矢量運演算法教學

1. 矢量與矢量運算

為了表達思維，人類創造發明了語言、文字、圖形圖像、音樂等。

人們用語言表達概念，用不同的詞語描述不同的景物，使豐富多彩的自然規律能夠被彼此相互清晰而方便地理解和思考。為了使復雜系統中各種參照系內物體隨時間變化產生的空間位置關系的改變，能夠准確而簡潔地被表述，一些新詞和法則不斷地被人們創造出來。矢量和矢量運算即是這種性質的產物之一。

1.矢量

當人們發現自然界中大量存在一種大小和方向同時隨時間或位置變化的量時，矢量一詞誕生了。矢量所描述的是既有方向又有大小的量。矢量又稱向量。

盡管矢量是既有大小和方向的量，但並不是自然界中所有的既有大小和方向的量都是矢量。

有大小而無方向的量，人們稱為標量，矢量的數值就是標量。

雖然一個矢量可以指的是由某一特定點所確定的量，但矢量卻是無需限定位置的。即使兩個矢量所量度的是在不同時間和不同空間位置的物理量，它們仍然是可以比較的。

位移是矢量，速度是矢量，角速度是矢量，作用力也是矢量。

判斷一個量是否是矢量的兩個條件：它必須滿足矢量相加的平行四邊形法則；它必須具有與坐標系的選擇無關的一個數值和一個方向。

2.矢量運算

矢量運算分矢量加法和矢量乘積、矢量微商。這里只將本書中將要用到的部分作簡單介紹。

2.1矢量加法

矢量的加法符合平行四邊形法則。即將一矢量a平移到尾端與另一矢量a的首端重合。然後從a矢量的尾端到b矢量的首端畫一矢量，所得矢量即為矢量a與b的和a+b。

矢量加法遵從交換律，即：a+b=b+a。

矢量加法遵從結合律，即：a+（b+c）＝（a+b）＋c。

標量乘矢量遵從分配律，即：k（a+b）=ka+kb。

2.2矢量乘積

物理學中矢量的乘法分為兩種，一種叫「點乘」，其乘積是標量，故又稱「標積」；一種叫「叉乘」，其乘積在很多場合下是矢量，故又稱「矢積」。

a和b的標積被稱為一個數，是a的數值乘以b的數值，再乘以兩者夾角的餘弦。用符號表示為：

a·b=abcos（a,b）

在標積的定義中不涉及坐標系。

標積滿足交換律，即：a·b=b·a。

一個數被一個矢量除是一種毫無意義的、不確定的運算，所以，標積乘法沒有逆運算。即：如果a·x=b，則x沒有惟一的解。

矢量的標積在很多方面得到應用，如：餘弦定律、平面的方程、電磁波中的電矢量和磁矢量、功率、單位時間內掃過的體積等。本書中應用了矢量標積的餘弦定律。

兩個矢量的叉乘在物理學中也有廣泛的應用，矢積a×b在某種限定意義下是矢量，這個矢量的方向垂直於a和b的平面，而數值為ab|sin（a,b）。

判斷矢積方向的方法被約定為右手螺旋法則，即：以展開的右手四指的指尖指向作為前一矢量的方向，順著兩矢量的最小夾角方向，將四指指尖轉向後一矢量，捲曲四指，那麼，大拇指的指向為兩矢量矢積的方向。

