全波傅里葉演算法

❶ 傅里葉變換有什麼用

傅里葉變換是數字信號處理領域一種很重要的演算法。要知道傅里葉變換演算法的意義，首先要了解傅里葉原理的意義。

傅里葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅里葉變換演算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。

和傅里葉變換演算法對應的是反傅里葉變換演算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。

因此，可以說，傅里葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易於分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最後還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。

從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。

在數學領域，盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特徵。"任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類：

1、傅里葉變換是線性運算元,若賦予適當的范數,它還是酉運算元；

2、傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似；

3、正弦基函數是微分運算的本徵函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段；

4、離散形式的傅里葉的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取；

5、著名的卷積定理指出:傅里葉變換可以化復變換可以利用數字計算機快速的算出(其演算法稱為快速傅里葉變換演算法(FFT))。

正是由於上述的良好性質,傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

(1)全波傅里葉演算法擴展閱讀

傅里葉生於法國中部歐塞爾（Auxerre）一個裁縫家庭，9歲時淪為孤兒，被當地一主教收養。1780年起就讀於地方軍校，1795年任巴黎綜合工科大學助教，1798年隨拿破崙軍隊遠征埃及，受到拿破崙器重，回國後於1801年被任命為伊澤爾省格倫諾布爾地方長官。

傅里葉早在1807年就寫成關於熱傳導的基本論文《熱的傳播》，向巴黎科學院呈交，但經拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德審閱後被科學院拒絕，1811年又提交了經修改的論文，該文獲科學院大獎，卻未正式發表。

傅里葉在論文中推導出著名的熱傳導方程 ，並在求解該方程時發現解函數可以由三角函數構成的級數形式表示，從而提出任一函數都可以展成三角函數的無窮級數。傅里葉級數（即三角級數）、傅里葉分析等理論均由此創始。

傅里葉由於對傳熱理論的貢獻於1817年當選為巴黎科學院院士。

1822年，傅里葉終於出版了專著《熱的解析理論》（Theorieanalytique de la Chaleur ，Didot ，Paris，1822）。這部經典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應用的三角級數方法發展成內容豐富的一般理論，三角級數後來就以傅里葉的名字命名。

傅里葉應用三角級數求解熱傳導方程，為了處理無窮區域的熱傳導問題又導出了當前所稱的「傅里葉積分」，這一切都極大地推動了偏微分方程邊值問題的研究。

然而傅里葉的工作意義遠不止此，它迫使人們對函數概念作修正、推廣，特別是引起了對不連續函數的探討；三角級數收斂性問題更刺激了集合論的誕生。因此，《熱的解析理論》影響了整個19世紀分析嚴格化的進程。傅里葉1822年成為科學院終身秘書。

由於傅里葉極度痴迷熱學，他認為熱能包治百病，於是在一個夏天，他關上了家中的門窗，穿上厚厚的衣服，坐在火爐邊，結果因CO中毒不幸身亡，1830年5月16日卒於法國巴黎。

參考資料來源：網路-傅立葉變換

參考資料來源：網路-傅立葉

❷ 微機繼電保護傅立葉演算法中各整數次諧波分量對演算法的影響是什麼

全波傅里葉演算法可以濾除直流分量（不衰減的）和整數次諧波。半波傅里葉演算法不能濾除直流分量和偶數次諧波分量。換句話說，直流分量（0次）和偶次諧波對全波傅里葉演算法沒有影響，但對半波傅里葉演算法影響計算精度，奇數次諧波對兩者都沒有影響。
但半波傅里葉演算法的數據窗縮短到半個周波，加快了響應速度。
短路信號中一般含有衰減的直流分量，會出現頻譜混迭現象，這兩種演算法都會有很大誤差，需要改進演算法。

