RSA加密演算法是一種典型的非對稱加密演算法，它基於大數的因式分解數學難題，它也是應用最廣泛的非對稱加密演算法，於1978年由美國麻省理工學院（MIT）的三位學著：Ron Rivest、Adi Shamir 和 Leonard Adleman 共同提出。
它的原理較為簡單，假設有消息發送方A和消息接收方B，通過下面的幾個步驟，就可以完成消息的加密傳遞：
消息發送方A在本地構建密鑰對，公鑰和私鑰；
消息發送方A將產生的公鑰發送給消息接收方B；
B向A發送數據時，通過公鑰進行加密，A接收到數據後通過私鑰進行解密，完成一次通信；
反之，A向B發送數據時，通過私鑰對數據進行加密，B接收到數據後通過公鑰進行解密。
由於公鑰是消息發送方A暴露給消息接收方B的，所以這種方式也存在一定的安全隱患，如果公鑰在數據傳輸過程中泄漏，則A通過私鑰加密的數據就可能被解密。
如果要建立更安全的加密消息傳遞模型，需要消息發送方和消息接收方各構建一套密鑰對，並分別將各自的公鑰暴露給對方，在進行消息傳遞時，A通過B的公鑰對數據加密，B接收到消息通過B的私鑰進行解密，反之，B通過A的公鑰進行加密，A接收到消息後通過A的私鑰進行解密。
當然，這種方式可能存在數據傳遞被模擬的隱患，但可以通過數字簽名等技術進行安全性的進一步提升。由於存在多次的非對稱加解密，這種方式帶來的效率問題也更加嚴重。
⑵ 什麼是RSA演算法，求簡單解釋。
RSA公鑰加密演算法是1977年由Ron Rivest、Adi Shamirh和LenAdleman在（美國麻省理工學院）開發的。RSA取名來自開發他們三者的名字。RSA是目前最有影響力的公鑰加密演算法，它能夠
抵抗到目前為止已知的所有密碼攻擊，已被ISO推薦為公鑰數據加密標准。RSA演算法基於一個十分簡單的數論事實：將兩個大素數相乘十分容易，但那時想要對其乘積進行因式分解卻極其困難，因此可以將乘積公開作為加密密鑰。由於進行的都是大數計算，使得RSA最快的情況也比DES慢上好幾倍，無論是軟體還是硬體實現。速度一直是RSA的缺陷。一般來說只用於少量數據加密。RSA的速度比對應同樣安全級別的對稱密碼演算法要慢1000倍左右。
基礎
大數分解和素性檢測——將兩個大素數相乘在計算上很容易實現，但將該乘積分解為兩個大素數因子的計算量是相當巨大的，以至於在實際計算中是不能實現的。
1.RSA密碼體制的建立：
(1)選擇兩個不同的大素數p和q；
(2)計算乘積n=pq和Φ(n)=(p-1)(q-1)；
(3)選擇大於1小於Φ(n)的隨機整數e，使得gcd(e,Φ(n))=1；
(4)計算d使得de=1mod Φ(n)；
(5)對每一個密鑰k=(n,p,q,d,e)，定義加密變換為Ek(x)=xemodn，解密變換為Dk(x)=ydmodn，這里x,y∈Zn；
(6)以{e,n}為公開密鑰，{p,q,d}為私有密鑰。
2.RSA演算法實例:
下面用兩個小素數7和17來建立一個簡單的RSA演算法：
(1)選擇兩個素數p=7和q=17；
(2)計算n=pq=7 17=119，計算Φ(n)=(p-1)(q-1)=6 16=96；
(3)選擇一個隨機整數e=5，它小於Φ(n)＝96並且於96互素；
(4)求出d，使得de=1mod96且d<96，此處求出d=77，因為 77 5＝385＝4 96＋1；
(5)輸入明文M＝19，計算19模119的5次冪，Me＝195＝66mod119,傳出密文C＝66；(6)接收密文66，計算66模119的77次冪；Cd=6677≡19mod119得到明文19。
⑶ RSA 加密演算法（原理篇）
前幾天看到一句話，「我們中的很多人把一生中最燦爛的笑容大部分都獻給了手機和電腦屏幕」。心中一驚，這說明了什麼？手機和電腦已經成為了我們生活中的一部分，所以才會有最懂你的不是你，也不是你男朋友，而是大數據。
如此重要的個人數據，怎樣才能保證其在互聯網上的安全傳輸呢？當然要靠各種加密演算法。說起加密演算法，大家都知道有哈希、對稱加密和非對稱加密了。哈希是一個散列函數，具有不可逆操作；對稱加密即加密和解密使用同一個密鑰，而非對稱加密加密和解密自然就是兩個密鑰了。稍微深入一些的，還要說出非對稱加密演算法有DES、3DES、RC4等，非對稱加密演算法自然就是RSA了。那麼當我們聊起RSA時，我們又在聊些什麼呢？今天筆者和大家一起探討一下，有不足的地方，還望各位朋友多多提意見，共同進步。
