⑴ 盒維數和分形維數在哪一門學科中
圖形分形維數。這個可以在matlab中用Fractlab這個工具箱，這個工具箱可以在網上下載。網上也有fraclab的使用說明，打開界面後把圖導進去，選擇維數計算，然後選擇網格數之類的就可以了，我已經試過了。但感覺演算法有點粗糙。希望能幫到你。
另外還有一個方法，用ARCGIS軟體，我還沒有嘗試，只能算出一種維數，類似線路覆蓋維數。算維數一般有兩種方法，一種是網格法，一種是尺度變換法。前者針對方形圖形，後者主要是圓形。
⑵ 分形維數表達的是一個什麼概念
表達了有一些看上去不規則的事物實際上可以用內在的規律表徵，這個表徵就是分形（fractal），表徵的程度就是分形維數（fractal dimension），分形更是一種認知自然世界的世界觀、方法論，你需要去看書，多看相關的東西，才能有深刻的了解，我只是編制過分形維數計算程序，有一些了解，好久都沒看了，加油好好學。。。
⑶ 分形維數表達的是一個什麼概念啊關聯維又是什麼意思啊
看你這個問題有段時間了吧？算了，大概說說，以前接觸過混沌：
一般的維數概念源於歐式空間，但這種維數概念有一定局限性
必須是整數，在描述一些不規則且不光滑對象時不是很理想
具有正常維數的圖形的一個重要性質：當對某一圖形的容積進行測量時
若用本維圖形的尺度進行測量，則測量的結果為有限值
用較低維數的尺度測量，則測量的結果無限大，用較高維數的尺度測量
則量度為0。分數維數就是對這種維數進行的擴展
分數維數有很多種定義，如豪斯道夫維、相似維、信息維、盒維、關聯維等
關聯維是基於實驗數據提取分維的一種方法，相當於在不知背景相空間維數
的情況下，從少量的數據序列來提取維數的一種演算法。
⑷ 怎樣用matlab計算分形盒維數呢！
根據計盒維數原理求一維曲線分形維數的matlab程序
function D=FractalDim(y,cellmax)
%求輸入一維信號的計盒分形維數
%y是一維信號
%cellmax:方格子的最大邊長,可以取2的偶數次冪次(1,2,4,8...),取大於數據長度的偶數 %D是y的計盒維數（一般情況下D>=1）,D=lim(log(N(e))/log(k/e)),
if cellmax<length(y)
error('cellmax must be larger than input signal!')
end
L=length(y);%輸入樣點的個數
y_min=min(y);
%移位操作，將y_min移到坐標0點
y_shift=y-y_min;
%重采樣，使總點數等於cellmax+1
x_ord=[0:L-1]./(L-1);
xx_ord=[0:cellmax]./(cellmax);
y_interp=interp1(x_ord,y_shift,xx_ord);
%按比例縮放y，使最大值為2^^c
ys_max=max(y_interp);
factory=cellmax/ys_max;
yy=abs(y_interp*factory);
t=log2(cellmax)+1;%疊代次數
for e=1:t
Ne=0;%累積覆蓋信號的格子的總數
cellsize=2^(e-1);%每次的格子大小
NumSeg(e)=cellmax/cellsize;%橫軸劃分成的段數
for j=1:NumSeg(e) %由橫軸第一個段起通過計算縱軸跨越的格子數累積N(e) begin=cellsize*(j-1)+1;%每一段的起始
tail=cellsize*j+1;
seg=[begin:tail];%段坐標
yy_max=max(yy(seg));
yy_min=min(yy(seg));
up=ceil(yy_max/cellsize);
down=floor(yy_min/cellsize);
Ns=up-down;% 本段曲線佔有的格子數
Ne=Ne+Ns;%累加每一段覆蓋曲線的格子數
MATLAB是美國MathWorks公司出品的商業數學軟體，用於演算法開發、數據可視化、數據分析以及數值計算的高級技術計算語言和互動式環境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分。
MATLAB是matrix&laboratory兩個詞的組合，意為矩陣工廠（矩陣實驗室）。是由美國mathworks公司發布的主要面對科學計算、可視化以及互動式程序設計的高科技計算環境。它將數值分析、矩陣計算、科學數據可視化以及非線性動態系統的建模和模擬等諸多強大功能集成在一個易於使用的視窗環境中，為科學研究、工程設計以及必須進行有效數值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案，並在很大程度上擺脫了傳統非互動式程序設計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當今國際科學計算軟體的先進水平。
