數學與猜想pdf

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《數學與猜想：數學中的歸納和類比》是2001年科學出版社出版的圖書，作者是(美)G.波利亞。本書是著名數學家G.波利亞撰寫的一部經典名著。書中討論的是自然科學、特別是數學領域中與嚴密的論證推理完全不同的一種推理方法——合情推理（即猜想）。

Ⅲ 數學猜想的各種猜想

幾何化猜想
四色定理( 2008理論證明完成）
龐加萊猜想
卡塔蘭猜想（2002年4月證明正確，帕德博恩大學的羅馬尼亞數學家普雷達·米哈伊列斯庫(Preda Mihăilescu)證明，由尤里·比盧(Yuri Bilu)檢查，大幅使用了分圓域和伽羅華模） 希爾伯特－史密斯猜想
西塔潘猜想（中南大學2008級 劉路 證明
） Abc猜想
歐拉猜想
考拉茲猜想(角谷猜想)
周氏猜測(梅森素數分布猜測)
阿廷猜想(新梅森猜想)
哥德巴赫猜想
孿生素數猜想
克拉梅爾猜想
哈代－李特爾伍德第二猜想
六度空間理論
P與NP問題
楊-米爾理論
黎曼假設

Ⅳ 數學與猜想的內容簡介

《數學與猜想》(第1卷)通過許多古代著名的猜想，討論了論證方法，闡述了作者的觀點：不但要學習論證推理，也要學習合情推理，以豐富人們的科學思想，提高辯證思維能力，《數學與猜想》(第1卷)的例子不僅涉及數學各學科，也涉及到物理學，全書內容豐富，談古論今，敘述生動，能使人看到數學中真正的奧妙。全書共分兩卷，第一卷為數學中的歸納和類比，第二卷為合情推理模式，此冊為第一卷，主要講述數學中各種合情推理的實例。《數學與猜想》(第1卷)可供大學數學系師生、中學數學教師，數學研究人員及數學愛好者閱讀。

Ⅳ 對於數學猜想如何得到證實

學會數學猜想 感受數學發現

如何寓數學的思想方法於數學的發現、探索、研究之中，又如何能夠寓數學的思想方法於數學教學之中，是無數熱愛數學研究、熱愛數學教育的學者與教師一生追求的目標。像哥德巴赫猜想、費馬猜想等許許多多世界數學巔峰之作無不歷經觀察與實驗、歸納、類比與聯想、直覺與猜想、推理與證明的數學思維過程。

美籍數學家、數學教育家波利亞（1887～1985）的三部著作《怎樣解題》、《數學發現》、《數學與猜想》早已風靡全球的事實，充分說明了人們已不再認為數學發現與創造的過程僅是世界頂級數學家的數學游戲，人們不想僅為那些「高深」的數學理論與發現歡呼雀躍，更希望能夠分享數學發現的過程、數學探索的方法，即合情推理（歸納推理、類比推理）與演繹推理。由此可見「推理與證明」在數學發現與探索中的重要意義與作用。

通過對問題解決過程、特別是對已有成功實踐的深入研究，波利亞發現：可以機械地用來解決一切問題的「萬能方法」是不存在的；在問題解決的過程中,人們總是針對具體情況,不斷地向自己提出有啟發性的問題或提示,以啟動並推進思維的進程；因此,他試圖總結出一般的方法或模式,這些方法和模式在以後的問題解決活動中起到了重要的啟發和指導作用。波利亞很早就注意到「數學有兩個方面：用歐幾里得方式提出的數學是一門系統的演繹科學；但在創造過程中的數學卻是實驗性的歸納科學。」因此,他明確提出了兩種推理：合情推理與演繹推理，演繹推理可用來確定數學知識，合情推理可用來為猜想提供依據。而且在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發現結論、探索和提供思路的作用，有利於創新意識的培養。