RSA簡介：1976年由麻省理工學院三位數學家共同提出的，為了紀念這一里程碑式的成就，就用他們三個人的名字首字母作為演算法的命名。即 羅納德·李維斯特 （Ron Rivest）、 阿迪·薩莫爾 （Adi Shamir）和 倫納德·阿德曼 （Leonard Adleman）。
公鑰：用於加密，驗簽。
私鑰：解密，加簽。
通常知道了公鑰和私鑰的用途以後，即可滿足基本的聊天需求了。但是我們今天的主要任務是來探究一下RSA加解密的原理。
說起加密演算法的原理部分，肯定與數學知識脫不了關系。
我們先來回憶幾個數學知識：
φn = φ(A*B)=φ(A)*φ(B)=(A-1)*(B-1)。
這個公式主要是用來計算給定一個任意的正整數n，在小於等於n的正整數中，有多少個與n構成互質的關系。
其中n=A*B，A與B互為質數，但A與B本身並不要求為質數，可以繼續展開，直至都為質數。
在最終分解完成後，即 φ(N) = φ(p1)*φ(p2)*φ(p3)... 之後，p1，p2，p3都是質數。又用到了歐拉函數的另一個特點，即當p是質數的時候，φp = p - 1。所以有了上面給出的歐拉定理公式。
舉例看一下：
計算15的歐拉函數，因為15比較小，我們可以直接看一下，小於15的正整數有 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14。和15互質的數有1、2、4、7、8、11、13、14一共四個。
對照我們剛才的歐拉定理： 。
其他感興趣的，大家可以自己驗證。
之所以要在這里介紹歐拉函數，我們在計算公鑰和私鑰時候，會用到。
如果兩個正整數m 和 n 互質，那麼m 的 φn 次方減1，可以被n整除。
其中 .
其中當n為質數時，那麼 上面看到的公式就變成了
mod n 1.
這個公式也就是著名的 費馬小定理 了。
如果兩個正整數e和x互為質數，那麼一定存在一個整數d，不止一個，使得 e*d - 1 可以被x整除，即 e * d mode x 1。則稱 d 是 e 相對於 x的模反元素。
了解了上面所講的歐拉函數、歐拉定理和模反元素後，就要來一些化學反應了，請看圖：
上面這幅圖的公式變化有沒有沒看明白的，沒看明白的咱們評論區見哈。
最終我們得到了最重要的第5個公式的變形，即紅色箭頭後面的：
mod n m。
其中有幾個關系，需要搞明白，m 與 n 互為質數，φn = x，d 是e相對於x的模反元素。
有沒有看到一些加解密的雛形。
從 m 到 m。 這中間涵蓋了從加密到解密的整個過程，但是缺少了我們想要的密文整個過程。
OK，下面引入本文的第四個數學公式：
我們來看一下整個交換流程：
1、客戶端有一個數字13，服務端有一個數字15;
2、客戶端通過計算 3的13次方 對 17 取余，得到數字12; 將12發送給服務端；同時服務端通過計算3的15次方，對17取余，得到數字6，將6發送給客戶端。至此，整個交換過程完成。
3、服務端收到數字12以後，繼續計算，12的15次方 對 17取余，得到 數字10。
4、客戶端收到數字 6以後，繼續計算，6的13次方 對 17 取余，得到數字 10。
有沒有發現雙方，最終得到了相同的內容10。但是這個數字10從來沒有在網路過程中出現過。
好，講到這里，可能有些人已經恍然大悟，這就是加密過程了，但是也有人會產生疑問，為什麼要取數字3 和 17 呢，這里還牽涉到另一個數學知識，原根的問題。即3是17的原根。看圖
有沒有發現規律，3的1~16次方，對17取余，得到的整數是從1~16。這時我們稱3為17的原根。也就是說上面的計算過程中有一組原根的關系。這是最早的迪菲赫爾曼秘鑰交換演算法。
解決了為什麼取3和17的問題後，下面繼續來看最終的RSA是如何產生的：
還記得我們上面提到的歐拉定理嗎，其中 m 與 n 互為質數，n為質數，d 是 e 相對於 φn的模反元素。
當迪菲赫爾曼密鑰交換演算法碰上歐拉定理會產生什麼呢？
我們得到下面的推論：
好，到這里我們是不是已經看到了整個的加密和解密過程了。
其中 m 是明文；c 是密文； n 和 e 為公鑰；d 和 n 為私鑰 。
其中幾組數字的關系一定要明確：
1、d是e 相對於 φn 的模反元素，φn = n-1，即 e * d mod n = 1.