MATLAB和Mathematica、Maple並稱為三大數學軟體。它在數學類科技應用軟體中在數值計算方面首屈一指。MATLAB可以進行矩陣運算、繪制函數和數據、實現演算法、創建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應用於工程計算、控制設計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設計與分析等領域。
MATLAB的基本數據單位是矩陣，它的指令表達式與數學、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C，FORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多，並且MATLAB也吸收了像Maple等軟體的優點，使MATLAB成為一個強大的數學軟體。在新的版本中也加入了對C，FORTRAN，C++，JAVA的支持。
⑸ 迭代、分形和混沌
地球物理場能量很小，除天然地震震源物理研究外，場正演問題都歸結為線性偏微分方程。但是，反問題都是非線性的。
5.1.1 牛頓迭代與分形
非線性迭代的最基本方法是牛頓迭代法。也就是說，將函數展成台勞級數，略去高次項，從一次項中提出修改增量和Jacobian矩陣，構成線性方程組。牛頓迭代法收斂很快，但是收斂取決於初始猜測。
1988年，Petigen與Saupe的論文集中發表了一個有趣的試驗結果，他考慮以下簡單的非線性方程
z3-1=0 （5.1.1）
此方程的一個實根為z=1，兩個復根為
z=exp（± 2πi/3） （5.1.2）
用牛頓迭代格式
地球物理數據處理教程
來逼近，得到的是實根還是哪一個復根？
當然，初值z0可以是復平面z=x+iy中的任一點。可以猜測，z0在復平面上可以分為若干個區域，z0在某個區域用式（5.1.3）作迭代後收斂，在另外的區域收斂於復根。習慣於線性思維的人會認為這些區域是有清晰邊界分開的幾塊，如z0等於1的鄰域牛頓迭代將收斂於實根z=1，它的面積大約佔z平面的1/3左右，而其他區域收斂於復根。事實並非如此，初值z0的收斂域是分形的，如圖5.1所示。從圖5.1 可見，黑色區域的面積的確是選初值區域（-2≤x≤2，-2≤y≤2）的1/3，但它的邊界是分形的，即含有所有的尺度，彼此自相似。為什麼像式（5.1.1）那麼簡單的迭代格式會導致這么復雜的分形圖像？為什麼初值在這種邊界上的微小變化會使迭代收斂到完全不同的根？
圖5.1 實虛軸在（-2，2）范圍內的復平面z黑色區域經牛頓迭代後收斂於實根z=1初值區，白色為收斂於復根的區域
問題歸結為方程（5.1.1）的非線性，而非線性是系統走向混沌的必要條件。對於非線性系統，初值的微小變化會使系統狀態在幾個「吸引子」之間回彈，其幾何表現就是分形。
5.1.2 分形地球模型
本書把地球參數看成是實函數集，即Hilbert空間的元，這是確定性模型。確定性模型隱含著地球物質有序分布的假定，而隨機模型隱含著地球物質隨機分布的假定。我們現在進一步假定地球物質分布是自相似或自仿射的，具有多尺度的層次結構，這就導致地球的分形模型。
從分形的觀點描述地球的根據是：地球是無標度的復雜對象，其尺度可由幾毫米的微裂縫到上萬公里的地球直徑，而不同尺度之間的現象具有相似性。
人有特徵尺度，即人的身高，在1.6 m或5 ft左右。因此，人造的東西也有特徵尺度，如火車的高度在2m上下，輪船和高樓平均為幾十米，這種特徵尺度稱為標度。
自然現象一般具有多尺度的特徵，沒有特徵尺度。分形幾何學把不同尺度的現象用標度律聯系起來
p（λt）=λαp（t），0 ＜ α ＜ 1 （5.1.4）
式中p（t）為某種層次的尺度，p（λt）為它放大λ倍之後的尺度，α為標度指數。而
D0=2-α （5.1.5）
等於Mandelbrot分維數。
維數指的是幾何對象中的一個點所置的獨立坐標的個數，如地球表面的一個點用經緯度表示，它的維數是2。在分形幾何學中，維數可以為分數，分數的維數稱為分維數。
對二維情況，一個正方形每邊都放大3倍（尺度放大），則變為9個原正方形，有
2=l n9/l n3
對整數維為d的幾何對象，每個方向都放大L倍，結果得到N個原來的對象，有
d=lnN/lnL
每個方向放大L倍等效於此方向測量尺度（或度量的單位）縮小為原來的ε=1/L倍。因此，在一般情況下，用很小的度量單位ε研究對象的尺度變化時，可定義
地球物理數據處理教程
這就是Mandelbrot分形維。
1992年Korvin編了一本名為《地學中的分形模型》的書，書中列舉了與地球科學有關的許多分形模型。其中談到，1984年美國地調所出動數十輛消防車對內華達岩石出露區進行沖洗，然後對其裂隙作詳細填圖，得出該區裂隙系統的平均分維數為1.744。用大尺度的區域斷裂構造圖計算此區斷裂系統的分維數為1.773，證實了不同層次的地球斷裂系統之間具有自相似性。陳顒與特科特等人的專著對此也有精彩的描述。
