三對角矩陣的快速演算法

A. 追趕法解三對角矩陣的問題

追趕法本質上就是不選主元的Gauss消去法, 只要所有順序主子式都非零就可以用
對角占優性可以保證順序主子式都非零, 同時保證數值穩定性
如果沒有對角占優性有可能會出現演算法中斷或者即使不中斷但精度也比較低的情況

B. 線性代數 三對角行列式的計計算方法

線性代數三對角行列式的計算方法如下：

用行列式的歸納法。

得到An=aA(n-1)+bA(n-2)

然後通過數列的方法接出An即可。

註：上述的Ai指的是行列式中含有的第i階子行列式。

舉例如下：求下列行列式的值。

按第一行展開
Dn = aD(n-1) - bcD(n-2).
遞歸關系的特徵方程為 x^2-ax+bc=0.
記 u=a^2-4bc.

當u=0時, x^2-ax+bc=0 的根為 α=a/2.
Dn = c1α^n + c2nα^n.
代入 D1 = a, D2 = a^2-bc 得 C1=C2=1
所以 Dn = (n+1)(a/2)^n.

當u≠0時, x^2-ax+bc=0 的根為 α=(a+√u)/2, β=(a-√u)/2.
所以 Dn = c1α^n + c2β^n.
代入 D1 = a, D2 = a^2-bc 解得c1,c2
即有 Dn=(a+√u)^(n+1)-(a-√u)^(n+1)

C. 什麼三對角線矩陣，三對角線線性方程組

三對角線矩陣就是對角線，鄰近對角線的上下次對角線上有元素，其他位置均為0的矩陣，是一種特殊的上Hessenberg矩陣（這個就是上三角矩陣加上下三角部分的第一條次對角線有元素，其他都為0元素）。三對角線性方程組么就顯然是由三對角線矩陣誘導出的方程組，比如A是三對角矩陣，那麼Ax=b這個關於x的方程組就是三對角線線性方程組。這類矩陣在數值演算法中經常用到，尤其是對於對稱的一些矩陣計算問題。

D. lanczos演算法將矩陣化為三對角矩陣後，用什麼方法求特徵值、特徵向量呢

實對稱三對角矩陣可以用對稱QR演算法/分治演算法/二分法/MRRR等多種方法對角化
如果沒有什麼特殊需求的話Lanczos過程之後用QR演算法就行了

E. 計算三對角矩陣時，為什麼捨去了 b^2-4ac=0的情況

沒必要討論，因為若同時滿足(x-b)^2-4ac=0和(n+1)[(x-b)/2]^n=0，則ac=0，此時An為上三角或下三角矩陣或對角矩陣，不再是三對角矩陣。
其實就算把它仍當做三對角矩陣來討論，結論也還是不變

F. 三對角矩陣數組下標推導

有三對角矩陣 A[n,n],將其三條對角線上的元素逐行地存儲到向量B[0..3n-3]中,使得B[k]=aij,寫一演算法求三對角矩陣在這種壓縮存儲表示下的轉置矩陣.
i=(k+1)/3;
j=k-2((k+1)/3)
語句段如下：
for (k=0; k

G. 求一種快速求解矩陣論中求解行列式因子，不變因子，初等因子，約當型...

對計算機而言這種計算相當的復雜。。。大概是先轉化成三對角矩陣，然後再進行各種迭代計算。對於人工計算，還是老老實實算出各個特徵子空間，然後好好分解吧。

H. 老師好。請問追趕法求三對角矩陣，為什麼要求是對角占優的

追趕法就是三對角矩陣不選主元的Gauss消去法
對角占優的條件保障了演算法不會中斷（除數為0的情況），同時也保證演算法是數值穩定的

I. 求一篇用變型方法求三對角矩陣逆矩陣的演算法過程，急！！救命的

由A^-1BA=6A+BA得
A^-1BA*A^-1=6A*A^-1+BA*A^-1
A^-1B=6E+E*B
A^-1B-E*B=6E
(A^-1-E)*B=6E
所以B=6E*(A^-1-E)^-1

具體，帶入數據運算結果如下:
A^-1直接等於一個對角矩陣，對角線上的3個數為1/2，1/3，1/4
E是3階的單位矩陣，對角線上的數字全為1，其他都是0.
A^-1-E得到一個新的對角矩陣，對角線上的3個數為-1/2，-2/3，-3/4
(A^-1-E)^-1再得到一個新的對角矩陣，對角線上的3個數為-2，-3/2，-4/3
6E就是對角線上的數字全為6，其他都是0的對角矩陣
最後6E*(A^-1-E)^-1得到一個對角矩陣，對角線上的3個數為6*(-2)=-12,6*(-3/2)=-9,6*(-4/3)=-8
所以B就是一個對角矩陣，對角線上的3個數為-12，-9，-8

J. 求一個三對角矩陣的特徵值，演算法不限，要求須有MATLAB的求解程序。急需！！！

MATLAB的求解程序如下：

>> A=[1,2,3,4,5]; %對角線元素
B=[6,7,8,9]; %對角線上方的元素，個數比A少一個
C=[10,11,12,13]; %對角線下方的元素，個數比A少一個
diag(A)+diag(B,1)+diag(C,-1)

ans =

1 6 0 0 0
10 2 7 0 0
0 11 3 8 0
0 0 12 4 9
0 0 0 13 5