2、m 小於 n，上面在講迪菲赫爾曼密鑰交換演算法時，提到原根的問題，在RSA加密演算法中，對m和n並沒有原根條件的約束。只要滿足m與n互為質數，n為質數，且m < n就可以了。
OK，上面就是RSA加密演算法的原理了，經過上面幾個數學公式的狂轟亂炸，是不是有點迷亂了，給大家一些時間理一下，後面會和大家一起來驗證RSA演算法以及RSA為什麼安全。
⑷ 誰能通俗地講下RSA演算法
這種演算法1978年就出現了，它是第一個既能用於數據加密也能用於數字簽名的演算法。它易於理解和操作，也很流行。演算法的名字以發明者的名字命名：Ron Rivest, AdiShamir 和Leonard Adleman。
RSA演算法是一種非對稱密碼演算法，所謂非對稱，就是指該演算法需要一對密鑰，使用其中一個加密，則需要用另一個才能解密。
RSA的演算法涉及三個參數，n、e1、e2。
其中，n是兩個大質數p、q的積，n的二進製表示時所佔用的位數，就是所謂的密鑰長度。
e1和e2是一對相關的值，e1可以任意取，但要求e1與(p-1)*(q-1)互質；再選擇e2，要求(e2*e1)mod((p-1)*(q-1))=1。
(n及e1),(n及e2)就是密鑰對。
RSA加解密的演算法完全相同,設A為明文，B為密文，則：A=B^e1 mod n；B=A^e2 mod n；
e1和e2可以互換使用，即：
A=B^e2 mod n；B=A^e1 mod n；
⑸ RSA演算法詳解
總括： 本文詳細講述了RSA演算法詳解，包括內部使用數學原理以及產生的過程。
相濡以沫。到底需要愛淡如水。
之前寫過一篇文章 SSL協議之數據加密過程 ，裡面詳細講述了數據加密的過程以及需要的演算法。SSL協議很巧妙的利用對稱加密和非對稱加密兩種演算法來對數據進行加密。這篇文章主要是針對一種最常見的非對稱加密演算法——RSA演算法進行講解。其實也就是對私鑰和公鑰產生的一種方式進行描述。首先先來了解下這個演算法的歷史：
RSA是1977年由 羅納德·李維斯特 （Ron Rivest）、 阿迪·薩莫爾 （Adi Shamir）和 倫納德·阿德曼 （Leonard Adleman）一起提出的。當時他們三人都在 麻省理工學院 工作。RSA就是他們三人姓氏開頭字母拼在一起組成的。
但實際上，在1973年，在英國政府通訊總部工作的數學家 克利福德·柯克斯 （Clifford Cocks）在一個內部文件中提出了一個相同的演算法，但他的發現被列入機密，一直到1997年才被發表。
所以誰是RSA演算法的發明人呢？不好說，就好像貝爾並不是第一個發明電話的人但大家都記住的是貝爾一樣，這個地方我們作為旁觀者倒不用較真，重要的是這個演算法的內容：
RSA演算法用到的數學知識特別多，所以在中間介紹這個演算法生成私鑰和公鑰的過程中會穿插一些數學知識。生成步驟如下：
隨意選擇兩個大的質數p和q，p不等於q，計算N=p*q;
什麼是質數?我想可能會有一部分人已經忘記了，定義如下：
比如2，3，5，7這些都是質數，9就不是了，因為3*3=9了
r = φ(N) = φ(p)φ(q) = (p-1)(q-1) 。
這里的數學概念就是什麼是歐拉函數了，什麼是歐拉函數呢？
歐拉函數 的定義：
互質 的定義：
例如： φ(8) = 4 ，因為 1,3,5,7 均和 8 互質。
推導歐拉函數:
（1）如果 n = 1 , φ(1) = 1 ；(小於等於1的正整數中唯一和1互質的數就是1本身)；
（2）如果 n 為質數， φ(n) = n - 1 ；因為質數和每一個比它小的數字都互質。比如5，比它小的正整數1,2,3,4都和他互質；