關於分形幾何學與其他分維數（如相關維D2、信息維D1等）的討論詳見有關專著。以下只介紹對時間序列計算分形維D0的方法。傳統的介紹D0分維數的方法多用時間系列的功率譜計算。由於地球物理資料的功率譜在高頻段含有大量噪音，這種計算方法幾乎不能用。我們只研究以下演算法，在反射地震資料處理上取得良好效果。
對平面曲線，其總長度為
地球物理數據處理教程
式中：ε為度量單位（尺子）；N為量得的尺數；f為尺子量完後的剩餘長度（f＜ε）；D0為Mandelbrot分形維數。將式（5.1.7）兩邊取對數，有
ln（N+f/ε）=-D0lny+lnL （5.1.8）
設時間序列為 ｛s1，s2，…，sm｝，取樣率為Δt，則用ε1=Δt為尺子量出它對應的曲線長度為
地球物理數據處理教程
再令ε2=2Δt為尺子量出，有
地球物理數據處理教程
取ε3=4Δt，有
地球物理數據處理教程
將式（5.1.9）至（5.1.11）代入式（5.1.8）有方程
ln（Nj+fj/εj）=-D0lnεj+lnL，j=1，2，3 （5.1.12）
用最小二乘法易求出方程組（5.1.12）中的兩個未知數D0和L。當然，還可取ε4=8Δt等，以提高求分形維D0的准確度。下節還要提到，反演迭代輸出序列的分形維是指示迭代狀態的一種有用參數。
5.1.3 非線性迭代與混沌
設xn為第n步的迭代輸出，xn+1為下一步的迭代輸出，二次方程
xn+1=rxn（1-xn） （5.1.13）
雖然很簡單，但迭代過程（演化）卻是很復雜的。這個方程稱為May生態方程。將xn+1及xn視為若干年後池塘中大魚的產量，由於xn越大繁殖就越多，所以xn+1與它成正比；又因大魚越多吃的小魚也越多，xn+1又與（1-xn）成正比。這就是生態方程的含義，系數r與飼料總量有關。
將xn及xn+1視為若干年後你的一筆銀行存款的總值，當年存款xn越多次年本利就越多，所以xn+1與xn成比例。但是，存款越多銀行利率下降越多，xn+1又與（1-xn）成比例。系數r為控制參數，與銀行存款總量有關。可見，生態方程反映許多自然與人文發展的規律。
將（5.1.13）式中的xn+1視為常數，則它是一個關於xn的二次方程，有兩個根。這意味著演化問題存在兩種選擇（線性問題只有一種選擇）。xn有兩種選擇將造成迭代輸出不穩定，在兩種選擇中跳來跳去。例如，池塘魚的產量和水果產量常出現大年與小年的區別，這種演化成為二齒分叉（Pitchfork bifurcation）。
分叉取決於控制參數r，二齒分叉可能不斷進行下去，即由兩叉變四叉，四叉變八叉。具體地說，隨r從很小變到r=r1=1.0時，開始第一次分叉。當r=r2=3時，再次分四叉等等。此後，迭代變得非常不穩定，並很快變得沒有規律和不可預測（即混沌）。
圖5.2示出二次映射的迭代輸出隨控制系數的分叉過程，以及相應的Lyapunov指數。由圖可見，二次映射迭代隨外部控制參數r的增大導致有規律的分叉，直至走向混沌。
圖5.2 二次映射（式（5.1.13））的迭代輸出xn隨r的變化，黑色區表示混沌區（a），以及Lyapunov指數的變化（b）
在非線性動力學中，混沌指的是非線性系統演化的一種不確定和無規則狀態。分叉、間歇、突變（如相變）都是典型的不規則狀態。在地球科學中，火山爆發是典型的間歇，地震發生是能量的突然釋放，其形成的斷裂裂隙具有分形結構。
混沌發生的必要條件是系統為非線性。多層次的復雜非線性系統（如人類社會）由於其自組織的困難，較易演化為混沌運動（如戰爭）。開放的耗散（Dissipative）系統由於固有的非線性性質，也經常出現混沌。但是，非線性只是混沌運動發生的必要條件，而不是充分條件。混沌運動的特徵如下。
（1）不可預測性，指初始條件有微小的差別將導致最終結果迥然不同。設迭代映射方程為xn+1=f（xn），例如當f為二次函數時，它變成（5.1.13）的May生態方程。f在一般情況下指任何導致混沌結果的函數。如果初始條件x0帶有微小的誤差ε0，經過N次迭代後其誤差被指數放大，記fN（x0+ε）為帶誤差的迭代輸出，有
地球物理數據處理教程
因此定義
地球物理數據處理教程
為Lyapunov指數。還可將式（5.1.15）寫為
地球物理數據處理教程
可見Lyapunov指數表示經N次迭代後系統演化軌道加速偏離的指數。設|ΔI|為經過一次迭代後系統信息的平均損失，有
λ（x0）=ln2|ΔI| （5.1.17）
說明λ與|ΔI|成正比。根據Shannon資訊理論，系統信息量等於該系統作完備描述編碼所需的最小bit數目。當λ＞0時，每次迭代的信息損失都大於零，系統的熵不斷增大以導致混沌的發生。圖5.2（b）示出了二次迭代的λ隨r的變化並將它與系統的分叉和混沌作對比。由圖可見，λ＜0時對應的系統穩定，在λ=0的點系統發生分叉，而λ＞0的點對應混沌。因此，Lyapunov是指示狀態的重要標量參數。
（2）整體行為的有規律性。雖然系統在未來的具體狀態具有不確定性和不可預測，但是「表面上看起來瘋狂雜亂，其實自有規矩」（莎士比亞）。所有系統演化的軌跡形成的相空間的圖形中，存在若干個吸引軌跡的若干個很小的空間（成為吸引子），使軌跡不斷收縮到其中，或者突跳到另一個吸引子附近。這種現象表示整體行為仍具有整體性。