❸ 傅里葉分析的用途是什麼傅里葉變換是將時域變為頻域，頻域變為時域，為什麼要這樣，這樣的目的是什麼

傅里葉分析研究並擴展傅里葉級數和傅里葉變換的概念，並在諸多領域得到廣泛應用，如信號處理、量子力學、神經科學等。

時域分析與頻域分析是對信號的兩個觀察面。時域分析是以時間軸為坐標表示動態信號的關系；頻域分析是把信號變為以頻率軸為坐標表示出來。一般來說，時域的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡練，剖析問題更為深刻和方便。信號分析的趨勢是從時域向頻域發展。然而，它們是互相聯系，缺一不可，相輔相成的。

傅里葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易於分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最後還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。

從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。

在數學領域，盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特徵。"任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類。

(3)全波傅里葉演算法擴展閱讀

傅里葉變換屬於諧波分析。傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；正弦基函數是微分運算的本徵函數，從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變的物理系統內，頻率是個不變的性質，從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取；

卷積定理指出：傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；離散形式的傅立葉變換可以利用數字計算機快速地算出（其演算法稱為快速傅里葉變換演算法（FFT))。

❹ 傅立葉級數怎麼求

一．
傅里葉級數
的
三角函數
形式
設f(t)為一非正弦
周期函數
，其周期為T，頻率和
角頻率
分別為f
,
ω1。由於工程實際中的非正弦周期函數，一般都滿足
狄里赫利條件
，所以可將它展開成傅里葉級數。即
其中A0/2稱為
直流分量
或恆定分量；其餘所有的項是具有不同振幅，不同
初相角
而頻率成整數倍關系的一些
正弦量
。A1cos(ω1t+ψ1)項稱為一次諧波或
基波
，A1，ψ1分別為其振幅和初相角；A2cos(ω
2t
+ψ2)項的角頻率為基波角頻率ω1的2倍，稱為
二次諧波
，A2，ψ2分別為其振幅和初相角；其餘的項分別稱為
三次諧波
，四次諧波等。基波，三次諧波，五次諧波……統稱為
奇次諧波
；二次諧波，四次諧波……統稱為
偶次諧波
；除恆定分量和基波外，其餘各項統稱為
高次諧波
。式（10-2-1）說明一個非正弦周期函數可以表示一個直流分量與一系列不同頻率的正弦量的疊加。
上式有可改寫為如下形式，即
當A0，An,
ψn求得後，代入式
(10-2-1)，即求得了非正弦周期函數f(t)的傅里葉級數展開式。
把非正弦周期函數f(t)展開成傅里葉級數也稱為
諧波分析
。工程實際中所遇到的非正弦周期函數大約有十餘種，它們的傅里葉級數展開式前人都已作出，可從各種數學書籍中直接查用。
從式（10-2-3）中看出，將n換成(-n)後即可證明有
a-n=an
b-n=-bn
A-n=An
ψ-n=-ψn
即an和An是
離散變數
n的
偶函數
，bn和ψn是n的
奇函數
。
二．
傅里葉級數的復指數形式
將式（10-2-2）改寫為
可見
與
互為
共軛復數
。代入式（10-2-4）有
上式即為傅里葉級數的復指數形式。
下面對和上式的
物理意義
予以說明：
由式（10-2-5）得的模和
輻角
分別為
可見的模與幅角即分別為傅里葉級數第n次諧波的振幅An與初相角ψn，物理意義十分明確，故稱為第n次諧波的復數振幅。
的求法如下：將式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有
上式即為從已知的f(t)求的公式。這樣我們即得到了一對相互的變換式（10-2-8）與（10-2-7），通常用下列符號表示，即
即根據式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再將所求得的代入式（10-2-7），即將f(t)展開成了復指數形式的
傅立葉級數
。
在（10-2-7）中，由於離散變數n是從（-∞）取值，從而出現了負頻率（-nω1）。但實際工程中負頻率是無意義的，負頻率的出現只具有數學意義，負頻率（-nω1）一定是與正頻率nω1成對存在的，它們的和構成了一個頻率為nω1的正弦分量。即
引入傅立葉級數復指數形式的好處有二：（1）復數振幅同時描述了第n次諧波的振幅An和初相角ψn；（2）為研究信號的頻譜提供了途徑和方便。