(3) 如果 n 是 a 的 k 次冪，則 φ(n) = φ(a^k) = a^k - a^(k-1) = (a-1)a^(k-1) ；
(4) 若 m , n 互質，則 φ(mn) = φ(m)φ(n)
證明： 設 A , B , C 是跟 m , n , mn 互質的數的集，據 中國剩餘定理 (經常看數學典故的童鞋應該了解，剩餘定理又叫韓信點兵，也叫孫子定理)， A * B 和 C 可建立雙射一一對應)的關系。（或者也可以從初等代數角度給出 歐拉函數積性的簡單證明 ） 因此的φ(n)值使用 算術基本定理 便知。（來自維基網路）
選擇一個小於r並與r互質的整數e，求得e關於r的模反元素，命名為 d （ ed = 1(mod r) 模反元素存在，當且僅當e與r互質）， e 我們通常取65537。
模反元素：
比如 3 和 5 互質， 3 關於 5 的模反元素就可能是2，因為 3*2-1=5 可以被5整除。所以很明顯模反元素不止一個，2加減5的整數倍都是3關於5的模反元素 {...-3, 2,7,12…} 放在公式里就是 3*2 = 1 (mod 5)
上面所提到的歐拉函數用處實際上在於歐拉定理：
歐拉定理：
歐拉定理就可以用來證明模反元素必然存在。
由模反元素的定義和歐拉定理我們知道， a 的 φ(n) 次方減去1，可以被n整除。比如，3和5互質，而 5 的歐拉函數 φ(5) 等於4，所以 3 的 4 次方 (81) 減去1，可以被 5 整除（ 80/5=16 ）。
小費馬定理：
此時我們的 (N , e) 是公鑰， (N, d) 為私鑰，愛麗絲會把公鑰 (N, e) 傳給鮑勃，然後將 (N, d) 自己藏起來。一對公鑰和私鑰就產生了，然後具體的使用方法呢？請看： SSL協議之數據加密過程詳解
我們知道像RSA這種非對稱加密演算法很安全，那麼到底為啥子安全呢？
我們來看看上面這幾個過程產生的幾個數字：
N 和 e 我們都會公開使用，最為重要的就是私鑰中的 d ， d 一旦泄露，加密也就失去了意義。那麼得到d的過程是如何的呢？如下:
所以得出了在上篇博客說到的結論，非對稱加密的原理：
將a和b相乘得出乘積c很容易，但要是想要通過乘積c推導出a和b極難。即對一個大數進行因式分解極難
目前公開破譯的位數是768位，實際使用一般是1024位或是2048位，所以理論上特別的安全。
RSA演算法的核心就是歐拉定理，根據它我們才能得到私鑰，從而保證整個通信的安全。
⑹ RSA演算法介紹
RSA演算法是第一個能同時用於加密和數字簽名的演算法，也易於理解和操作。 RSA是被研究得最廣泛的公鑰演算法，從提出到現在已近二十年，經歷了各種攻擊的考驗，逐漸為人們接受，普遍認為是目前最優秀的公鑰方案之一。RSA的安全性依賴於大數的因子分解，但並沒有從理論上證明破譯RSA的難度與大數分解難度等價。即RSA的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密性能如何，而且密碼學界多數人士傾向於因子分解不是NPC問題。 RSA的缺點主要有：A)產生密鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，因而難以做到一次一密。B)分組長度太大，為保證安全性，n 至少也要 600 bits以上，使運算代價很高，尤其是速度較慢，較對稱密碼演算法慢幾個數量級；且隨著大數分解技術的發展，這個長度還在增加，不利於數據格式的標准化。目前，SET(Secure Electronic Transaction)協議中要求CA採用2048比特長的密鑰，其他實體使用1024比特的密鑰。 這種演算法1978年就出現了，它是第一個既能用於數據加密也能用於數字簽名的演算法。它易於理解和操作，也很流行。