整體行為的規律性還表現在不同層次的運動的相似性（分形）上。Feigenbaum證明，無論是哪種形如xn+1=f（xn）的混沌運動，其轉化為混沌的尺度特徵都由兩個普適常數控制，更說明混沌理論具有整體規律性。
形式周期性，混沌狀態的發生有時會重復出現，但這種重復是不確定的。例如，大地震的發生時多時少，既包括高頻度的重復出現，又沒有準確的周期。
非線性科學研究的全面展開，還是20世紀90年代的事。19世紀建立了線性科學的理論框架，它在20世紀發展為完整的體系。但是非線性科學理論框架的建立，將是21世紀的事。對正問題的研究尚且如此，對非線性問題的研究更加零星。接下來介紹根據混沌理論進行非線性反演的一些實例。
⑹ 請問關聯維數（分形維數）和分數維有什麼聯系與區別
關聯維數實際上是分形維數的一種，因為有很成熟的G-P演算法的存在，利於計算和應用。
分形維數除了用分形維數計算，還可以用盒子維數來計算，此外還有折線法等等。
關聯維數（分形維數）等於二減去赫斯特指數，分數維是赫斯特指數的倒數，都是經驗公式。很多情況下並不滿足，理論上的分形維數應該是豪斯道夫維數，但這很難計算。
⑺ sierpinski地毯的分形維數是多少
3 Gouraud顏色漸變203
10.1.1 演算法原理56
3.1.2.3.3.3.7.1.2.1.1.4 分形維數的定義158
8.3.2.4 B樣條曲線的性質146
7.2.5 C字曲線168
8.1 中點分割直線裁剪演算法原理103
5.1.4 小結52
習題252第3章 基本圖形的掃描轉換55
3.1.4.1 三視圖115
6.2 材質模型和光照模型205
10.2.2 隨機掃描顯示器8
1.4 Peano-Hilbert曲線171
8.5.2 Koch曲線161
8.1 紋理定義209
10.3 邊界條件133
7.3.6.4 Bezier曲線137
7.3 邊緣填充演算法80
4.7.2.2.2 MFC上機操作步驟28
2.3 旋轉變換矩陣92
5.2.1 平移變換109
6.2.4.2 Koch曲線170
8.4.4.0繪圖基礎21
2.4 四鄰接點填充演算法和八鄰接點填充演算法84
4.1.5.5 透視投影分類125
6.2 圓的掃描轉換57
3.2 比例變換矩陣91
5.3 橢圓的掃描轉換60
3.3 Hermite樣條曲線135
7.2 二次B樣條曲線143
7.5 小結85
習題485第5章 二維變換和裁剪89
5.2 雙三次Bezier曲面的定義141
7.4 連續性條件131
7.3.5.1 規范化齊次坐標89
5.3 漫反射光模型206
10.1 直線的掃描轉換55
3.3 真實感圖形顯示技術19
1.1.1.3 計算機圖形學的相關學科5
1.2.2 構造中點偏差判別式56
3.1 填充原理82
4.3.5 楓葉生成182
8.3.4 區域填充演算法82
4.2 構造上半部分I中點偏差判別式62
3.1.2 有效邊表填充演算法75
4.1.2.2 填充過程80
4.2.3 二維復合變換95
5.6.2.2 分形的基本特徵157
8.4.4 反走樣技術66
3.3.5 直線距離加權反走樣演算法67
3.5.2 IFS175
8.2 TestView.5.7 三維顯示器15
1.5.4.2 曲面體消隱演算法192
9.1 Cantor集160
8.2.3 演算法的幾何意義104
5.2.2.2 構造距離判別式69
3.5.4 邊表79
4.5.3 三次B樣條曲線144
7.1 計算機圖形學的應用領域1
1.3 交點計算公式102
5.1.3 分形的定義158
8.2 三次參數樣條曲線132
7.5 Bezier曲面141
7.3.4 區域填充74
4.2.1 L系統文法169
8.2 畫家演算法197
9.1 實面積圖形的概念72
4.1 顏色模型201
10.4.6 等離子顯示器15
1.1 Bezier曲線的定義137
7.5 錯切變換112
6.3.3 窗視變換矩陣100
5.7 梁友棟-Barsky直線裁剪演算法103
5.1.3 L系統模型169
8.1.1.4 設備上下文的調用和釋放50
2.4.2 多邊形的表示73
4.3 對象的動態建立和釋放24
2.5 透視變換120
6.2 坐標系變換121
6.2 構造中點偏差判別式59
3.6 中點分割直線裁剪演算法103
5.1 平移變換矩陣91
5.4.1 多邊形的定義73
4.1 填充原理75
4.3 直視儲存管顯示器8
1.2 曲線曲面的表示形式130
7.2.7.1.1 計算機輔助設計1
1.3 分形草171
8.2.3.1 凸多面體消隱演算法190
9.3 用戶坐標繫到觀察坐標系的變換122
6.3.1 類和對象21
2.2 計算機圖形學的概念4
1.7.3 四連通域和八連通域83
4.1.4 二維圖形裁剪98
5.1.1 樣條曲線曲面130
7.3.4 繼承與派生25
2.2 三維基本幾何變換矩陣109
