论述差值算法的基本思想

❶ 什么是插值法

内插法即“直线插入法”。

其原理是，若A（i1，b1），B（i2，b2）为两点，则点P（i，b）在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1，i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。

举例说明：

20×5年1月1日，甲公司采用分期收款方式向乙公司销售一套大型设备，合同约定的销售价格为2 000万元，分5次于每年l2月31日等额收取。

该大型设备成本为1 560万元。在现销方式下，该大型设备的销售价格为1 600万元。假定甲公司发出商品时开出增值税专用发票，注明的增值税额为340万元，并于当天收到增值税额340万元。

根据本例的资料，甲公司应当确认的销售商品收入金额为1 600万元。

根据下列公式：

未来五年收款额的现值=现销方式下应收款项金额。

可以得出：

400×（P/A，r，5）+340=1 600+340=1 940（万元）。

因为系数表中或是在实际做题时候，都是按照r是整数给出的，即给出的都是10％，5％等对应的系数，不会给出5.2％或8.3％等对应的系数，所以是需要根据已经给出的整数r根据具体题目进行计算。

本题根据：400×（P/A，r，5）+340=1 600+340=1 940（万元），得出（P/A，r，5）＝4。

查找系数表，查找出当r=7%，（P/A，r，5）＝4.1062。

r=8%，（P/A，r，5）＝3.9927（做题时候，题目中一般会给出系数是多少，不需要自己查表）。

那么现在要是求r等于什么时候，（P/A，r，5）＝4，即采用插值法计算：

根据：

r=7%，（P/A，r，5）＝4.1062。

r＝x％，（P/A，r，5）＝4。

r=8%，（P/A，r，5）＝3.9927。

那么：

x％－7%－对应4－4.1062。

8％－7％－对应3.9927－4.1062。

即建立关系式：

（x％－7%）/（8％－7％）＝（4－4.1062）/（3.9927－4.1062）。

求得：x%=7.93%，即r=7.93%。

❷ 什么是插值算法

插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
1、Lagrange插值：
Lagrange插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的 方法解决了求n次多项式插值函数问题；
★基本思想将待求的n次多项式插值函数pn(x）改写成另一种表示方式，再利 用插值条件⑴确定其中的待定函数，从而求出插值多项式。

2、Newton插值：
Newton插值也是n次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点；
★基本思想将待求的n次插值多项式Pn（x）改写为具有承袭性的形式，然后利用插值条件⑴确定Pn（x）的待定系数，以求出所要的插值函数。

3、Hermite插值：
Hermite插值是利用未知函数f(x）在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的，其提法为：给定n+1个互异的节点x0,x1，……,xn上的函数值和导数值
求一个2n+1次多项式H2n+1(x）满足插值条件
H2n+1(xk)=yk
H'2n+1(xk)=y'k k=0,1,2，……，n ⒀
如上求出的H2n+1(x）称为2n+1次Hermite插值函数，它与被插函数
一般有更好的密合度；
★基本思想
利用Lagrange插值函数的构造方法，先设定函数形式，再利
用插值条件⒀求出插值函数.

4、分段插值：
插值多项式余项公式说明插值节点越多，误差越小，函数逐近越好，但后来人们发现，事实并非如此，例如：取被插函数，在[-5，5]上的n+1个等距节点：计算出f(xk）后得到Lagrange插值多项式Ln(x），考虑[-5,5]上的一点x=5-5/n，分别取n=2,6,10,14,18计算f(x),Ln(x）及对应的误差Rn(x），得下表
从表中可知，随节点个数n的增加，误差lRn(x)l不但没减小，反而不断的增大.这个例子最早是由Runge研究，后来人们把这种节点加密但误差增大的现象称为Runge现象.出现Runge现象的原因主要是当节点n较大时，对应
的是高次插值多项式，此差得积累"淹没"了增加节点减少的精度.Runge现象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法，本节的分段插值就是克服Runge现象引入的一种插值方法.
分段多项式插值的定义为
定义2: a=x0<x1<…<xn=b: 取[a,b]上n+1个节点 并给定在这些节点 上的函数值f(xR)=yR R=0,1，…，n
如果函数Φ（x）满足条件
i) Φ（x）在[a,b]上连续
ii) Φ（xr)=yR,R =0,1，…，n
iii) Φ（x)zai 每个小区间[xR,xR+1]是m次多项式，
R=0,1，…，n-1则称Φ（x）为f(x）在[a,b]上的分段m次插值多项式
实用中，常用次数不超过5的底次分段插值多项式，本节只介绍分段线性插值和分段三次Hermite插值，其中分段三次Hermite插值还额外要求分段插值函数Φ（x)
在节点上与被插值函数f(x）有相同的导数值，即
★基本思想将被插值函数f〔x〕的插值节点 由小到大 排序，然后每对相邻的两个节点为端点的区间上用m 次多项式去近似f〔x〕.
例题
例1 已知f（x）=ln（x）的函数表为：
试用线性插值和抛物线插值分别计算f（3.27）的近似值并估计相应的误差。
解：线性插值需要两个节点，内插比外插好因为3.27 （3.2，3.3），故选x0=3.2，x1=3.3，由n=1的lagrange插值公式，有
所以有，为保证内插对抛物线插值，选取三个节点为x0=3.2,x1=3.3,x2=3.4，由n=2的lagrange插值公式有
故有
所以线性插值计算ln3.27的误差估计为
故抛物线插值计算ln3.27的误差估计为：
显然抛物线插值比线性插值精确；

5、样条插值：
样条插值是一种改进的分段插值。
定义 若函数在区间〖a，b〗上给定节点a=x0<x1<；…<xn=b及其函数值yj，若函数S（x）满足
⒈ S（xj）=yj，j=0,1,2，…，n；
插值法主要用于道路桥梁，机械设计，电子信息工程等 很多工科领域的优化方法。

❸ 请简述数字增量插补算法的基本思想及特点

以一个脉冲的方式输出给步进电机。基本思想是：用折线逼近曲线。...第三节数字增量插补在数字增量插补这类算法中，插补周期时一个重要的参数。一插补周期的选择