演算法的名字以發明者的名字命名：Ron Rivest, AdiShamir 和Leonard Adleman。 RSA演算法是一種非對稱密碼演算法，所謂非對稱，就是指該演算法需要一對密鑰，使用其中一個加密，則需要用另一個才能解密。 RSA的演算法涉及三個參數，n、e1、e2。 其中，n是兩個大質數p、q的積，n的二進製表示時所佔用的位數，就是所謂的密鑰長度。 e1和e2是一對相關的值，e1可以任意取，但要求e1與(p-1)*(q-1)互質；再選擇e2，要求(e2*e1)mod((p-1)*(q-1))=1。 (n及e1),(n及e2)就是密鑰對。 RSA加解密的演算法完全相同,設A為明文，B為密文，則：A=B^e1 mod n；B=A^e2 mod n； e1和e2可以互換使用，即： A=B^e2 mod n；B=A^e1 mod n;
[編輯本段]一、RSA 的安全性
RSA的安全性依賴於大數分解，但是否等同於大數分解一直未能得到理論上的證明，因為沒有證明破解 RSA就一定需要作大數分解。假設存在一種無須分解大數的演算法，那它肯定可以修改成為大數分解演算法。目前， RSA 的一些變種演算法已被證明等價於大數分解。不管怎樣，分解n是最顯然的攻擊方法。現在，人們已能分解多個十進制位的大素數。因此，模數n 必須選大一些，因具體適用情況而定。
[編輯本段]二、RSA的速度
由於進行的都是大數計算，使得RSA最快的情況也比DES慢上好幾倍，無論是軟體還是硬體實現。速度一直是RSA的缺陷。一般來說只用於少量數據加密。
[編輯本段]三、RSA的選擇密文攻擊
RSA在選擇密文攻擊面前很脆弱。一般攻擊者是將某一信息作一下偽裝( Blind)，讓擁有私鑰的實體簽署。然後，經過計算就可得到它所想要的信息。實際上，攻擊利用的都是同一個弱點，即存在這樣一個事實：乘冪保留了輸入的乘法結構： ( XM )^d = X^d *M^d mod n 前面已經提到，這個固有的問題來自於公鑰密碼系統的最有用的特徵--每個人都能使用公鑰。但從演算法上無法解決這一問題，主要措施有兩條：一條是採用好的公鑰協議，保證工作過程中實體不對其他實體任意產生的信息解密，不對自己一無所知的信息簽名；另一條是決不對陌生人送來的隨機文檔簽名，簽名時首先使用One-Way HashFunction 對文檔作HASH處理，或
[編輯本段]四、RSA的公共模數攻擊
若系統中共有一個模數，只是不同的人擁有不同的e和d，系統將是危險的。最普遍的情況是同一信息用不同的公鑰加密，這些公鑰共模而且互質，那末該信息無需私鑰就可得到恢復。設P為信息明文，兩個加密密鑰為e1和e2，公共模數是n，則： C1 = P^e1 mod n C2 = P^e2 mod n 密碼分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。 因為e1和e2互質，故用Euclidean演算法能找到r和s，滿足： r * e1 + s * e2 = 1 假設r為負數，需再用Euclidean演算法計算C1^(-1)，則 ( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n 另外，還有其它幾種利用公共模數攻擊的方法。總之，如果知道給定模數的一對e和d，一是有利於攻擊者分解模數，一是有利於攻擊者計算出其它成對的e』和d』，而無需分解模數。解決辦法只有一個，那就是不要共享模數n。 RSA的小指數攻擊。 有一種提高 RSA速度的建議是使公鑰e取較小的值，這樣會使加密變得易於實現，速度有 所提高。但這樣作是不安全的，對付辦法就是e和d都取較大的值。
可以直接hi我
給你一些例子