6.1.5.1.5 小結198
習題9198第10章 真實感圖形201
10.2 環境光模型206
10.2 系數求解133
7.3 TestView.1 交互技術18
1.4.7.4.4.4 二維幾何變換90
5.1 圖形的幾何信息和拓撲信息187
9.2 中點計算公式103
5.1.5.4 構造下半部分II中點偏差判別式64
3.3 Bezier曲線的可分割性139
7.3 相對於任意方向的二維幾何變換96
5.4 觀察坐標繫到屏幕坐標系的變換124
6.1 演算法原理61
3.5 錯切變換矩陣94
5.2 構造函數和析構函數22
2.4 反射變換111
6.1 Bezier曲面的定義141
7.4.2.2 紋理映射210
10.1 B樣條曲線的定義143
7.3.3 多邊形的填充74
4.3.4 IFS迭代函數系統模型174
8.4.3 隱線演算法190
9.3 雙三次B樣條曲面的連續性150
7.3 CDC類的主要繪圖成員函數34
2.3.2 窗口和視區及窗視變換99
5.2 二維圖形基本幾何變換矩陣91
5.2 四鄰接點和八鄰接點82
4.5.1.2.1 梁友棟演算法原理103
5.4 光柵掃描顯示器9
1.2.7.5 Cohen-Sutherland直線裁剪演算法101
5.1 編碼原理101
5.2.1.1 Z-Buffer演算法194
9.2.2 三維幾何變換108
6.1 三維變換矩陣108
6.2 比例變換109
6.6.1 面向對象程序設計基礎21
2.2 造型技術18
1.6 Caley樹168
8.1 演算法原理67
3.3.4 投影變換115
6.6.1 圖形幾何變換基礎89
5.1.2.1.2 Bezier曲線的性質139
7.2.5.8 小結152
習題7152第8章 分形幾何156
8.5.6.3.4.4 Sierpinski墊片180
8.4 鏡面反射光模型207
10.5 下半部分II的遞推公式64
3.3 基本繪圖函數31
2.2.3 紋理映射209
10.1.3.5 VC++繪制圖形的幾種方法51
2.2 計算機藝術1
1.5.3.6.1 陰極射線管7
1.7 B樣條曲面149
7.3 Koch曲線178
8.3.3 計算機化69
3.7.h文件210
10.2 基本圖形的數據結構187
9.4 OpenGL簡介210
10.cpp文件213
10.6 B樣條曲線142
7.1 分形和分維156
8.4.3.6 小結69
習題369第4章 多邊形填充72
4.1.2.3 虛擬現實3
1.5.1 基本概念201
10.4 Sierpinski墊片、地毯和海綿164
8.3 遞推公式60
3.4.3 Peano-Hilbert曲線162
8.2 雙三次B樣條曲面的定義149
7.4.1 分形的誕生156
8.1.1.4.4 計算機輔助教學3
1.6 小結127
習題6128第7章 自由曲線和曲面130
7.4.1.2.2 演算法分析104
5.1 案例效果210
10.5.2 RGB顏色模型202
10.1 CDC類結構和GDI對象32
2.4 計算機圖形學的確立和發展5
1.1 三維幾何變換108
6.3 立體表示模型188
9.5.7.1 仿射變換174
8.2 映射模式33
2.4 反射變換矩陣93
5.7 計算機圖形學的最新技術18
1.5.1.4.1 填充原理80
4.7.5 光強的衰減208
10.1 復合變換原理95
5.4.2 邊界像素的處理原則75
4.5 圖形顯示器的發展及其工作原理7
1.5 小結183
習題8183第9章 動態消隱187
9.2 斜等側圖118
6.2.4.6.1 B樣條曲面的定義149
7.5 液晶顯示器13
1.5 分形灌木叢173
8.1 圖形學中常用的坐標系98
5.1 物體的材質205
10.1 圖形的數據結構187
9.5.1.6 圖形軟體標準的形成18
1.3 有效邊和有效邊表76
4.3 上半部分I的遞推公式62
3.3 旋轉變換110
6.5.4 隱面演算法194
9.1 基本概念130
7.8 小結19
習題119第2章 Visual C++6.3.2.2 裁剪步驟102
5.3 擬合和逼近131
7.2 消隱演算法分類190
9.3 遞推公式57
3.1 演算法原理58
3.8 小結106
習題5106第6章 三維變換和投影108
6.1.3 二維變換矩陣90
5.2 矩陣相乘89
5.4 程序說明220
10.5 構造特殊的三次B樣條曲線的技巧148
7.2 相對於任一參考點的二維幾何變換95
5.3 三維復合變換113
6.1 透視變換坐標系120
6.1 參數樣條曲線定義132
7.2 遞歸模型160
8目錄
計算機圖形學基礎教程（Visual C++版）
第1章 導論1
1.1
⑻ 摘要翻譯，謝謝！