交換兩矢量的位置，其矢積結果大小相等，方向相反，即：a×b=-b×a。

矢積不滿足交換律。

矢積遵從分配律，即：a×（b+c）=a×b+a×c。

矢積的應用表現在：平行四邊形面積、平行六面體的體積、正弦定律、力矩、磁場中帶電粒子所受的力等計算上。

2.3矢量微商

如果矢量r能被看成是標量t這一變數的函數（矢量函數），則在不同的時刻t₁、t₂，矢量r（t₂）、r（t₁）之差△r也是一個矢量，

△r=r（t₂）-r（t₁）

對於△r與兩時刻的時間差△t=t₂-t₁之比值

，可以看成是數值為△r數值的

的共線矢量。

當△t→0時，

趨近於矢量

，

地球動力與運動

矢量

稱為矢量r的時間微商，即人們常稱的速度矢量，它是質點位置隨時間的變化率。

根據微商的定義和級數展開方法等數學變換，可得，當△t→0時

地球動力與運動

式中，

表示單位矢量方向的變化率。該式是取標量a（t）和矢量b（t）的乘積的微商所依從的普遍法則

地球動力與運動

的一個實例，說明速度的變化表現在兩方面，一是方向的改變，一是大小的改變。

在本書中我們要用到速度的表達式轉換，所以在此將另一種形式的速度表達式一並介紹，其中利用的是徑向單位矢量f和垂直於它的稱為

的單位矢量。

隨著△t→0時，從而△θ也相應地趨於零，△f的數值

｜△f|=|f｜△θ＝△θ（|f|=1）

於是，矢量△f和比值

各自變為

地球動力與運動

取△t→0的極限，得矢量f的時間微商

地球動力與運動

於是，速度的表達式可以表示成

地球動力與運動

在圓周運動或軌道近於圓的運動中，上式等號右端的第一項等於或近似等於零。

在本書中，我們採用的表示方式為

地球動力與運動

2. 矢量的計算方法

矢量之間的運算要遵循特殊的法則。矢量加法一般可用平行四邊形法則。由平行四邊形法則可推廣至三角形法則、多邊形法則或正交分解法等。矢量減法是矢量加法的逆運算，一個矢量減去另一個矢量，等於加上那個矢量的負矢量。A-B=A+（-B）。矢量的乘法。

矢量和標量的乘積仍為矢量。矢量和矢量的乘積，可以構成新的標量，矢量間這樣的乘積叫標積；也可構成新的矢量，矢量間這樣的乘積叫矢積。例如，物理學中，功、功率等的計算是採用兩個矢量的標積。W=F·S，P=F·v，物理學中，力矩、洛侖茲力等的計算是採用兩個矢量的矢積。M=r×F，F=qv×B。

3. 物理上的矢量有哪些,它們的運算規則是怎樣的.

物理矢量有：位移，速度，加速度，力，動量，沖量，電場強度，磁感應強度（初中——高中）

矢量運算時既要考慮大小，又要考慮方向。（例如，一個力10N向左拉物體，另一個力10N向右拉物體，那麼這個物體合外力等於0，相當於「不受力」）。如果某個東西有兩個矢量作用，那麼為了方便運算需要運用平行四邊形定理找到這兩個矢量的合矢量，從而做到把兩個矢量等效成一個矢量。如果某個東西受到三個以上矢量作用，適用於正交分解法來把各個矢量分為豎直和水平分矢量（不是絕對的豎直和水平，兩個方向垂直即可）。

（平行四邊形定理就是，把兩個矢量的起點A移在一起，兩個矢量箭頭的長度作為平行四邊形ABCD的兩條鄰邊，那麼這個平行四邊形對角線的長度就是合矢量的大小，這個合矢量的方向由A指向C）

4. 求助：矢量運演算法則全部

：
定義1 設 、 ，以 與 為邊作一平行四邊形 ，取對角線矢量 ，記 ，如圖1-3，稱 為 與 之和，並記作

這種用平行四邊形的對角線矢量來規定兩個矢量之和的方法稱作矢量加法的平行四邊形法則.
如果矢量 與矢量 在同一直線上，那麼，規定它們的和是這樣一個矢量：
若 與 的指向相同時，和向量的方向與原來兩矢量相同，其模等於兩矢量的模之和（圖1-4）.

若 與 的指向相反時，和矢量的模等於兩矢量的模之差，其方向與模值大的矢量方向一致（圖1-5）.

由於平行四邊形的對邊平行且相等，可以這樣來作出兩矢量的和矢量：
定義2 作 ，以 的終點為起點作 ，聯接 （圖1-6）得
. （1.2-1）
該方法稱作矢量加法的三角形法則.

