三階不帶權差分演算法

A. 多目標差分進化演算法

差分進化演算法(Differential Evolution, DE)是一種基於群體差異的啟發式隨機搜索演算法，該演算法是由R.Storn和K.Price為求解Chebyshev多項式而提出的。是一種用於最佳化問題的後設啟發式演算法。本質上說，它是一種基於實數編碼的具有保優思想的貪婪遺傳演算法。

將問題的求解表示成"染色體"的適者生存過程，通過"染色體"群的一代代不斷進化，包括復制、交叉和變異等操作，最終收斂到"最適應環境"的個體，從而求得問題的最優解或滿意解。

差分進化演算法類似遺傳演算法，包含變異，交叉操作，淘汰機制，而差分進化演算法與遺傳演算法不同之處，在於變異的部分是隨選兩個解成員變數的差異，經過伸縮後加入當前解成員的變數上，因此差分進化演算法無須使用概率分布產生下一代解成員。最優化方法分為傳統優化方法和啟發式優化方法兩大類。傳統的優化方法大多數都是利用目標函數的導數求解；而啟發式優化方法以仿生演算法為主，通過啟發式搜索策略實現求解優化。啟發式搜索演算法不要求目標函數連續、可微等信息，具有較好的全局尋優能力，成為最優化領域的研究熱點。

在人工智慧領域中，演化演算法是演化計算的一個分支。它是一種基於群體的元啟發式優化演算法，具有自適應、自搜索、自組織和隱並行性等特點。近年來，很多學者將演化演算法應用到優化領域中，取得了很大的成功，並已引起了人們的廣泛關注。越來越多的研究者加入到演化優化的研究之中，並對演化演算法作了許多改進，使其更適合各種優化問題。目前，演化演算法已廣泛應用於求解無約束函數優化、約束函數優化、組合優化、多目標優化等多種優化問題中。

B. 什麼叫差分，差分方程是啥

1、差分又名差分函數或差分運算，差分的結果反映了離散量之間的一種變化，是研究離散數學的一種工具。它將原函數f(x) 映射到f(x+a)-f(x+b) 。差分運算，相應於微分運算，是微積分中重要的一個概念。差分又分為前向差分、向後差分及中心差分三種。

2、差分方程（是一種遞推地定義一個序列的方程式：序列的每一項目是定義為前一項的函數。某些簡單定義的遞推關系式可能會表現出非常復雜的（混沌的）性質，他們屬於數學中的非線性分析領域。

(2)三階不帶權差分演算法擴展閱讀：

差分方程舉例：

dy+y*dx=0,y(0)=1 是一個微分方程， x取值[0,1] （註：解為y(x)=e^(-x))；

要實現微分方程的離散化，可以把x的區間分割為許多小區間 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1）/n,1]

