向量組的正交化演算法

1. 如何將向量組正交化

在線性代數中，如果內積空間上的一組向量能夠張成一個子空間，那麼這一組向量就稱為這個子空間的一個基。Gram－Schmidt正交化提供了一種方法，能夠通過這一子空間上的一個基得出子空間的一個正交基，並可進一步求出對應的標准正交基。 這種正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名，然而比他們更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已經發現了這一方法。在李群分解中，這種方法被推廣為岩澤分解（Iwasawa decomposition）。 在數值計算中，Gram－Schmidt正交化是數值不穩定的，計算中累積的舍入誤差會使最終結果的正交性變得很差。因此在實際應用中通常使用豪斯霍爾德變換或Givens旋轉進行正交化。

2. 將線性無關向量組 正交化，給出計算步驟，謝謝

正交向量組｛α1，α2，……。αn｝指①每個αi≠0.②i≠j時：（αi,αj）＝0（數積）假如向量組｛α1，α2，……。αn｝線性相關。則從「相關可表等價定理」，必有一個向量可以表示成其餘向量的線性組合。不妨設α1＝k2α2+……+knαn,有（α1,α1）＝（α1,k2α2+……+knαn）＝k2（α1,α2）+……+kn（α1,αn）＝0.α1=0與①矛盾。所以，向量組｛α1，α2，……。αn｝線性無關。

3. 求解！！！！！如何對向量正交化

向量正交化，對稱矩陣對角化的時候看題目要求是否需要正交陣，二次型化標准型讓求正交變換的時候化正交陣~—、如果求出的特徵值不相等，則只需要對其對應的特徵向量單位化（原因是：實對稱矩陣不同特徵值的特徵向量正交）二、如果特徵值相等，比如說a1=a2=a3=2，則先要對特徵值等於2多對應的特徵向量先進行正交，然後單位化（施密特正交化）。。比如：
設b＝a2+ta1.為了b⊥a1,必須
（a2+ta1）·a1＝0,
即：a2·a1+ta1·a1＝0
t＝-（a2·a1）/（a1·a1）＝-（-1）/2＝1/2
b＝（0
2
1）t+（1/2(1
0
-1)t＝（1/2,2,1/2）t
＜a1,a2＞≡＜a1,b＞[向量組＜a1,a2＞與向量組＜a1,b＞等價，後者是正交組]
這個過程就是向量組的正交化。

4. 將向量組正交化，為什麼將向量組正交化什麼時候要

在線性代數中,如果內積空間上的一組向量能夠張成一個子空間,那麼這一組向量就稱為這個子空間的一個基.Gram－Schmidt正交化提供了一種方法,能夠通過這一子空間上的一個基得出子空間的一個正交基,並可進一步求出對應的標准正交基.
這種正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名,然而比他們更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已經發現了這一方法.在李群分解中,這種方法被推廣為岩澤分解（Iwasawa decomposition）.
在數值計算中,Gram－Schmidt正交化是數值不穩定的,計算中累積的舍入誤差會使最終結果的正交性變得很差.因此在實際應用中通常使用豪斯霍爾德變換或Givens旋轉進行正交化

5. 正交化怎麼計算

正交化括弧里演算法：如果正交化中單位化中雙括弧里是向量的模長的話，應該是把向量的各個分量先平方再相加。如果指的向量的內積，那就是把兩個向量對應分量相乘再相加。

正交化中單位化中雙括弧里的東西是指的向量的模長，如果是向量的模長的話，應該是把向量的各個分量先平方再相加，然後再開算數平方根，就是模長了。而如果正交化中單位化中雙括弧里的東西是指的向量的內積，那就是把兩個向量對應分量相乘再相加，就是內積了。

6. 如何正交化三個向量組

首先，兩個向量正交：求其內積，看是否為0，若為零，則正交。例子：a=(1,1,0),b=(1,-1,0) ，則內積(a,b)=1*1+1*(-1)+0*0=0，所以a，b正交。 向量組兩兩正交就是其任意兩個向量都正交

7. 怎麼把向量正交化

向量正交化一般都使用施密特正交化的方法

通過這樣的計算之後

β1，β2，……βs就是正交向量組了

8. 線性代數怎麼把向量組單位正交化

先單位化，再正交化，但這樣最後得到的那個矩陣不一定是正交陣，所以需要最後再單位化一次。向量組等價的基本判定是：兩個向量組可以互相線性表示。

需要重點強調的是：等價的向量組的秩相等，但是秩相等的向量組不一定等價。

向量組A：a1，a2，…am與向量組B：b1，b2，…bn的等價秩相等條件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量組A和B所構成的矩陣。

(8)向量組的正交化演算法擴展閱讀：

向量組的任意兩個極大無關組等價。兩個等價的線性無關的向量組所含向量的個數相同。等價的向量組具有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價。

由於把一個正交向量組中每個向量經過單位化，就得到一個標准正交向量組，所以，上述問題的關鍵是如何由一個線性無關向量組來構造出一個正交向量組，我們以3個向量組成的線性無關組為例來說明這個方法。

從歐氏空間任意線性無關的向量組α1，α2，……，αm出發，求得正交向量組β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm與向量組β1，β2，……，βm等價，再將正交向量組中每個向量經過單位化，就得到一個標准正交向量組，這種方法稱為施密特正交化。

9. 如何兩個向量正交化

向量正交化，對稱矩陣對角化的時候看題目要求是否需要正交陣，二次型化標准型讓求正交變換的時候化正交陣~—、如果求出的特徵值不相等，則只需要對其對應的特徵向量單位化（原因是：實對稱矩陣不同特徵值的特徵向量正交）二、如果特徵值相等，比如說a1=a2=a3=2，則先要對特徵值等於2多對應的特徵向量先進行正交，然後單位化（施密特正交化）。。比如：
設b＝a2+ta1.為了b⊥a1,必須 （a2+ta1）·a1＝0,
即：a2·a1+ta1·a1＝0 t＝-（a2·a1）/（a1·a1）＝-（-1）/2＝1/2
b＝（0 2 1）T+（1/2(1 0 -1)T＝（1/2,2,1/2）T
＜a1,a2＞≡＜a1,b＞[向量組＜a1,a2＞與向量組＜a1,b＞等價，後者是正交組]
這個過程就是向量組的正交化。