許多數學問題、數學猜想，包括世界著名難題的解決，往往是在對數、式或圖形的直接觀察、歸納、類比、猜想中獲得方法，而後再進行邏輯驗證；同時隨著問題的解決，使數學方法得到提煉、數學研究范圍得到拓展、使數學不斷地前進與發展。費馬通過對勾股定理的研究大膽地提出了費馬猜想！為了尋找這個猜想的證明方法，許多數學家投入了畢生的精力，在上世紀被英國數學家懷爾斯證明，最終形成了費馬大定理。這個被數學家希爾伯特稱作會下「金蛋」的老母雞，本身是用合情推理的方法提出的。在長達幾個世紀的探索中，數學家們的創造過程無不蘊涵著合情推理。因此，從某個方面來說，合情推理促進了數學的發現，更推動了數學的發展，最終形成了歐拉定理、哥德巴赫猜想、四色問題等諸多世界數學史上的奇葩。

哥德巴赫猜想是數學皇冠上一顆「明珠」。自1742年提出以來，已歷經兩個半世紀的探索。雖然至今尚未被人證實猜想的正確性，也無人能夠給以否定，但圍繞這個猜想所作的研究，卻積聚了眾多的資料與成果，可以說哥德巴赫猜想的研究，已達到了非常精深的境界。

1742年的一天，哥德巴赫在紙上寫下了一串等式：

6=2+2+2, 7=2+2+3， 8=2+3+3， 9=3+3+3， 10=2+3+5， 11=3+3+5…

他終於按捺不住，寫信告訴歐拉，說他想冒險發表下列猜想：「大於5的任何自然數，都可以寫成三個素數的和。」不久，歐拉回信說，他認為：「每一個不小於4的偶數，都可以寫成兩個素數的和。」

這就是著名的哥德巴赫猜想。

200年過去了，沒有人能夠證明這個猜想。

目前世界范圍內的最佳結果是由我國著名數學家陳景潤於1966年證明的，稱為陳氏定理。

這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬的數學家的關注。這就是一個好問題的巨大價值，這就是一個好的猜想的歷史意義。

1900年8月，不滿40歲的數學大師希爾伯特，縱論全局、指點未來，發表了「數學問題」的經典演說，提出了著名的23個數學問題，並留下了一段關於問題（猜想）對數學發展的名言：「只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力；而問題缺乏則預示著獨立發展的衰亡或中止。數學研究也需要自己的問題。」

猜想既引導著研究的目標，又表明了社會發展的認知需要。數學史上充滿著猜想，可以說：數學是伴隨著對數學命題的猜想而發展的。

從某種意義上說，一部數學史就是猜想與驗證猜想的歷史。這裡面，既有偉大的猜想、也有微不足道的猜想；有最終被證明了的猜想、也有最後被否定了的猜想；有很快被解決了的猜想、更有至今還「懸著」的猜想。有許多數學家是猜想家，他們既有非凡的直覺能力，為後世留下一個個饒有趣味的誘人的猜想。特別地，重大猜想的解決過程，往往也帶來了數學發展的巨大推動力。

猜想使人的認識擺脫了消極等待的被動狀態；猜想在人的認識發展過程中，功不可沒、作用巨大。難怪科學家們總是感慨地驚嘆：「人類每一次大的成功，都是開始於大膽的猜想。」

猜想的過程即為觀察與實驗、歸納、類比與聯想、直覺與猜想的合情推理的過程，合情推理的實質就是「發現」，即發現新的關系、新的規律和新的方法等。在數學學習活動中，合情推理除了具有發現新的命題的重要作用外，還是探索解題思路，概括、解釋新的數學事實和規律，擴展認知領域，促進知識的掌握和遷移，啟迪思維和發展數學能力的重要方法和手段。

如果說通過演繹推理可以培養學生的運算能力、空間想像能力和嚴謹的治學態度，那麼通過合情推理則可以培養學生的創新思維能力、創造想像能力、創新實踐能力。因此可以說，合情推理是發展和培養學生創新能力的基礎和必要條件，是21世紀新型人才應當具有的素質。

二、《推理與證明》的教育價值的實踐與探索

著名的美國數學家、數學教育家波利亞提出：「對於學習數學的學生和從事數學工作的教師來說，猜想是一個重要的（但卻通常被忽視的）方面，因為：在證明一個數學定理之前，你先得猜測這個定理的內容；在你完全做出詳細的證明之前，你先得猜測證明的思路；你既要把觀察到的結果進行綜合，然後加以類比；又要一次一次地進行嘗試……我們通常得到的那個證明（或解答），就是這樣通過合情推理、通過猜想發現的。」