這樣上述微分方程可以離散化為：y((k+1）/n)-y(k/n)+y(k/n)*（1/n)=0， k=0,1,2,...,n-1 （n 個離散方程組）

利用y(0)=1的條件，以及上面的差分方程，可以計算出 y(k/n) 的近似值了。

差分方程的性質

1、Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn。

2、Δk(cxn)=cΔkxn。

3、Δkxn=∑（-1)jCjkXn+k-j。

4、數列的通項為n的無限次可導函數，對任意k>=1，存在η，有 Δkxn=f(k）（η）。

C. 什麼是有限差分演算法

有限差分法(FDM)的起源,討論其在靜電場求解中的應用.以鋁電解槽物理模型為例,採用FDM對其場域進行離散,使用MATLAB和C求解了各節點的電位.由此,繪制了整個場域的等位線和電場強度矢量分布.同時,討論了加速收斂因子對超鬆弛迭代演算法迭代速度的影響,以及具有正弦邊界條件下的電場分布.
有限差分法
有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。
該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。
分類
對於有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用於有結構網格，網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定。
構造差分的方法
構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式
時域有限差分法在GIS局部放電檢測中的應用
1 前言
GIS由於其佔地面積小以及高度的可靠性被廣泛應用，但也有因為固定微粒、自由微粒以及絕緣子內部缺陷而發生的絕緣故障。一般發生絕緣故障都伴隨有局部放電發生，因而局部放電檢測是診斷電力設備絕緣狀況的有效方法之一。超高頻局部放電檢測方法因為具有強的抗干擾能力和故障點定位能力而受到製造廠家和研究部門的普遍關注，並且已有部分產品應用於現場。超高頻局部放電檢測方法一般直接檢測出局部放電脈沖的時域信號或者頻譜信號，因為不同的研究者所研製的檢測用感測器的帶寬和檢測系統(內部感測器法和外部感測器法)不同，以及感測器和局部放電源的相對位置對檢測結果的影響，檢測所得結果存在較大差異，缺乏可比性，因此有必要對局部放電信號的傳播規律進行研究。
時域有限差分(Finite-Difference Time-Domain)法最早是由KaneS.Yee在1966年提出的，是一種很有效的電磁場的數值計算方法，不需要用到位函數，是一種在時間域中求解的數值計算方法。這種方法被應用於天線技術、微波器件、RCS計算等方面。
本文藉助時域有限差分法對252KV GIS內部局部放電所激發的電磁波傳播進行模擬，並用外部感測器超高頻局部放電檢測方法在實驗室對252kV GIS固定高壓導體上的固定微粒局部放電信號進行實測，模擬結果和實驗結果基本一致，為超高頻局部放電檢測結果提供了有效的理論依據。
2 時域有限差分法
時域有限差分法是一種在時域中求解的數值計算方法，求解電磁場問題的FDTD方法是基於在時間和空間域中對Maxwell旋度方程的有限差分離散化一以具有兩階精度的中心有限差分格式來近似地代替原來微分形式的方程。FDTD方法模擬空間電磁性質的參數是按空間網格給出的，只需給定相應空間點的媒質參數，就可模擬復雜的電磁結構。時域有限差分法是在適當的邊界和初始條件下解有限差分方程，使電磁波的時域特性直接反映出來，直接給出非常豐富的電磁場問題的時域信息，用清晰的圖像描述復雜的物理過程。網格剖分是FDTD方法的關鍵問題，Yee提出採用在空間和時間都差半個步長的網格結構，通過類似蛙步跳躍式的步驟用前一時刻的磁、電場值得到當前時刻的電、磁場值，並在每一時刻上將此過程算遍整個空間，於是可得到整個空間域中隨時間變化的電、磁場值的解。這些隨時間變化的電、磁場值是再用Fourier變換後變到相應頻域中的解。
在各向同性媒質中，Maxwell方程中的兩個旋度方程具有以下形式(式(1)~(2))。

式中，ε為媒質的介電常數；μ為媒質的磁導率；σ為媒質的電導率；σ*為媒質的等效磁阻率，它們都是空間和時間變數的函數。
在直角坐標系中，矢量式(1)～(2)可以展開成以下六個標量式。

為了用差分離散的代數式恰當地描述電磁場在空間的傳播特性，Yee提出了Yee Cell結構，在這種結構中，每一磁場分量總有四個電場分量環繞，同樣每一電場分量總有四個磁場分量環繞，Yee對和分量在網格單位上的分布情況如圖1所示。為達到精度，Yee計算和時在時間上錯開半個步長，用中心差商展開偏微分方程組，得到x軸方向電場和磁場FDTD迭代公式(式(9)~(10))，Y軸和z軸迭代公式與x軸迭代公式成對稱形式(略)。

FDTD方法是Maxwell方程的一種近似求解方法，為了保證計算結果的可靠性，必須考慮差分離散所引起的演算法穩定性和數值色散問題，時間步長和空間步長應滿足(11)~(12)條件。

其中，δ=min(△x，△y，△z)；υmax為電磁波在媒質中傳播的最大相速；λmin為電磁波在媒質中的最小波長值。
式中△x，△y和△z分別是在x，y和z坐標方向的空間步長，△t是時間步長，ij和k和n是整數。
3 GIS局部放電電磁模擬和超高頻檢測
SF6氣體絕緣的GIS中局部放電的脈沖持續時間極短，其波頭時間僅幾個ns。為了簡化分析，將局部放電電流看成對稱脈沖，一般用如下的Gaussian形狀的脈沖模型來表示，根據式13和文獻6本文模擬用局部放電源高斯脈沖的峰值電流取30mA，脈沖寬度取5ns，波形如圖2所示。