矢量加法的三角形法則的實質是：
將兩矢量的首尾相聯，則一矢量的首與另一矢量的尾的連線就是兩矢量的和矢量.
據矢量的加法的定義，可以證明矢量加法具有下列運算規律：
定理 矢量的加法滿足下面的運算律：
1、交換律 , （1.2-2）
2、結合律 . （1.2-3）
證 交換律的證明從矢量的加法定義即可得證，結合律的證明從圖1-7可得證.

二 矢量的減法

定義3 若 ，則我們把 叫做 與 的差，記為
顯然， ,
特別地， .
由三角形法則可看出：要從 減去 ，只要把與 長度相同而方向相反的矢量 加到矢量 上去.由平行四邊形法則，可如下作出矢量 （圖1-8）.

例1 設互不共線的三矢量 、 與 ，試證明順次將它們的終點與始點相連而成一個三角形的充要條件是它們的和是零矢量.
證 必要性 設三矢量 、 、 可以構成三角形 （圖1-9），
即有
，
那麼，
即 .

充分性 設 ，作 那麼 ，所以 ，從而 ，所以 、 、 可以構成三角形 .
例2 用矢量法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
證 設四邊形 的對角線 、
交於 點且互相平分（圖1-10）
因此從圖可看出：
，
所以， ‖ ，且 ，
即四邊形 為平行四邊形.

5. 矢量如何計算

矢量之間的運算要遵循特殊的法則。矢量加法一般可用平行四邊形法則。由平行四邊形法則可推廣至三角形法則、多邊形法則或正交分解法等。矢量減法是矢量加法的逆運算，一個矢量減去另一個矢量，等於加上那個矢量的負矢量。A-B=A+(-B)。矢量的乘法。矢量和標量的乘積仍為矢量。矢量和矢量的乘積，可以構成新的標量，矢量間這樣的乘積叫標積；也可構成新的矢量，矢量間這樣的乘積叫矢積

6. 矢量運算的法則是什麼

（1）定義或解釋：有些物理量，既要由數值大小(包括有關的單位)，又要由方向才能完全確定。這些量之間的運算並不遵循一般的代數法則，而遵循特殊的運演算法則。這樣的量叫做物理矢量。有些物理量，只具有數值大小(包括有關的單位)，而不具有方向性。這些量之間的運算遵循一般的代數法則。這樣的量叫做物理標量。

（2）說明：①矢量之間的運算要遵循特殊的法則。矢量加法一般可用平行四邊形法則。由平行四邊形法則可推廣至三角形法則、多邊形法則或正交分解法等。矢量減法是矢量加法的逆運算，一個矢量減去另一個矢量，等於加上那個矢量的負矢量。A-B=A+(-B)。矢量的乘法。矢量和標量的乘積仍為矢量。矢量和矢量的乘積，可以構成新的標量，矢量間這樣的乘積叫標積；也可構成新的矢量，矢量間這樣的乘積叫矢積。例如，物理學中，功、功率等的計算是採用兩個矢量的標積。W=F·S，P=F·v，物理學中，力矩、洛侖茲力等的計算是採用兩個矢量的矢積。M=r×F，F=qv×B。②物理定律的矢量表達跟坐標的選擇無關，矢量符號為表述物理定律提供了簡單明了的形式，且使這些定律的推導簡單化，因此矢量是學習物理學的有用工具。

7. 矢量相乘法則

矢量相乘有兩種形式：

1、數量積

數量積也叫點積，它是向量與向量的乘積，其結果為一個標量（非向量）。幾何上，數量積可以定義如下：

設a、b為兩個任意向量，它們的夾角為θ，則他們的數量積為a·b=|a|·|b|sinθ，即a向量在b向量方向上的投影長度（同方向為正反方向為負號），與b向量長度的乘積。

2、向量積：

向量積也叫叉積，外積，它也是向量與向量的乘積，不過需要注意的是，它的結果是個向量。它的幾何意義是所得的向量與被乘向量所在平面垂直，方向由右手定則規定，大小是兩個被乘向量張成的平行四邊形的面積。所以向量積不滿足交換律。

設有向量

(7)矢量運演算法教學擴展閱讀：

矢量運算，矢量之間的運算要遵循特殊的法則。矢量加法一般可用平行四邊形法則。由平行四邊形法則可推廣至三角形法則、多邊形法則或正交分解法等。矢量減法是矢量加法的逆運算，一個矢量減去另一個矢量，等於加上那個矢量的負矢量。