特別地，是否具有創造性已是衡量人才的重要標准、更是素質教育對能力培養提出的要求，而創造力的培養則有賴於教學中論證推理與合情推理同時並重的思維方法訓練。

在第八屆國際數學教育大會上，對於20世紀傑出的數學家、數學教育家波利亞建立的合情推理模式以及觀察、實驗、類比、歸納、化歸、猜想等方法在數學發現和創新中所起的作用給予了高度的評價，在全世界范圍內形成了廣泛的共識。在布魯塞爾的「發現學習」和上海教科院所推出的「研究性學習」中都對合情推理教學給予了高度的評價。合情推理教學符合我國素質教育的要求。

下面我們來看一個歸納、類比推理的代數實例：

我們用表示前個自然數的和，表示前n個自然數的平方和，以此類推：

我們先求平方和，並嘗試用下面的方法：

左右兩邊分別相加，得

我們沒能得到，但卻求得了：

這個嘗試給了我們一個啟示，從過程和方法上歸納、類比得到了，那麼能否類比地：在考察的過程中把求出來。下面，就讓我們沿著這個猜測去做一做、試試看吧……

左右兩邊分別相加，得到：

由此可知：

至此我們更確信，能通過類比聯想的辦法把前個自然數的立方和求出來。

疊加可得：

故有：

從求和的過程及求和的結果，我們可以看到：

是關於的二次式，

是關於的三次式，

是關於的四次式，

那麼我們可否在求之前就猜測是關於的五次式呢？

事實上,平面幾何中的很多性質都可以類比推廣到立體幾何中去，例如：平面幾何中的三角形類比到立體幾何中對應的幾何體是四面體（或稱三棱錐）等等。下面讓我們再來看一個歸納、類比推理的幾何實例。

我們知道：一條直線將平面分為兩部分；

兩條直線（只要它們不平行）將平面分成四部分；

三條直線一般能將平面分成8部分嗎？

這個猜想對嗎？

若三直線彼此平行，則它們只能將平面分為4部分；

若三直線中只有兩條平行，則它們把平面分為6部分；

若三直線交於一點，則它們也是把平面分為6部分；

一般的情形則是三條直線中既無彼此平行的，又不是三線共交點的。這樣，這樣我們就需在：三條直線將相交於三個點，並圍成以這三點為頂點的一個三角形的條件下進行討論。

從下圖即可看出，三直線將平面分為7個部分：A、B、C、D、E、F、G。

可見，「三條直線能將平面分成8部分」的猜想是不成立的。

類比平面到空間，我們可以提出：

一個平面將空間分成2部分；

兩個平面將空間分為4部分（只要兩平面不平行）；

三個平面能將空間分為8部分（就像空間解析幾何中的三個坐標平面將空間分為8個象限一樣）；

四個平面能將空間分為16個部分嗎？

聯想到直線分平面的情況，我們可能不會再作此猜想了。

然而可否類比地猜測四平面在一般情形下能將空間分為15個部分嗎？這種由類比引出的猜想是否正確呢？

我們再來分析一下三直線分割平面的情形：彼此互不平行且不共點的三直線將平面分為7部分的狀況是怎樣的呢？其中有一部分是有限的，其餘6部分都是無限延伸的，有限的部分就是三直線圍成的那個三角形A；無限的部分又可劃為兩種：一種是與三角形有一公共邊的（即B、C、D）；另一種則是與三角形有一公共頂點的（即E、F、G）。

下面我們再來分析四個平面分割空間的情形：對於四平面中有彼此平行的平面以及四平面中有三平面共線或四平面共線的特殊情形不予考慮，而只考慮一般情形，即四平面能圍成一個四面體的情形：四面體的內部是一個有限的部分；其餘分割的部分都是無限的，無限部分又可劃分為三類：第一類是與四面體有一公共面的，共4部分；第二類是與四面體與有一公共線的，共6部分；第三類是與四面體有一公共點的，共4部分，因此總計為1+4+6+4=15.

