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取余數命令

發布時間:2023-02-09 05:03:27

㈠ 西門子plc取余數指令

PLC中沒有取余數指令,因為整數除法的結果本身就有餘數,例如整數除法指令DIV VW0 VW2 VD4就是數據寄存器VW0中的數據除以數據寄存器VW2中的數據,結果的商保存到數據寄存器VW6中,余數保存到VW4中(VD4包含VW4和VW6)。望採納。。。。。。

㈡ C語言取余的原理是怎麼回事 比如 int X,Y X-X/Y*Y=x%y

取余實際上就是模運算

基本理論
基本概念:
給定一個正整數p,任意一個整數n,一定存在等式 n = kp + r ;
其中k、r是整數,且 0 ≤ r < p,稱呼k為n除以p的商,r為n除以p的余數。
對於正整數p和整數a,b,定義如下運算:
取模運算:a % p(或a mod p),表示a除以p的余數。
模p加法:(a + b) % p ,其結果是a+b算術和除以p的余數,也就是說,(a+b) = kp +r,則(a + b) % p = r。
模p減法:(a-b) % p ,其結果是a-b算術差除以p的余數。
模p乘法:(a * b) % p,其結果是 a * b算術乘法除以p的余數。
說明:
1. 同餘式:正整數a,b對p取模,它們的余數相同,記做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。
2. n % p得到結果的正負由被除數n決定,與p無關。例如:7%4 = 3, -7%4 = -3, 7%-4 = 3, -7%-4 = -3。
<!--[if !supportLineBreakNewLine]-->
<!--[endif]-->
基本性質
(1)若p|(a-b),則a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7), 18 ≡ 4(% 7)
(2)(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
(3)對稱性:a≡b (% p)等價於b≡a (% p)
(4)傳遞性:若a≡b (% p)且b≡c (% p) ,則a≡c (% p)
運算規則
模運算與基本四則運算有些相似,但是除法例外。其規則如下:
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p (1)
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p (2)
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)
ab % p = ((a % p)b) % p (4)
結合率: ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p (5)
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p (6)
交換率: (a + b) % p = (b+a) % p (7)
(a * b) % p = (b * a) % p (8)
分配率: ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p (9)
重要定理:若a≡b (% p),則對於任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);(10)
若a≡b (% p),則對於任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);(11)
若a≡b (% p),c≡d (% p),則 (a + c) ≡ (b + d) (%p),(a - c) ≡ (b - d) (%p),
(a * c) ≡ (b * d) (%p),(a / c) ≡ (b / d) (%p); (12)
若a≡b (% p),則對於任意的c,都有ac≡ bc (%p); (13)
編輯本段
基本應用

