傅氏演算法和積分演算法

A. 傅里葉變換有什麼用

傅里葉變換是數字信號處理領域一種很重要的演算法。要知道傅里葉變換演算法的意義，首先要了解傅里葉原理的意義。

傅里葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅里葉變換演算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。

和傅里葉變換演算法對應的是反傅里葉變換演算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。

因此，可以說，傅里葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易於分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最後還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。

從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。

在數學領域，盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特徵。"任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類：

1、傅里葉變換是線性運算元,若賦予適當的范數,它還是酉運算元；

2、傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似；

3、正弦基函數是微分運算的本徵函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段；

4、離散形式的傅里葉的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取；

5、著名的卷積定理指出:傅里葉變換可以化復變換可以利用數字計算機快速的算出(其演算法稱為快速傅里葉變換演算法(FFT))。

正是由於上述的良好性質,傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

(1)傅氏演算法和積分演算法擴展閱讀

傅里葉生於法國中部歐塞爾（Auxerre）一個裁縫家庭，9歲時淪為孤兒，被當地一主教收養。1780年起就讀於地方軍校，1795年任巴黎綜合工科大學助教，1798年隨拿破崙軍隊遠征埃及，受到拿破崙器重，回國後於1801年被任命為伊澤爾省格倫諾布爾地方長官。

傅里葉早在1807年就寫成關於熱傳導的基本論文《熱的傳播》，向巴黎科學院呈交，但經拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德審閱後被科學院拒絕，1811年又提交了經修改的論文，該文獲科學院大獎，卻未正式發表。

傅里葉在論文中推導出著名的熱傳導方程 ，並在求解該方程時發現解函數可以由三角函數構成的級數形式表示，從而提出任一函數都可以展成三角函數的無窮級數。傅里葉級數（即三角級數）、傅里葉分析等理論均由此創始。

傅里葉由於對傳熱理論的貢獻於1817年當選為巴黎科學院院士。

1822年，傅里葉終於出版了專著《熱的解析理論》（Theorieanalytique de la Chaleur ，Didot ，Paris，1822）。這部經典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應用的三角級數方法發展成內容豐富的一般理論，三角級數後來就以傅里葉的名字命名。

傅里葉應用三角級數求解熱傳導方程，為了處理無窮區域的熱傳導問題又導出了當前所稱的「傅里葉積分」，這一切都極大地推動了偏微分方程邊值問題的研究。

然而傅里葉的工作意義遠不止此，它迫使人們對函數概念作修正、推廣，特別是引起了對不連續函數的探討；三角級數收斂性問題更刺激了集合論的誕生。因此，《熱的解析理論》影響了整個19世紀分析嚴格化的進程。傅里葉1822年成為科學院終身秘書。

由於傅里葉極度痴迷熱學，他認為熱能包治百病，於是在一個夏天，他關上了家中的門窗，穿上厚厚的衣服，坐在火爐邊，結果因CO中毒不幸身亡，1830年5月16日卒於法國巴黎。

參考資料來源：網路-傅立葉變換

參考資料來源：網路-傅立葉

B. 傅氏級數的傅立葉級數

傅立葉系數包括系數 ，積分號和它的積分域，以及裡面的兩個周期函數的乘積——其中一個是關於f的，另一個是關於x的函數f(x),另一個則是和級數項n有關的三角函數值。這個三角函數可以是正弦，也可以是餘弦，因此傅立葉系數包括正弦系數和餘弦系數。其中當n=0時，餘弦值為1，此時存在一個特殊的系數 ，它只與x有關。正弦系數再成一個正弦，餘弦再乘一個餘弦，相加並且隨n求和，再加上一半的 ，就稱為了這個特別的函數f(x)的傅立葉級數。為什麼它特別呢，我想因為這里只有它只限於一個周期函數而已，而級數的周期就是f(x)的周期，2 。
如果函數f(x)存在一個周期，但是不是2 了，而是關於y軸對稱的任意一個范圍，它還能寫成傅立葉級數么？也可以的。只要把傅立葉系數里的 換成l，並且把積分號里的三角函數中的n 下除一個l，同時把系數以外的那個n 底下也除一個l。其他的都不動。也可以認為，2 周期的傅立葉級數其實三角函數中x前面的系數應該是 ，其他的 （積分域和系數）應該是x，只不過這時所有的l都是 罷了。
前面提及了，周期或是積分域，是關於y軸的一個任意范圍。其實周期函數不用強調這個，但是為什麼還要說呢？因為要特別強調一下定義域是滿的。有些函數的定義域不是滿的，是0到l，當然這樣它有可能不是周期的。這些函數能寫成傅立葉級數么？同樣可以。而且，它的寫法不再是正弦和餘弦函數的累積，而是單獨的一個正弦函數或是餘弦函數。具體怎麼寫，就取決於怎麼做。因為域是一半的，所以自然而然想到把那一半補齊，f就成了周期函數。補齊既可以補成奇函數也可以補成偶函數。補成積函數，寫成的級數只有正弦項，即 為0。補成偶函數，寫成的級數就只含有餘弦項和第一項，即 為0。而，傅立葉系數相比非積非偶的函數要大一倍。
其實，如果不經延拓，上面那些對於奇偶函數同樣使用。
在做題時，常常看到級數後面跟著一個系數還有一個正弦函數，然後後面給出了這個系數很復雜的一串式子，這時候就容易突然短路了。但是如果再定睛一看，會發現其實那個系數不過是一個有積分的傅立葉系數而已。那麼一大串，應該看什麼呢？應當先看積分域，一下就可以定出周期了。第二步要明確級數和函數的關系即等價關系。函數不但包含在級數中，而且函數本身也是和級數等價的。但一般那個級數里的函數是一個擺設，不起什麼作用。 傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。
傅里葉變換屬於諧波分析。
傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似。
正弦基函數是微分運算的本徵函數，從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解。在線性時不變的物理系統內，頻率是個不變的性質，從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取。
卷積定理指出：傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段。
離散形式的傅里葉變換可以利用數字計算機快速的實現（其演算法稱為快速傅里葉變換演算法（FFT））。