上面我們提到，三條兩兩不平行且不共點的直線將平面分為7個部分，四條直線呢？當然，對這四條直線也要兩兩不平行且每三條直線都不共點，這樣，新加的第四條直線便與原有的三條直線相交，且必通過原有的四個部分並使這四個部分均一分為二，故共增加4個部分，於是得知：四直線將平面分為11部分。

按照類似的要求（「兩兩不平行，三三不共點」），加進第五條直線，那麼平面被分割的部分也增加5部分，我們將歸納得到的數據列表如下：

直線數
1
2
3
4

平面被分割部分數
1+1
1+2+1
1+2+3+1
1+2+3+4+1

由此我們可以猜測： 「兩兩不平行，三三不共點」的n條直線可將平面分割為：

個部分

國際數學課程改革的研究表明：在處理中小學數學思想方法方面有兩個基本思路:

第一,主要通過純數學知識的學習,逐步使學生掌握數學的思想和方法；

第二,通過解決實際問題,使學生形成那些對人的素質有促進作用的基本思想方法,如實驗、猜測、合情推理等。

兩者相比而言, 後者更多的是一般的思考方法, 具有更廣泛的應用性。主要的發達國家也傾向於採用第二個基本思路。

有研究表明：合情推理與演繹推理有著較高的相關性；學生的合情推理的發展與演繹推理的發展也有著密切的聯系．因此，數學教學要促使學生的合情推理與演繹推理同步發展．

如果說通過演繹推理可以培養學生的運算能力、空間想像能力和嚴謹的治學態度，那麼通過合情推理則可以培養學生的創新思維能力、創造想像能力、創新實踐能力。因此可以說，合情推理是發展和培養學生創新能力的基礎和必要條件，是21世紀新型人才應當具有的素質。

而合情推理的實質就是「發現」，即發現新的關系、新的規律和新的方法，在數學學習活動中，合情推理除了具有發現新的命題的重要作用外，還是探索解題思路，概括、解釋新的數學事實和規律，擴展認知領域，促進知識的掌握和遷移，啟迪思維和發展數學能力的重要方法和手段。

作為數學教育工作者，讓我們暢想一下：

當學生感受到「高不可攀」的哥德巴赫猜想是那樣「淺顯易懂」時；當學生能夠類比三角形的面積公式聯想到三棱錐的體積公式，又經過思維實驗、數據檢測、調整證明得到時；特別是當學生能夠類比哥德巴赫猜想而提出「自己的素數猜想」，類比自然數的求和公式而得到自然數的平方和公式，又由此猜想得到自然數的立方和公式時，學生的猜想、證明的方法、學生內心的感動、學生的收獲與分享都著實地讓我們感受到了數學的偉大，更感受到了數學教育的價值與意義！

Ⅵ 數學猜想

四色猜想（三大數學難題之三）

世界近代三大數學難題之一。四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：「看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。」這個結論能不能從數學上加以嚴格證明呢？他和在大學讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經堆了一大疊，可是研究工作沒有進展。

1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、著名數學家德.摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，於是寫信向自己的好友、著名數學家哈密爾頓爵士請教。哈密爾頓接到摩爾根的信後，對四色問題進行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。

1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認為四色猜想從此也就解決了。

11年後，即1890年，數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。後來，越來越多的數學家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題：先輩數學大師們的努力，為後世的數學家揭示四色猜想之謎鋪平了道路。

進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎上引進了一些新技巧，美國數學家富蘭克林於1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨後又推進到了50國。看來這種推進仍然十分緩慢。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機證明，轟動了世界。它不僅解決了一個歷時100多年的難題，而且有可能成為數學史上一系列新思維的起點。不過也有不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。
哥德巴赫猜想（三大數學難題之二）

世界近代三大數學難題之一。哥德巴赫是德國一位中學教師，也是一位著名的數學家，生於1690年，1725年當選為俄國彼得堡科學院院士。1742年，哥德巴赫在教學中發現，每個不小於6的偶數都是兩個素數（只能被和它本身整除的數）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當時的大數學家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想:

(a) 任何一個>=6之偶數，都可以表示成兩個奇質數之和。

(b) 任何一個>=9之奇數，都可以表示成三個奇質數之和。

這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數學家都不能證明，這個猜想便引起了許多數學家的注意。從費馬提出這個猜想至今，許多數學家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。當然曾經有人作了些具體的驗證工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人對33×108以內且大過6之偶數一一進行驗算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但驗格的數學證明尚待數學家的努力。

從此，這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的「明珠」。到了20世紀20年代，才有人開始向它靠近。1920年、挪威數學家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個結論：每一個比大的偶數都可以表示為（99）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學家們於是從（9十9）開始，逐步減少每個數里所含質數因子的個數，直到最後使每個數里都是一個質數為止，這樣就證明了「哥德巴赫」。

目前最佳的結果是中國數學家陳景潤於1966年證明的，稱為陳氏定理(Chen『s Theorem) ? 「任何充份大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而後者僅僅是兩個質數的乘積。」 通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為 「1 + 2 」的形式。

在陳景潤之前，關於偶數可表示為 s個質數的乘積 與t個質數的乘積之和(簡稱「s + t 」問題)之進展情況如下:

1920年，挪威的布朗(Brun)證明了 「9 + 9 」。

1924年，德國的拉特馬赫(Rademacher)證明了「7 + 7 」。

1932年，英國的埃斯特曼(Estermann)證明了 「6 + 6 」。

1937年，義大利的蕾西(Ricei)先後證明了「5 + 7 」, 「4 + 9 」, 「3 + 15 」和「2 + 366。

1938年，蘇聯的布赫 夕太勃(Byxwrao)證明了「5 + 5 」。

1940年，蘇聯的布赫 夕太勃(Byxwrao)證明了 「4 + 4 」。

1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)證明了「1 + c 」，其中c是一很大的自然 數。

1956年，中國的王元證明了 「3 + 4 」。

1957年，中國的王元先後證明了 「3 + 3 」和 「2 + 3 」。

1962年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩(BapoaH)證明了 「1 + 5 」， 中國的王元證明了「1 + 4 」。

1965年，蘇聯的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小維諾格拉多夫(BHHopappB)，及 義大利的朋比利(Bombieri)證明了「1 + 3 」。

1966年，中國的陳景潤證明了 「1 + 2 」。

最終會由誰攻克 「1 + 1 」這個難題呢？現在還沒法預測。
費爾馬大定理及其證明（三大數學難題之一）

近代數學如參天大樹，已是分支眾多，枝繁葉茂。在這棵蒼勁的大樹上懸掛著不勝其數的數學難題。其中最耀眼奪目的是四色地圖問題、費爾馬大定理和哥德巴赫猜想。它們被稱為近代三大數學難題。

300多年以來，費爾馬大定理使世界上許多著名數學家殫精竭慮，有的甚至耗盡了畢生精力。費爾馬大定理神秘的面紗終於在1995年揭開，被43歲的英國數學家維爾斯一舉證明。這被認為是「20世紀最重大的數學成就」。

費爾馬大定理的由來

故事涉及到兩位相隔1400年的數學家，一位是古希臘的丟番圖，一位是法國的費爾馬。丟番圖活動於公元250年前後。

1637年，30來歲的費爾馬在讀丟番圖的名著《算術》的法文譯本時，他在書中關於不定方程 x2＋ y2 ＝z2 的全部正整數解這頁的空白處用拉丁文寫道：「任何一個數的立方，不能分成兩個數的立方之和；任何一個數的四次方，不能分成兩個數的四次方之和，一般來說，不可能將一個高於二次的冪分成兩個同次的冪之和。我已發現了這個斷語的美妙證法，可惜這里的空白地方太小，寫不下。」

費爾馬去世後，人們在整理他的遺物時發現了這段寫在書眉上的話。1670年，他的兒子發表了費爾馬的這一部分頁端筆記，大家才知道這一問題。後來，人們就把這一論斷稱為費爾馬大定理。用數學語言來表達就是：形如xn ＋yn ＝zn 的方程，當n大於2時沒有正整數解。