GIS局部放電信號頻帶較寬，用於接收信號的感測器(天線)應該滿足檢測要求，本文採用超寬頻(300MHz~3000MHz)自補結構的雙臂平面等角螺旋天線，天線結構如圖3所示。

該天線在一定頻率范圍內可以近似認為具有非頻變天線的特性，因為GIS局放信號的頻率是在一個范圍內變化，對於不同頻率的GIS局放信號，該天線的阻抗不隨頻率變化，可方便實現天線和傳輸線的阻抗匹配，避免波形畸變。用HP8753D網路分析儀對天線的駐波比進行測試，結果在300MHz~3000MHz的頻率范圍內駐波比小於2.0，根據電磁理論當駐波比小於2.0時可以不考慮駐波的影響，表明該平面等角螺旋天線在設計頻率具有良好的頻響特性，所測結果可靠。
超高頻法把GIS看作同軸波導(如圖4所示)，局部放電產生的短脈沖沿軸向傳播，感測器作為接收天線，接收局部放電所激發的電磁波。

本文針對252KV GIS內高壓導體上φ0.05×lcm固定突起發生局部放電進行模擬，GIS內部高壓導體外直徑為10.2cm，外殼內直徑為29.4cm，長度為4米。採用1×l×lcm網格進行剖分，邊界用完全匹配層(PML)材料吸收邊界，其中絕緣子相對介電常數取3.9。採用IMST Empire電磁模擬軟體分別對圖4的GIS發生局部放電時內部點1和外部點2處的信號進行模擬，模擬結果如圖5所示。
圖5(a)和(b)的模擬結果表明在GIS內部發生局部放電時，局部放電脈沖可以激發上升沿很陡的信號，由於其內部為不連續波導結構，電磁波在其內部將引起反射和復雜諧振，頻率成分可高達GHz。另外，比較內部點1和外部點2處的模擬結果，內部點1處的信號幅值是外部點2處的兩倍，表明信號可以從絕緣縫隙泄漏，但由於絕緣子和縫隙的影響幅值將明顯發生衰減，並且信號在絕緣縫隙處發生的折射和散射，外部信號比內部信號復雜。圖5(c)表明局部放電頻帶比較寬，可高達GHz，信號成分較為豐富。

採用外部感測器超高頻局部放電檢測系統對252KV GIS內高壓導體φ0.05×1cm固定突起局部放電進行實測。由於局部放電信號比較微弱，加之高頻信號傳播過程中衰減較大，在測試系統中採用增益不低於20dB的寬頻放大器。在實驗過程中對空氣中的局部放電高頻信號進行衰減特性研究發現該檢測系統有效檢測范圍為17米。在外部點2處(距離GIS外殼絕緣縫隙10cm)的檢測結果如圖6所示。比較圖5(b)和圖6表明，模擬結果和實測結果基本一致，這個結論為超高頻局部放電檢測結果提供了理論支持。

超高頻局部放電檢測方法已經表明是非常有效的局部放電檢測方法，本文借用時域有限差分法從信號的時域特徵出發來驗證局部放電檢測結果，但由於不同電壓等級的GIS結構存在差異，以及故障微粒的狀態不同，對檢測結果都有影響，並且目前還沒有找出超高頻方法和傳統檢測方法之間的內在關系，有待進一步深入研究。
4 結論
時域有限差分法對GIS局部放電脈沖所激發的電磁波模擬結果表明，局部放電信號上升沿較陡，頻率可達GHz；由於絕緣子以及絕緣縫隙的影響，使得同軸波導結構不連續，將產生很復雜的電磁波。
a.由於絕緣子以及絕緣縫隙的影響，使信號幅值發生明顯衰減，外部信號的幅值是內部信號幅值的一半。
b.實驗結果和模擬結果基本一致，進一步從理論上論證了超高頻局部放電檢測方法的有效性。