矢量（也稱向量）是數學、物理學和工程科學等多個自然科學中的基本概念，指一個同時具有大小和方向，且滿足平行四邊形法則的幾何對象。一般地，同時滿足具有大小和方向兩個性質的幾何對象即可認為是向量。

向量常常在以符號加箭頭標示以區別於其它量。與向量相對的概念稱標量或數量，即只有大小、絕大多數情況下沒有方向（電流是特例）、不滿足平行四邊形法則的量。

向量的大小是相對的，在有需要時，會規定單位向量，以其長度作為1。每個方向上都有一個單位向量。

向量之間可以如數字一樣進行運算。常見的向量運算有：加法，減法，數乘向量以及向量之間的乘法（數量積和向量積）。

參考資料：網路-矢量運算

8. 進行矢量運算遵循什麼規律常用的方法是什麼

答案： 解析： 平行四邊形定則；正交分解法．

9. 關於物理中的矢量相加法則

對矢量和標量的學習是高中物理學習的重要標志，也是學生從初中物理向高中物理跨越的一大障礙。如何組織好有關矢量方面的教學是高一物理教學中一個重要課題。矢量對高一學生來講是個全新的概念，對於矢量及矢量的運算沒有任何感性認識，也沒有任何生活經驗可借鑒。正是基於這點，新教材編者對矢量教學的編排富有層次，因此教師要領會編者的編排思想，對矢量教學要有一個統籌的安排，使學生有一個逐步加深、步步提高的過程。下面對新教材各部分的矢量教學的要求作一些探索，對高一物理矢量教學提一些建議。一、初識矢量，感知矢量運算在第一章《運動的描述》第二節《時間和位移》中，高一學生第一次接觸矢量——位移。課本中給出其定義：在物理學中用一個叫做位移的物理量表示物體（質點）的位置變化。我們從初位置到末位置作一條有向線段，用這條有向線段表示位移。課本中通過北京到重慶的交通圖，讓學生結合生活實際理解位移的概念，然後介紹了矢量和標量的特徵：在物理學中，象位移這樣的物理量叫矢量，它既有大小又有方向，而溫度、質量這些物理量叫標量，它們只有大小，沒有方向。並且說明矢量相加和標量相加遵從不同的法則。課本中並沒有給矢量下嚴格的定義，在教學中只要求學生初步認識矢量，而不能力圖一次認識到位。關於矢量運算要求學生知道矢、標量運算的法則不同。矢量運算的基本法則是平行四邊形定則，而實際解題中大多數採用正交分解法，把矢量運算變換為代數運算。因此掌握一維坐標中的矢量運算是矢量教學的關鍵。為使後面的矢量運算教學能順利進行，教師可以第二節教學中做兩點准備：（1）進行直線運動的位置和位移教學中，可以安排同一直線上進行矢量運算的練習。但是不明確告訴學生這就是進行矢量運算。這為後面進行一維坐標中的矢量運算，以及正方向選擇後矢量取正、負值的物理意義的認識做前期准備。（2）利用教材中\\「思考與討論」的內容，從實例入手讓學生觀察先後兩個位移與合位移的關系，初步接觸矢量並滲透矢量相加的三角形定則的方法，讓學生感知矢量運算，但不要求學生掌握矢量合成的法則，為後面正式學習矢量運算做鋪墊。在這里的矢量教學要求不能過高，關於矢量概念學生需要時間逐漸理解，但有一點必須明確告訴學生，今後學物理要養成習慣，了解所學的物理量是否具有方向性。具有方向性的物理量稱為矢量，不具有方向性的物理量稱為標量。二、進一步認識矢量，初步涉及一維坐標中矢量的運算問題在第一章《運動的描述》第三節《運動快慢的描述——速度》，學習另外一個矢量——速度，學生進一步認識矢量。新教材明確指出：速度也是矢量，既有大小，又有方向。如何讓學生領會其矢量性？在教學中，可以引導學生比較初、高中學生對速度的定義，由於\\「位移」和\\「路程」不相同，高中與初中所學的進度也不相同，強調這一點，有利於學生對矢量的認識。