費爾馬是一位業余數學愛好者，被譽為「業余數學家之王」。1601年，他出生在法國南部圖盧茲附近一位皮革商人的家庭。童年時期是在家裡受的教育。長大以後，父親送他在大學學法律，畢業後當了一名律師。從1648年起，擔任圖盧茲市議會議員。

他酷愛數學，把自己所有的業余時間都用於研究數學和物理。由於他思維敏捷，記憶力強，又具備研究數學所必須的頑強精神，所以，獲得了豐碩的成果，使他躋身於17世紀大數學家之列。

艱難的探索

起初，數學家想重新找到費爾馬沒有寫出來的那個「美妙證法」，但是誰也沒有成功。著名數學家歐拉用無限下推法證明了方程 x3＋ y3 ＝z3 和 x4 ＋ y4 ＝z4 不可能有正整數解。

因為任何一個大於2的整數，如果不是4的倍數，就一定是某一奇素數或它的倍數。因此，只要能證明n＝4以及n是任一奇素數時，方程都沒有正整數解，費爾馬大定理就完全證明了。n＝4的情形已經證明過，所以，問題就集中在證明n等於奇素數的情形了。

在歐拉證明了 n＝ 3， n＝ 4以後， 1823年和 1826年勒讓德和狄利克雷各自獨立證明了 n＝ 5的情形， 1839年拉梅證明了 n＝ 7的情形。就這樣，一個一個奇素數證下去的長征便開始了。

其中，德國數學家庫默爾作出了重要貢獻。他用近世代數的方法，引入了自己發明的「理想數」和「分圓數」的概念，指出費爾馬大定理只可能在n等於某些叫非正則素數的值時，才有可能不正確，所以只需對這些數進行研究。這樣的數，在100以內，只有37、59、67三個。他還具體證明了當 n＝ 37、59、67時，方程xn＋ yn＝zn是不可能有正整數解的。這就把費爾馬大定理一下推進到n在100以內都是成立的。庫默爾「成批地」證明了定理的成立，人們視之為一次重大突破。1857年，他獲得巴黎科學院的金質獎章。

這一「長征」式的證法，雖然不斷地刷新著記錄，如 1992年更進到n＝1000000，但這不等於定理被證明。看來，需要另闢蹊徑。

10萬馬克獎給誰

從費爾馬時代起，巴黎科學院曾先後兩次提供獎章和獎金，獎勵證明費爾馬大定理的人，布魯塞爾科學院也懸賞重金，但都無結果。1908年，德國數學家佛爾夫斯克爾逝世的時候，將他的10萬馬克贈給了德國哥庭根科學會，作為費爾馬大定理的解答獎金。

哥庭根科學會宣布，獎金在100年內有效。哥庭根科學會不負責審查稿件。

10萬馬克在當時是一筆很大的財富，而費爾馬大定理又是小學生都能聽懂題意的問題。於是，不僅專搞數學這一行的人，就連很多工程師、牧師、教師、學生、銀行職員、政府官吏和一般市民，都在鑽研這個問題。在很短時間內，各種刊物公布的證明就有上千個之多。

當時，德國有個名叫《數學和物理文獻實錄》的雜志，自願對這方面的論文進行鑒定，到 1911年初為止，共審查了111個「證明」，全都是錯的。後來實在受不了沉重的審稿負擔，於是它宣布停止這一審查鑒定工作。但是，證明的浪潮仍洶涌澎湃，雖然兩次世界大戰後德國的貨幣多次大幅度貶值，當初的10萬馬克折算成後來的馬克已無多大價值。但是，熱愛科學的可貴精神，還在鼓勵著很多人繼續從事這一工作。