1.判別奇偶數
奇偶數的判別是模運算最基本的應用,也非常簡單。易知一個整數n對2取模,如果余數為0,則表示n為偶數,否則n為奇數。
C++實現功能函數:
/*
函數名:IsEven
函數功能:判別整數n的奇偶性。能被2整除為偶數,否則為奇數
輸入值:int n,整數n
返回值:bool,若整數n是偶數,返回true,否則返回false
*/
bool IsEven(int n)
{
return (n % 2 == 0);
}
2.判別素數
一個數,如果只有1和它本身兩個因數,這樣的數叫做質數(或素數)。例如 2,3,5,7 是質數,而 4,6,8,9 則不是,後者稱為合成數或合數。
判斷某個自然數是否是素數最常用的方法就是試除法:用比該自然數的平方根小的正整數去除這個自然數,若該自然數能被整除,則說明其非素數。
C++實現功能函數:
/*
函數名:IsPrime
函數功能:判別自然數n是否為素數。
輸入值:int n,自然數n
返回值:bool,若自然數n是素數,返回true,否則返回false
*/
bool IsPrime(unsigned int n)
{
unsigned maxFactor = sqrt(n); //n的最大因子
for (unsigned int i=2; i<=maxFactor; i++)
{
if (n % i == 0) //n能被i整除,則說明n非素數
{
return false;
}
}
return true;
}
3. 最大公約數
求最大公約數最常見的方法是歐幾里德演算法(又稱輾轉相除法),其計算原理依賴於定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
證明:a可以表示成a = kb + r,則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數,則有d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數
假設d 是(b,a mod b)的公約數,則d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的,其最大公約數也必然相等,得證。
C++實現功能函數:
/*
函數功能:利用歐幾里德演算法,採用遞歸方式,求兩個自然數的最大公約數
函數名:Gcd
輸入值:unsigned int a,自然數a
unsigned int b,自然數b
返回值:unsigned int,兩個自然數的最大公約數
*/
unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)
{
if (b == 0)
return a;
return Gcd(b, a % b);
}
/*
函數功能:利用歐幾里德演算法,採用迭代方式,求兩個自然數的最大公約數 函數名:Gcd
輸入值:unsigned int a,自然數a
unsigned int b,自然數b
返回值:unsigned int,兩個自然數的最大公約數
*/
unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)
{
unsigned int temp;
while (b != 0)
{
temp = a % b;
a = b;
b = temp;
}
return a;
}
4.模冪運算
利用模運算的運算規則,我們可以使某些計算得到簡化。例如,我們想知道3333^5555的末位是什麼。很明顯不可能直接把3333^5555的結果計算出來,那樣太大了。但我們想要確定的是3333^5555(%10),所以問題就簡化了。
根據運算規則(4)ab % p = ((a % p)b) % p ,我們知道3333^5555(%10)= 3^5555(%10)。由於3^4 = 81,所以3^4(%10)= 1。
根據運算規則(3) (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ,由於5555 = 4 * 1388 + 3,我們得到3^5555(%10)=(3^(4*1388) * 3^3)(%10)=((3^(4*1388)(%10)* 3^3(%10))(%10)
=(1 * 7)(%10)= 7。
計算完畢。
利用這些規則我們可以有效地計算X^N(% P)。簡單的演算法是將result初始化為1,然後重復將result乘以X,每次乘法之後應用%運算符(這樣使得result的值變小,以免溢出),執行N次相乘後,result就是我們要找的答案。
這樣對於較小的N值來說,實現是合理的,但是當N的值很大時,需要計算很長時間,是不切實際的。下面的結論可以得到一種更好的演算法。
如果N是偶數,那麼X^N =(X*X)^[N/2];
如果N是奇數,那麼X^N = X*X^(N-1) = X *(X*X)^[N/2];
其中[N]是指小於或等於N的最大整數。
C++實現功能函數:
/*
函數功能:利用模運算規則,採用遞歸方式,計算X^N(% P)
函數名:PowerMod
輸入值:unsigned int x,底數x
unsigned int n,指數n
unsigned int p,模p
返回值:unsigned int,X^N(% P)的結果
*/
unsigned int PowerMod(unsigned int x, unsigned int n, unsigned int p)
{
if (n == 0)
{
return 1;
}
unsigned int temp = PowerMod((x * x)%p, n/2, p); //遞歸計算(X*X)^[N/2]
if ((n & 1) != 0) //判斷n的奇偶性
{
temp = (temp * x) % p;
}
return temp;
}
5.《孫子問題(中國剩餘定理)》
在我國古代算書《孫子算經》中有這樣一個問題:
「今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二,問物幾何?」意思是,「一個數除以3餘2,除以5餘3,除以7餘2.求適合這個條件的最小數。」
這個問題稱為「孫子問題」.關於孫子問題的一般解法,國際上稱為「中國剩餘定理」.
我國古代學者早就研究過這個問題。例如我國明朝數學家程大位在他著的《演算法統宗》(1593年)中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法:
三人同行七十稀,五樹梅花甘一枝,七子團圓正半月,除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是,當所得的數比105大時,就105、105地往下減,使之小於105;這相當於用105去除,求出余數。
這四句口訣暗示的意思是:當除數分別是3、5、7時,用70乘以用3除的余數,用21乘以用5除的余數,用15乘以用7除的余數,然後把這三個乘積相加。加得的結果如果比105大,就除以105,所得的余數就是滿足題目要求的最小正整數解。