❺ 傅里葉變換的意義和理解

傅里葉變換的意義和理解如下：

• 意義：

傅里葉變換是數學中最深刻的見解之一，但不幸的是，它的意義深埋在一些枯燥的方程中。

我們都知道傅里葉級數是一種可以把任意周期函數分解成一堆正弦波的方法。和往常一樣，這個名字來自一個生活在很久以前的人，他叫傅里葉。在數學術語中，傅里葉變換是一種將信號轉換成頻率的技術，即從時域到頻域的變換方法。傅里葉變換不僅廣泛應用於信號(無線電、聲學等)處理，而且在圖像分析中也有廣泛的應用。如邊緣檢測，圖像濾波，圖像重建，圖像壓縮。為了更好地理解它，考慮一個信號x(t):

如果我們對另一個信號做同樣的處理：在同一時刻測量它的振幅。考慮另一個信號y(t):

當我們同時觸發這兩種信號或者把它們加在一起時會發生什麼？

當我們在同一時刻發出這兩個信號時，我們會得到一個新的信號，它是這兩個信號的振幅之和。因為這兩個信號被疊加在一起了。對兩個信號求和：z(t) = x(t) + y(t)

如果我們只有一個信號(x(t)和y(t)的疊加信號）我們能分離出x(t)和y(t)嗎？

是的。這就是傅里葉變換的作用。它接收一個信號並將其分解成組成它的頻率。在我們的例子中，傅里葉變換可以將信號z(t)分解成它的組成頻率：信號x(t)和y(t)。

❻ 傅里葉變換的相關

傅里葉是一位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對熱傳遞很感興趣，於1807年在法國科學學會上發表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當拉普拉斯和其它審查者投票通過並要發表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在他此後生命的六年中，拉格朗日堅持認為傅里葉的方法無法表示帶有稜角的信號，如在方波中出現非連續變化斜率。法國科學學會屈服於拉格朗日的威望，拒絕了傅里葉的工作，幸運的是，傅里葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破崙遠征埃及，法國大革命後因會被推上斷頭台而一直在逃避。直到拉格朗日死後15年這個論文才被發表出來。
拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有稜角的信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基於此，傅里葉是對的。
用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波來表示的原因在於，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正餘弦來表示原信號會更加簡單，因為正餘弦擁有原信號所不具有的性質：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入後，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。
為什麼偏偏選擇三角函數而不用其他函數進行分解？我們從物理系統的特徵信號角度來解釋。我們知道：大自然中很多現象可以抽象成一個線性時不變系統來研究，無論你用微分方程還是傳遞函數或者狀態空間描述。線性時不變系統可以這樣理解：輸入輸出信號滿足線性關系，而且系統參數不隨時間變換。對於大自然界的很多系統，一個正弦曲線信號輸入後，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。也就是說正弦信號是系統的特徵向量！當然，指數信號也是系統的特徵向量，表示能量的衰減或積聚。自然界的衰減或者擴散現象大多是指數形式的，或者既有波動又有指數衰減（復指數 形式），因此具有特徵的基函數就由三角函數變成復指數函數。但是，如果輸入是方波、三角波或者其他什麼波形，那輸出就不一定是什麼樣子了。所以，除了指數信號和正弦信號以外的其他波形都不是線性系統的特徵信號。