D. 差分演算法是什麼

在數值計算中,常用差分近似微分.
最簡單的差分格式有向前、向後和中心3種.
向前差分：f'(n)=f(n+1)-f(n)
向後差分：f'(n)=f(n)-f(n-1)
中心差分：f'(n)=[f(n+1)-f(n-1)]/2

E. 有限積分法和有限差分法

1.1 概念
有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。

1.2 差分格式
（1）從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。
（2）從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。
（3）考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。

目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用於有結構網格，網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定。

1.3 構造差分的方法
構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

2. FEM

2.1 概述
有限元方法的基礎是變分原理和加權餘量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變數改寫成由各變數或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，藉助於變分原理或加權餘量法，將微分方程離散求解。採用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。

2.2 原理
有限元方法最早應用於結構力學，後來隨著計算機的發展慢慢用於流體力學、土力學的數值模擬。在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。在河道數值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權餘量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。

根據所採用的權函數和插值函數的不同，有限元方法也分為多種計算格式。
（1）從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法；
（2）從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形網格；
（3）從插值函數的精度來劃分，又分為線性插值函數和高次插值函數等。
不同的組合同樣構成不同的有限元計算格式。

對於權函數，伽遼金(Galerkin)法是將權函數取為逼近函數中的基函數；最小二乘法是令權函數等於餘量本身，而內積的極小值則為對代求系數的平方誤差最小；在配置法中，先在計算域內選取N個配置點。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程餘量為0。插值函數一般由不同次冪的多項式組成，但也有採用三角函數或指數函數組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函數。

有限元插值函數分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數值在插值點取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標，有對稱和不對稱等。常採用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決於單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應用的最早，近來四邊形等參元的應用也越來越廣。對於二維三角形和四邊形電源單元，常採用的插值函數為有Lagrange插值直角坐標系中的線性插值函數及二階或更高階插值函數、面積坐標系中的線性插值函數、二階或更高階插值函數等。

2.3 基本原理與解題步驟
對於有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為：
(1)建立積分方程，根據變分原理或方程餘量與權函數正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發點。
(2)區域單元剖分，根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點，將區域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區域單元劃分是採用有限元方法的前期准備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節點進行編號和確定相互之間的關系之外，還要表示節點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節點序號和相應的邊界值。
(3)確定單元基函數，根據單元中節點數目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數作為單元基函數。有限元方法中的基函數是在單元中選取的，由於各單元具有規則的幾何形狀，在選取基函數時可遵循一定的法則。
(4)單元分析：將各個單元中的求解函數用單元基函數的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數代入積分方程，並對單元區域進行積分，可獲得含有待定系數(即單元中各節點的參數值)的代數方程組，稱為單元有限元方程。
(5)總體合成：在得出單元有限元方程之後，將區域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。
(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對於自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對於本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。
(7)解有限元方程：根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，採用適當的數值計算方法求解，可求得各節點的函數值。

3. 有限體積法

有限體積法（FiniteVolumeMethod）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，並使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變數的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬於加權剩餘法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬於採用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬於有限體積發的基本方法。有限體積法的基本思路易於理解，並能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變數在有限大小的控制體積中的守恆原理，如同微分方程表示因變數在無限小的控制體積中的守恆原理一樣。限體積法得出的離散方程，要求因變數的積分守恆對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恆；而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出准確的積分守恆。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函數），並將其作為近似解。有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數只用於計算控制體積的積分，得出離散方程之後，便可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程中不同的項採取不同的插值函數。

4. 比較分析
有限差分法（FDM）:直觀，理論成熟，精度可眩但是不規則區域處理繁瑣，雖然網格生成可以使FDM應用於不規則區域，但是對區域的連續性等要求較嚴。使用FDM的好處在於易於編程，易於並行。
有限元方法（FEM）:適合處理復雜區域，精度可眩缺憾在於內存和計算量巨大。並行不如FDM和FVM直觀。不過FEM的並行是當前和將來應用的一個不錯的方向。
有限容積法:適於流體計算，可以應用於不規則網格，適於並行。但是精度基本上只能是二階了。FVM的優勢正逐漸顯現出來，FVM在應力應變，高頻電磁場方面的特殊的優點正在被人重視。

