣泛的濾波方法，在通信，導航，制導與控制等多領域得到了較好的應用。X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)，Z(k)=H X(k)+V(k)，X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k)

⑽ 變分原理的變分原理

把一個力學問題（或其他學科的問題）用變分法化為求泛函極值（或駐值）的問題，就稱為該物理問題 （或其他學科的問物理題）的變分原理。如果建立了一個新的變分原理，它解除了原有的某問題變分原理的某些約束條件，就稱為該問題的廣義變分原理；如果解除了所有的約束條件，就稱為無條件廣義變分原理，或稱為完全的廣義變分原理。1964年，錢偉長教授明確提出了引進拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）把有約束條件的變分原理化為較少（或沒有）約束條件的變分原理的方法。日本的鷲津一郎教授、中國科學院院士錢偉長教授和劉高聯教授等都是這方面的世界級大師。變分原理在物理學中尤其是在力學中有廣泛應用，如著名的虛功原理、最小位能原理、余能原理和哈密頓原理等。在當代變分原理已成為有限元法的理論基礎，而廣義變分原理已成為混合和雜交有限元的理論基礎。在實際應用中，通常很少能求出精確的解析解，因此大多採用近似計算方法。近似計算方法主要有：李茲法、伽遼金法、康托洛維奇法、屈列弗茲法等。