The origin and development process contributes to a better understanding of the fractal phenomena in nature for the fractal growth image computer simulation, and the calculation of fractal dimension of the process and results of the fractal aggregation is helpful to help us find the different fractal phenomenon or things and the relation between. Using a computer to simulate the general process of different fractal growth, to program the results proced by the graphic method, then to find the general law according to the calculation of the fractal dimension of the fractal phenomenon, has become an important step in the field of fractal graphics. In this paper two kinds of simulation model of growth of different fractal: diffusion non-grid aggregation model (DLA) and cluster
人工翻譯可能會有些錯誤，謝謝！
⑼ 分形維數的計算方法有那些能具體說一下嗎
它與動力系統的混沌理論交叉結合，相輔相成。它承認世界的局部可能在一定條件下。過程中，在某一方面（形態，結構，信息，功能，時間，能量等）表現出與整體的相似性，它承認空間維數的變化既可以是離散的也可以是連續的，因而拓展了視野。 分形幾何的概念是美籍法國數學家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德國數學家維爾斯特拉斯（K.Weierestrass）構造了處處連續但處處不可微的函數，集合論創始人康托（G.Cantor，德國數學家）構造了有許多奇異性質的三分康托集。1890年，義大利數學家皮亞諾（G.Peano）構造了填充空間的曲線。1904年，瑞典數學家科赫（H.von Koch）設計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。1915年，波蘭數學家謝爾賓斯基（W.Sierpinski）設計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。1910年，德國數學家豪斯道夫（F.Hausdorff）開始了奇異集合性質與量的研究，提出分數維概念。1928年布利干（G.Bouligand）將閔可夫斯基容度應用於非整數維，由此能將螺線作很好的分類。1932年龐特里亞金（L.S.Pontryagin）等引入盒維數。1934年，貝塞考維奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質和奇異集的分數維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領域中作出了主要貢獻，從而產生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數概念。以後，這一領域的研究工作沒有引起更多人的注意，先驅們的工作只是作為分析與拓撲學教科書中的反例而流傳開來。二1960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態時，發現了價格在大小尺度間的對稱性。同年在研究信號的傳輸誤差時，發現誤差傳輸與無誤差傳輸在時間上按康托集排列。在對尼羅河水位和英國海岸線的數學分析中，發現類似規律。他總結自然界中很多現象從標度變換角度表現出的對稱性。他將這類集合稱作自相似集，其嚴格定義可由相似映射給出。他認為，歐氏測度不能刻劃這類集的本質，轉向維數的研究，發現維數是尺度變換下的不變數，主張用維數來刻劃這類集合。1975年，曼德爾布羅特用法文出版了分形幾何第一部著作《分開：形狀、機遇和維數》。1977年該書再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德爾布羅特關於分形幾何的主要思想，它將分形定義為豪斯道夫維數嚴格大於其拓樸維數的集合，總結了根據自相似性計算實驗維數的方法，由於相似維數只對嚴格自相似這一小類集有意義，豪斯道夫維數雖然廣泛，但在很多情形下難以用計算方法求得，因此分形幾何的應用受到局限。1982年，曼德爾布羅特的新著《自然界的分形幾何》出版，將分形定義為局部以某種方式與整體相似的集，重新討論盒維數，它比豪斯道夫維數容易計算，但是稠密可列集盒維數與集所在空間維數相等。