姍姍來遲的證明

經過前人的努力，證明費爾馬大定理取得了許多成果，但離定理的證明，無疑還有遙遠的距離。怎麼辦？來必須要用一種新的方法，有的數學家用起了傳統的辦法——轉化問題。

人們把丟番圖方程的解與代數曲線上的某種點聯系起來，成為一種代數幾何學的轉化，而費爾馬問題不過是丟番圖方程的一個特例。在黎曼的工作基礎上，1922年，英國數學家莫德爾提出一個重要的猜想。：「設F（x，y）是兩個變數x、y的有理系數多項式，那麼當曲線F（x，y）= 0的虧格（一種與曲線有關的量）大於1時，方程F（x，y）＝0至多隻有有限組有理數」。1983年，德國29歲的數學家法爾廷斯運用蘇聯沙法拉維奇在代數幾何上的一系列結果證明了莫德爾猜想。這是費爾馬大定理證明中的又一次重大突破。法爾廷斯獲得了1986年的菲爾茲獎。

維爾斯仍採用代數幾何的方法去攀登，他把別人的成果奇妙地聯系起來，並且吸取了走過這條道路的攻克者的經驗教訓，注意到一條嶄新迂迴的路徑：如果谷山——志村猜想成立，那麼費爾馬大定理一定成立。這是1988年德國數學家費雷在研究日本數學家谷山——志村於1955年關於橢圓函數的一個猜想時發現的。

維爾斯出生於英國牛津一個神學家庭，從小對費爾馬大定理十分好奇、感興趣，這條美妙的定理導致他進入了數學的殿堂。大學畢業以後，他開始了幼年的幻想，決心去圓童年的夢。他極其秘密地進行費爾馬大定理的研究，守口如瓶，不透半點風聲。

窮七年的鍥而不舍，直到1993年6月23日。這天，英國劍橋大學牛頓數學研究所的大廳里正在進行例行的學術報告會。報告人維爾斯將他的研究成果作了長達兩個半小時的發言。10點30分，在他結束報告時，他平靜地宣布：「因此，我證明了費爾馬大定理」。這句話像一聲驚雷，把許多隻要作例行鼓掌的手定在了空中，大廳時鴉雀無聲。半分鍾後，雷鳴般的掌聲似乎要掀翻大廳的屋頂。英國學者顧不得他們優雅的紳士風度，忘情地歡騰著。

消息很快轟動了全世界。各種大眾傳媒紛紛報道，並稱之為「世紀性的成就」。人們認為，維爾斯最終證明了費爾馬大定理，被列入1993年世界科技十大成就之一。

可不久，傳媒又迅速地報出了一個「爆炸性」新聞：維爾斯的長達200頁的論文送交審查時，卻被發現證明有漏洞。

維爾斯在挫折面前沒有止步，他用一年多時間修改論文，補正漏洞。這時他已是「為伊消得人憔悴」，但他「衣帶漸寬終不悔」。1994年9月，他重新寫出一篇108頁的論文，寄往美國。論文順利通過審查，美國的《數學年刊》雜志於1995年5月發表了他的這一篇論文。維爾斯因此獲得了1995～1996年度的沃爾夫數學獎。

經過 300多年的不斷奮戰，數學家們世代的努力，圍繞費爾馬大定理作出了許多重大的發現，並促進了一些數學分支的發展，尤其是代數數論的進展。現代代數數論中的核心概念「理想數」，正是為了解決費爾馬大定理而提出的。難怪大數學家希爾伯特稱贊費爾馬大定理是「一隻會下金蛋的母雞」。

Ⅶ 數學八大猜想是什麼

哥德巴赫猜想 龐加萊猜想
龐加萊猜想和黎曼假設、霍奇猜想、楊·米爾理論等一樣，被並列為七大數學世紀難題之一。
千僖難題」之一： P (多項式演算法)問題對NP (非多項式演算法)問題
「千僖難題」之二： 霍奇(Hodge)猜想
「千僖難題」之三： 龐加萊(Poincare)猜想
「千僖難題」之四： 黎曼(Riemann)假設
「千僖難題」之五： 楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口
「千僖難題」之六： 納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性
「千僖難題」之七： 貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想
「千僖難題」之一：P（多項式演算法）問題對NP（非多項式演算法）問題

在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由於感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。你的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鍾，你就能向那裡掃視，並且發現你的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數13，717，421可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803，那麼你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）於1971年陳述的。

「千僖難題」之二： 霍奇(Hodge)猜想

二十世紀的數學家們發現了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導至一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。