根據剩餘定理,我把此種解法推廣到有n(n為自然數)個除數對應n個余數,求最小被除數的情況。輸入n個除數(除數不能互相整除)和對應的余數,計算機將輸出最小被除數。
C++實現功能函數:
/*
函數名:ResieTheorem
函數功能:運用剩餘定理,解決推廣了的孫子問題。通過給定n個除數(除數不能互相整除)和對應的余數,返回最小被除數
輸入值:unsigned int devisor[],存儲了n個除數的數組
unsigned int remainder[],存儲了n個余數的數組
int length,數組的長度
返回值:unsigned int, 最小被除數
*/
unsigned int ResieTheorem(const unsigned int devisor[], const unsigned int remainder[], int length)
{
unsigned int proct = 1; //所有除數之乘積
for (int i=0; i<length; i++)//計算所有除數之乘積
{
proct *= devisor[i];
}
//公倍數數組,表示除該元素(除數)之外其他除數的公倍數
unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length);
for (int i=0; i<length; i++)//計算除該元素(除數)之外其他除數的公倍數
{
commonMultiple[i] = proct / devisor[i];
}
unsigned int dividend = 0; //被除數,就是函數要返回的值
for (int i=0; i<length; i++)//計算被除數,但此時得到的不是最小被除數
{
unsigned int tempMul = commonMultiple[i];
//按照剩餘理論計算合適的公倍數,使得tempMul % devisor[i] == 1
while (tempMul % devisor[i] != 1)
{
tempMul += commonMultiple[i];
}
dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除數得到的余數乘以其他除數的公倍數
}
delete []commonMultiple;
return (dividend % proct); //返回最小被除數
}
6. 凱撒密碼
凱撒密碼(caeser)是羅馬擴張時期朱利斯o凱撒(Julius Caesar)創造的,用於加密通過信使傳遞的作戰命令
它將字母表中的字母移動一定位置而實現加密。注意26個字母循環使用,z的後面可以堪稱是a。
例如,當密匙為k = 3,即向後移動3位時,若明文為」How are you!」,則密文為」Krz h btx!」。
凱撒密碼的加密演算法極其簡單。其加密過程如下:
在這里,我們做此約定:明文記為m,密文記為c,加密變換記為E(key1,m)(其中key1為密鑰),
解密變換記為D(key2,m)(key2為解密密鑰)(在這里key1=key2,不妨記為key)。
凱撒密碼的加密過程可記為如下一個變換:c≡m+key (mod n) (其中n為基本字元個數)
同樣,解密過程可表示為:m≡c+key (mod n) (其中n為基本字元個數)
C++實現功能函數:
/*
函數功能:使用凱撒密碼原理,對明文進行加密,返回密文 函數名:Encrypt
輸入值:const char proclaimedInWriting[],存儲了明文的字元串
char cryptograph[],用來存儲密文的字元串
int keyey,加密密匙,正數表示後移,負數表示前移
返回值:無返回值,但是要將新的密文字元串返回
*/
void Encrypt(const char proclaimedInWriting[], char cryptograph[], int key)
{
const int NUM = 26; //字母個數
int len = strlen(proclaimedInWriting);
for (int i=0; i<len; i++)
{
if (proclaimedInWriting[i] >= 'a' && proclaimedInWriting[i] <= 'z')
{//明碼是大寫字母,則密碼也為大寫字母
cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'a' + key) % NUM + 'a';
}
else if (proclaimedInWriting[i] >= 'A' && proclaimedInWriting[i] <= 'Z')
{//明碼是小寫字母,則密碼也為小寫字母
cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'A' + key) % NUM + 'A';
}
else
{//明碼不是字母,則密碼與明碼相同
cryptograph[i] = proclaimedInWriting[i];
}
}
cryptograph[len] = '\0';
}
/*
函數功能:使用凱撒密碼原理,對密文進行解密,返回明文 函數名:Decode
輸入值:char proclaimedInWriting[],用來存儲明文的字元串
const char cryptograph[],存儲了密文的字元串
int keyey,解密密匙,正數表示前移,負數表示後移(與加密相反)
返回值:無返回值,但是要將新的明文字元串返回
*/
void Decode(const char cryptograph[], char proclaimedInWriting[], int key)
{
const int NUM = 26; //字母個數
int len = strlen(cryptograph);
for (int i=0; i<len; i++)
{
if (cryptograph[i] >= 'a' && cryptograph[i] <= 'z')
{//密碼是大寫字母,則明碼也為大寫字母,為防止出現負數,轉換時要加個NUM
proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'a' - key + NUM) % NUM + 'a';
}
else if (cryptograph[i] >= 'A' && cryptograph[i] <= 'Z')
{//密碼是小寫字母,則明碼也為小寫字母
proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'A' - key + NUM) % NUM + 'A';
}
else
{//密碼不是字母,則明碼與明密相同
proclaimedInWriting[i] = cryptograph[i];
}
}
proclaimedInWriting[len] = '\0';
}

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