為避免這一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充維數，1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普羅克西婭（I.Procaccia）提出根據觀測記錄的時間數據列直接計算動力系統吸引子維數的演算法。1985年，曼德爾布羅特提出並研究自然界中廣泛存在的自仿射集，它包括自相似集並可通過仿射映射嚴格定義。1982年德金（F.M.Dekking）研究遞歸集，這類分形集由迭代過程和嵌入方法生成，范圍更廣泛，但維數研究非常困難。德金獲得維數上界。1989年，鍾紅柳等人解決了德金猜想，確定了一大類遞歸集的維數。隨著分形理論的發展和維數計算方法的逐步提出與改進，1982年以後，分形理論逐漸在很多領域得到應用並越來越廣泛。建立簡便盛行的維數計算方法，以滿足應用發展的需要，還是一項艱巨的任務。 自然界中的分形，與概率統計、隨機過程關系密切。確定性的古典分形集加入隨機性，就會產生出隨機康托集、隨機科契曲線等各種隨機分形。1968年，曼德爾布羅特研究布朗運動這一隨機過程時，將其推廣到與分形有關的分數布朗運動。1974年他又提出了分形滲流模型。1988年，柴葉斯（j.T.Chayes）給出了詳細的數學分析。1984年，扎樂（U.Zahle）通過隨機刪除而得到十分有趣的分形構造，隨機分形能更真實地描述和模擬自然現象。三動力系統中的分形集是近年分形幾何中最活躍和引人入勝的一個研究領域。動力系統的奇異吸引子通常都是分形集，它們產生於非線性函數的迭代和非線性微分方程中。1963年，氣象學家洛倫茲（E.N.Lorenz）在研究流體的對流運動時，發現了以他的名字命名的第一個奇異吸引子，它是一個典型的分形集。1976年，法國天文學家伊儂（M.Henon）考慮標准二次映射迭代系統時獲得伊儂吸引子。它具有某種自相似性和分形性質。1986年勞威爾（H.A.Lauwerier）將斯梅爾的馬蹄映射變形成勞威爾映射，其迭代下不穩定流形的極限集成為典型的奇異吸引子，它與水平線的截面為康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等構造了一個二維迭代函數系統，其吸附界是維爾斯特拉斯函數，並得到盒維數。1985年，邁克多納（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三種類型：（！）局部不連通的分形集；（2）局部連通的分形擬圓周；（3）既不局部連能又不是擬圓周。前兩者具有擬自相似性。 動力系統中另一類分形集來源於復平面上解析映射的迭代。朱利亞（G.Julia）和法圖（P.Fatou）於1918-1919年間開創這一研究。他們發現，解析映射的迭代把復平面劃分成兩部分，一部分為法圖集，另一部分為朱利亞集（J集）。他們在處理這一問題時還沒有計算機，完全依賴於他們自身固有的想像力，因此他們的智力成就受到局限。隨後50年間，這方面的研究沒有得到什麼進展。隨著可用機算機來做實驗，這一研究課題才又獲得生機。1980年，曼德爾布羅特用計算機繪出用他名字命名的曼德爾布羅特集（M集）的第一張圖來。1982道迪（A.Douady）構造了含參二次復映射fc ，其朱利亞集J（fc）隨參數C的變化呈現各種各樣的分形圖象，著名的有道迪免子，聖馬科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集與映射系數的關系，解新局面了解析映射擊集豪斯道夫維數的計算問題。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫維數的數值解法。1983年，韋當（M.Widom）進一步推廣了部分結果 。法圖1926年就就開始整函數迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）證明指數映射的J集為復平面，解決了法圖提出的問題，引起研究者極大興趣。發現超越整函數的J集與有理映射J的性質差異，1984年德萬尼（R.L.Devanney）證明指數映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或復平面而J（fc）是康托塵或連通集。 復平面上使J（fc）成為連通集的點C組成M集即曼德爾布羅特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）認為，M集的性質過去一直是並且將來繼續是數學研究的一個巨大難題。通過將數學理論與計算機圖形學實驗加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在這方面進行的基礎性研究工作，在解決這一難題方面已取得重大進展，使人們加深了對M集的了解。