用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波或者其他什麼函數來表示的原因在於：正弦信號恰好是很多線性時不變系統的特徵向量。於是就有了傅里葉變換。對於更一般的線性時不變系統，復指數信號(表示耗散或衰減)是系統的「特徵向量」。於是就有了拉普拉斯變換。z變換也是同樣的道理，這時是離散系統的「特徵向量」。這里沒有區分特徵函數和特徵向量的概念，主要想表達二者的思想是相同的，只不過一個是有限維向量，一個是無限維函數。
傅里葉級數和傅里葉變換其實就是我們之前討論的特徵值與特徵向量的問題。分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。這樣，用正餘弦來表示原信號會更加簡單，因為正餘弦擁有原信號所不具有的性質：正弦曲線保真度。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質。
這也解釋了為什麼我們一碰到信號就想方設法的把它表示成正弦量或者復指數量的形式；為什麼方波或者三角波如此「簡單」，我們非要展開的如此「麻煩」；為什麼對於一個沒有什麼規律的「非周期」信號，我們都絞盡腦汁的用正弦量展開。就因為正弦量(或復指數)是特徵向量。 什麼是時域？從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發生改變。這種以時間作為參照來觀察動態世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，並且永遠不會靜止下來。
什麼是頻域？頻域(frequency domain)是描述信號在頻率方面特性時用到的一種坐標系。用線性代數的語言就是裝著正弦函數的空間。頻域最重要的性質是：它不是真實的，而是一個數學構造。頻域是一個遵循特定規則的數學范疇。正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規則，即正弦波是對頻域的描述，因為時域中的任何波形都可用正弦波合成。
對於一個信號來說，信號強度隨時間的變化規律就是時域特性，信號是由哪些單一頻率的信號合成的就是頻域特性。
時域分析與頻域分析是對信號的兩個觀察面。時域分析是以時間軸為坐標表示動態信號的關系；頻域分析是把信號變為以頻率軸為坐標表示出來。一般來說，時域的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡練，剖析問題更為深刻和方便。目前，信號分析的趨勢是從時域向頻域發展。然而，它們是互相聯系，缺一不可，相輔相成的。貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳說中的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級數（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)。 根據原信號的不同類型，我們可以把傅里葉變換分為四種類別：
1非周期性連續信號傅里葉變換（Fourier Transform）
2周期性連續信號傅里葉級數(Fourier Series)
3非周期性離散信號離散時域傅里葉變換（Discrete Time Fourier Transform）
4周期性離散信號離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform)
下圖是四種原信號圖例：