另外在教學中我們經常強調速度的物理意義是運動快慢的描述。如果改為運動的快慢和方向的描述，則更能體現速度這個物理量的矢量性。這一節進行速度方向和位移方向關系的教學中，初步涉及同一直線矢量的運算問題，要讓學生一開始處理矢量問題時，就認識到正、負值與方向關系的重要性，這又是為後面的學習做准備工作。三、深化認識矢量，加深學生對一維坐標系下矢量運算的認識。第一章第五節學習又一個重要的物理量——加速度，學生深化認識矢量。加速度是採用速度的變化量與發生這一變化所用的時間的比值來定義的。要理解加速度的方向性，必須先理解速度變化量的方向性。因為兩者的方向是一致的。這一節里教材充分利用有向線段表示矢量的運算，讓學生直觀、形象地認識其運算規律。求速度變化量實際上是進行矢量減法。這可加深學生對一維坐標系下矢量運算的認識。用正、負號表示矢量方向，將同一直線上的矢量加減法變為標量的代數加減法，這對高一學生來說很新鮮，也很困難，教學要注意幫助學生在掌握方法的過程中樹立自信心，磨煉學生征服困難的意志品質。教學中可列舉生活、生產中常見的事例，通過數學討論，直觀作圖等途徑給予分析說明。同時在此基礎上總結出\\「同一直線上的矢量運算」的法則。具體內容如下：（1）先任意假設一正方向，規定凡與此方向同向的矢量取正量，與此方向相反的矢量取負量。（2）把矢量運算轉換為代數式加減問題，即將矢量式轉為代數式。（3）若運算結果為正，說明矢量的方向與假設方向相同，若運算結果為負，說明矢量的方向與假設正方向相反。在第二章《勻變速直線運動的研究》中，運動學公式用矢量表述簡潔、准確，求解具體問題時，我們都是選取適當的坐標系將矢量方程轉化為標量方程求解。學生很容易出錯，這是教學中的難點。教學中可這樣處理：把矢量方程變為標量方程，先建立適當的坐標系，根據矢量方程中各矢量與坐標軸之間的關系確定它們的正負值，對於矢量方程中未知矢量可假設它的方向為正值，運算出來結果為正值，則假設方向正確，若結果為負值，則與假設方向相反。四、進一步完善對矢量和矢量運演算法則的認識。新教材將運動部分內容調整為第一章和第二章，是為降低學生學習高中物理的台階，目的之一是有利於矢量教學的循序漸進。直線運動相對而言更直觀、更生活化，而力的作用更抽象，所涉及的矢量運算更復雜。關於矢量概念及矢量的運算教學教材充分體現了循序漸進的規律。通過前兩章學習學生對矢量概念及矢量運算有一個初步認識。在此基礎上，第三章《相互作用》第四節在《力的合成》一節中正式學習矢量運演算法則——平行四邊形。這個定則是矢量運算的工具。與傳統教材不同，新教材將驗證實驗改為探究實驗。這是很有道理的。學生對矢量運算是陌生的，讓學生在探究過程中獲得切身體驗，強調學生對知識的自主學習和自我構建，有利於學生更深刻的理解矢量的合成法則。這一節的學習為矢量的完整定義打下基礎。在第五節《力的分解》中，進行矢量相加的法則三角形定則教學之後，課本最終水到渠成引入矢量和標量的概念，強調矢量有方向並遵從平行四邊形定則這兩點。到此新教材中的矢量教學才完成，學生對矢量的學習，經過這幾個台階，又經過一段時間的磨合，學生對矢量就會有一個完整的認識。總的來說，高一物理的矢量教學很關鍵，這方面教學工作開展得好，將為學生以後的物理學習打下良好基礎，所以教學中教師一定要統籌安排，循序漸進。

10. 矢量運算的法則是什麼怎麼運算

一般用平行四邊行法則，以已知的兩矢量為臨邊（將兩矢量平移到一起首於首相交）做平行四邊行，對角線為這兩矢量和