道迪和扈巴德1982年證明M集是連通的和單連通的，人們猜測M集是局部連通的，目前每一張計算機圖形都證實了這一猜測，但至今還沒有人能給予證明。M是否為弧連通，目前尚不清楚。M集邊界的維數也是值得研究的問題之一。 M集除了將J集分成連通與非連通的兩類之外，還起著無窮個J集的圖解目錄表作用，即把M集C點周圍的圖形放大就是與C點有關的J集的組成部分。但這一發現的數學密性至今仍未確定，譚磊（Tan Lei）1985年證明了在每一個密休威茨點鄰近M集與相關的J集之間存在著相似性。尤金斯等在M集的靜電位研究中獲得與自然形貌相似的分形圖象。目前包括尤金斯等在內的很多研究人員都致力於藉助計算機活動錄象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得進展。1990年德萬尼通過數值實驗觀察到M集的復雜圖形由許多不同周期的周期軌道的穩定區域共同構成。1991年黃永念運用他提出的代數分析法證明了這一事實，研究了M集及其廣義情況周期軌道整體解析特性。 巴斯萊（B.M.Barnsley）和德門科（S.Demko）1985年引入迭代函數系統，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函數的吸引集，用其它方法產生的分形集也可用迭代函數系逼近。1988年，勞威爾通過數值研究發現畢達哥拉斯樹花是一迭代函數系的J集。1985年巴斯萊等研究含參數的函數系迭代動力系統，得到M集D並D與M在連通性上的差異。在一線性映射系迭代下，可以產生著名的分形曲線——雙生龍曲線。1986年水谷（M.Mitzutani）等對其動力系統進行了研究。 一般動力系統中的分形集，其豪斯道夫維數dH難以通過理論方法或計算方法求得。對於有迭式構造的分形集，貝德浮德（T.Bedford）等在1986年已給出卓有成效的演算法，但對一般非線性映射迭代動力系統產生的分形集，這些結果都難以應用，其豪斯道夫維數dH的結論與演算法實際上沒有。卡普蘭（j.L.Kaplan）和約克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫維數dL並猜測dL=dH。1981年勒拉皮爾證明dH≤dL。楊（L.S.Young）1982年證明二維情況下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年給出例子說明高維情形卡普蘭-約克猜測不成立。這一猜測力圖從動力學特徵推斷幾何結構，其反問題是由吸引子維數推斷混沌力學，這是值得研究的問題。但目前工作甚少且主要限於計算機研究。此外，含參動力系統在混沌臨界態或突變處的分形集維數也有待進一步研究。 多重分形（multifractals）是與動力系統奇異吸引子有關的另一類重要分形集，其概念首先由曼德布羅特和倫依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定義了多重分形廣義維數。1988年博爾（T.Bohr）等人將拓撲熵引入多重分形的動力學描述與熱力學類比。1988年，阿內多（A.Arneodo）等人將子波變換用於多重分形研究。費德（J.Feder）、特爾（T.Tel）等人進行了多重分形子集及標度指數的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆問題，提出廣義配分函數，給出廣義超越維數，對過去的維數進行了修正。李（J.Lee）等發現了多重分形熱力學形式上的相變。1990年，伯克（C.Beck）得到廣義維數的上下界和極限並研究了多重分形的均勻性量度。曼德布羅特研究了隨機多重分形及負分維。1991年科維克（Z.Kov.acs）等引入雙變數迭代系統，最大特徵值和吉布斯勢導出維數、熵、李雅普洛夫指數，提供了對多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形目前雖已提出不少處理方法，但從數學的觀點上看，還不夠嚴格，部分問題的數學處理難度也較大。四分形理論真正發展起來才十餘年，並且方興未艾，很多方面的理論還有待進一步研究。值得注意的是，近年分形理論的應用發展遠遠超過了理論的發展，並且給分形的數學理論提出了更新更高的要求。各種分形維數計算方法和實驗方法的建立、改進和完善，使之理論簡便，可操作性強，是喁喁分形的科學家們普遍關注的問題。而在理論研究上，維數的理論計算、估計、分形重構（即求一動力系統，使其吸引集為給定分形集）、J集和M集及其推廣形式的性質、動力學特徵及維數研究將會成為數學工作者們十分活躍的研究領域。多重分形理論的完善、嚴格以及如何用這些理論來解決實際問題可能會引起科學家們廣泛的興趣，而動力學特徵、相變和子波變換可能會成為其中的幾個熱點。 在哲學方面，人們的興趣在於自相似性的普適性，M集和J集表現出的簡單性與復雜性，復數與實數的統一性，多重分形相變與突變論的關系，自組織臨界（SOC）現象的刻畫以及分形體系內部的各種矛盾的轉化等。可以預言，一場關於分形科學哲學問題的討論即將在國內展開。