「千僖難題」之三： 龐加萊(Poincare)猜想

如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想像同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是「單連通的」，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮斗。

「千僖難題」之四： 黎曼(Riemann)假設

有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數中，這種素數的分布並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數z(s$的性態。著名的黎曼假設斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明。

「千僖難題」之五： 楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口

量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關系。基於楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界范圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和築波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於「誇克」的不可見性的解釋中應用的「質量缺口」假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。

「千僖難題」之六： 納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性

起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。

「千僖難題」之七： 貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想

數學家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為復雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0,那麼存在無限多個有理點(解)，相反，如果z(1)不等於0,那麼只存在有限多個這樣的點。

Ⅷ 數學的幾大猜想

世界三大數學猜想即費馬猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。
費馬猜想的證明於1994年由英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）完成，遂稱費馬大定理；
四色猜想的證明於1976年由美國數學家阿佩爾(Kenneth Appel)與哈肯(Wolfgang Haken)藉助計算機完成，遂稱四色定理；
哥德巴赫猜想尚未解決，最好的成果（陳氏定理）乃於1966年由中國數學家陳景潤取得。這三個問題的共同點就是題面簡單易懂，內涵深邃無比，影響了一代代的數學家。
費馬大定理
內容
當整數n > 2時，關於x,y,z的不定方程 x^n + y^n = z^n 無正整數解。
簡介
這個定理，本來又稱費馬最後的定理，由17世紀法國數學家費馬提出，而當時人們稱之為"定理"，並不是真的相信費馬已經證明了它。雖然費馬宣稱他已找到一個絕妙證明，德國佛爾夫斯克宣布以10萬馬克作為獎金獎給在他逝世後一百年內，第一個證明該定理的人，吸引了不少人嘗試並遞交他們的"證明"。在一戰之後，馬克大幅貶值，該定理的魅力也大大地下降。
但經過三個半世紀的努力，這個世紀數論難題才由普林斯頓大學英國數學家安德魯·懷爾斯和他的學生理查·泰勒於1994年成功證明。證明利用了很多新的數學，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數等，令人懷疑費馬是否真的找到了正確證明。而安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)由於成功證明此定理，獲得了1998年的菲爾茲獎特別獎以及2005年度邵逸夫獎的數學獎。

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|-- 數學名著譯叢-數學與猜想(第1卷)-數學中的歸納和類比-[美]G.波利亞-科學出版社-1984.pdf (10.33MB)
|-- 數學名著譯叢-數學與猜想(第2卷)-合情推理模式-[美]G.波利亞-科學出版社-1985.pdf (7.83MB)
|-- 數學名著譯叢-數論中未解決的問題-[加拿大]R.K.蓋伊-科學出版社.pdf (20.15MB)
|-- 數學名著譯叢-一般拓撲學-[美]J.L.凱萊-科學出版社-1982.pdf (5.75MB)
|-- 數學名著譯叢-代數幾何-[美]R·哈茨霍恩-馮克勤＆劉木蘭＆胥鳴偉(譯)-科學出版社-1994.pdf (19.93MB)
|-- 數學名著譯叢-代數幾何引論(第2版)-[荷]B.L.范德瓦爾登-李培廉＆李喬(譯)-科學出版社-2008.pdf (8.12MB)
|-- 數學名著譯叢-代數學Ⅰ-[荷]B.L.范德瓦爾登-丁石孫＆曾肯成(譯)-科學出版社-1963.pdf (5.56MB)
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|-- 數學名著譯叢-代數拓撲基礎-[美]J.R.曼克勒斯-謝孔彬(譯)-科學出版社-2006.pdf (30.12MB)
|-- 數學名著譯叢-代數數理論講義-[德]E.赫克-王元(譯)-科學出版社-2005.pdf (6.14MB)
|-- 數學名著譯叢-代數特徵值問題-[英]J.H.威爾金森-石鍾慈＆鄧健新(譯)-科學出版社-2001.pdf (7.79MB)
|-- 數學名著譯叢-元數學導論(上冊)-[美]S.C.克林-莫紹揆(譯)-科學出版社-1985.djvu (3.5MB)
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