這四種傅里葉變換都是針對正無窮大和負無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，我們知道這對於計算機處理來說是不可能的，那麼有沒有針對長度有限的傅里葉變換呢？沒有。因為正餘弦波被定義成從負無窮大到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個信號就可以被看成是非周期性離解信號，我們就可以用到離散時域傅里葉變換的方法。還有，也可以把信號用復制的方法進行延伸，這樣信號就變成了周期性離散信號，這時我們就可以用離散傅里葉變換方法進行變換。這里我們要學的是離散信號，對於連續信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數值信號，我們的最終目的是運用計算機來處理信號的。
但是對於非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對於計算機來說是不可能實現的。所以對於離散信號的變換只有離散傅里葉變換（DFT）才能被適用，對於計算機來說只有離散的和有限長度的數據才能被處理，對於其它的變換類型只有在數學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，後面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數學方法來解決問題，至於考慮周期性信號是從哪裡得到或怎樣得到是無意義的。
每種傅里葉變換都分成實數和復數兩種方法，對於實數方法是最好理解的，但是復數方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅里葉變換(real DFT)，再去理解復數傅里葉就更容易了，所以我們先把復數的傅里葉放到一邊去，先來理解實數傅里葉變換，在後面我們會先講講關於復數的基本理論，然後在理解了實數傅里葉變換的基礎上再來理解復數傅里葉變換。
如 上圖所示，實信號四種變換在時域和頻域的表現形式。
還有，這里我們所要說的變換(transform)雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的，函數變換是符合一一映射准則的，對於離散數字信號處理（DSP），有許多的變換：傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散餘弦變換等，這些都擴展了函數變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數據變成另一堆的數據的方法。 傅里葉變換是數字信號處理領域一種很重要的演算法。要知道傅里葉變換演算法的意義，首先要了解傅里葉原理的意義。傅里葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅里葉變換演算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。
和傅里葉變換演算法對應的是反傅里葉變換演算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。因此，可以說，傅里葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易於分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最後還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。
從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。
在數學領域，盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特徵。"任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類：1. 傅里葉變換是線性運算元,若賦予適當的范數,它還是酉運算元;2. 傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;3. 正弦基函數是微分運算的本徵函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;4. 離散形式的傅里葉的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取;5. 著名的卷積定理指出:傅里葉變換可以化復變換可以利用數字計算機快速的算出(其演算法稱為快速傅里葉變換演算法(FFT))。
正是由於上述的良好性質,傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。
圖像傅里葉變換
圖像的頻率是表徵圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；而對於地表屬性變換劇烈的邊緣區域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。傅里葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬信號，則其傅里葉變換就表示f的譜。從純粹的數學意義上看，傅里葉變換是將一個函數轉換為一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅里葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅里葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數變換為圖像的頻率分布函數，傅里葉逆變換是將圖像的頻率分布函數變換為灰度分布函數。
傅里葉變換以前，圖像（未壓縮的點陣圖）是由對在連續空間（現實空間）上的采樣得到一系列點的集合，我們習慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由z=f(x,y)來表示。由於空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關系就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應關系。為什麼要提梯度？因為實際上對圖像進行二維傅里葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點並不存在一一對應的關系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅里葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅里葉變換後的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數更多，那麼實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那麼實際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對頻譜移頻到原點以後，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規律的干擾信號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。
另外說明以下幾點：
1、圖像經過二維傅里葉變換後，其變換系數矩陣表明：
若變換矩陣Fn原點設在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數短陣的中心附近（圖中陰影區）。若所用的二維傅里葉變換矩陣Fn的原點設在左上角，那麼圖像信號能量將集中在系數矩陣的四個角上。這是由二維傅里葉變換本身性質決定的。同時也表明一股圖像能量集中低頻區域。
2 、變換之後的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之後中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）。 將其發展延伸，構造出了其他形式的積分變換:
從數學的角度理解積分變換就是通過積分運算，把一個函數變成另一個函數。也可以理解成是算內積，然後就變成一個函數向另一個函數的投影：

K（s，t）積分變換的核(Kernel)。當選取不同的積分域和變換核時，就得到不同名稱的積分變換。學術一點的說法是：向核空間投影，將原問題轉化到核空間。所謂核空間，就是這個空間裡面裝的是核函數。下表列出常見的變換及其核函數：
當然，選取什麼樣的核主要看你面對的問題有什麼特徵。不同問題的特徵不同，就會對應特定的核函數。把核函數作為基函數。將現在的坐標投影到核空間裡面去，問題就會得到簡化。之所以叫核，是因為這是最核心的地方。為什麼其他變換你都沒怎麼聽說過而只熟悉傅里葉變換和拉普拉斯變換呢？因為復指數信號才是描述這個世界的特徵函數！

❼ 高分求英文翻譯（滿意續加150）

Power transformer in the power system is an important one of the equipment and its direct relationship to the normal operation of the entire power grid reliability, and therefore asked the transformer relay to have a high reliability. Differential protection as has been the main power transformer protection, long-term operational experience has shown that differential protection to sensitive areas within the sub-transformer and outside fault, but in dropped and external transformer fault with the resumption after the voltage, may experience with the internal numerical Fault current comparable to the inrush current, resulting in differential protection malfunction. The current transformer differential protection remains the key issue is how to accurately identify inrush current and internal fault current.
Transformer inrush current is suddenly empty at the closing of a significant impact on current, the paper analyzed the reasons for it and characteristics, but also on the distinction between inrush current transformers and fault current in various ways.
Use of similarity principle inrush current differential is the use of the second harmonic Dual outside the harmonic components, respectively, with full-wave Fourier algorithms and a half-Fourier algorithm fundamental amplitude, and then to introce similar coefficient Evaluation of full-wave and two half-wave Fourier results of similarity, has better braking effect of the inrush current. Software results also show that the judgement and calculation process is relatively simple, fast detection, is a promising approach.