比較一下：
有限容積法和有限差分法：一個區別就是有限容積法的截差是不定的（跟取的相鄰點有關，積分方法離散方程），而有限差分就可以直接知道截差（微分方法離散方程）。有限容積法和有限差分法最本質的區別是，前者是根據積分方程推導出來的（即對每個控制體積分），後者直接根據微分方程推導出來，所以前者的精度不但取決於積分時的精度，還取決與對導數處理的精度，一般有限容積法總體的精度為二階，因為積分的精度限制，當然有限容積法對於守恆型方程導出的離散方程可以保持守恆型；而後者直接由微分方程導出，不涉及積分過程，各種導數的微分藉助Taylor展開，直接寫出離散方程，當然不一定有守恆性，精度也和有限容積法不一樣，一般有限差分法可以使精度更高一些。
當然二者有聯系，有時導出的形式一樣，但是概念上是不一樣的。

至於有限容積法和有限元相比，有限元在復雜區域的適應性對有限容積是毫無優勢可言的，至於有限容積的守恆性，物理概念明顯的這些特點，有限元是沒有的。目前有限容積在精度方面與有限元法有些差距。

有限元方法比有限差分優越的方面主要在能適應不規則區域，但是這只是指的是傳統意義上的有限差分，現在發展的一些有限差分已經能適應不規則區域。對於橢圓型方程，如果區域規則，傳統有限差分和有限元都能解，在求解效率，這里主要指編程負責度和收斂快慢、內存需要，肯定有限差分有優勢。

F. 差分方程的例題

1． 實驗內容與練習
2．1 差分
例1 Xn={n3},求各階差分數列：
xn △xn △2xn △3xn △4xn
1 7 12 6 0
8 19 18 6 0
27 37 24 6 0
64 61 30 6
125 91 36
216 127
343
可見，{n3},三階差分數列為常數數列，四階為0。
練習1 對{1}，{n},{n2},{n4},{n5},分別求各階差分數列。
練習2 {C0n-1}{C1n-1}{C2n-1},{C4n-1},分別求各階差分數列.
{Xn}的通項為n的三次函數，
Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0
證明它為常數數列。
證明 由Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0可直接計算。
定理8,1 若數列的通項是關於n 的k次多項式，則 k 階差分數列為非零數列，k+1階差分數列為0。
練習3 證明定理8.1。
定理8.2 若{Xn}的 k 階插分為非零常數列，則{Xn}是 n的 k次多項式，
練習4 根據差分的性質證明定理8。2
例2。求∑i3
例4
解 設Sn=∑i3 表
Sn △Sn △2Sn △3Sn △4Sn △5Sn
18191860
927372460
3664613060
100125913660
22521612742
441343169
784512
1296
設Sn=a4n4+a3n3+a2n2+a1n+a0,s1=1,s2=9,s3=36,s4=100,s5=225，得
a0=0,a1=0,a2=1/4,a3=1/2,a4=1/4.
所以， Sn=(1/4)n4+(1/2)n3+(1/4)n2.
練習 {Xn}的通項Xn為n的k次多項式，證明∑xi為n的 k+1次多項式；求 ∑i4.
由練習 2 {Crn-1}可得。
2.2差分方程
對於一個差分方程，如果能找出這樣的數列通項，將它帶入差分方程後，該方程成為恆等式，這個通項叫做差分方程的解。
例3 對差分方程 xn-5xn-1+6xn-2=0，可直接驗證xn=c13n+c22n是該方程的解。
例3中的解中含有任意常數，且任意常數的個數與差分方程的階數相同。這樣的解叫做差分方程的通解。
若k階差分方程給定了數列前k項的取值，則可以確定通解的任意常數，得到差分
的特解。
例4對差分方程xn-5xn-1+6xn-2=0，若已知x1=1,x2=5，則可以得到該差分方程的特解為xn=3n-2n.
我們首先研究齊次線性差分方程的求解。
xn=rxn-1
對一階差分方程
x1=a
顯然有xn=arn-1。因此，若數列滿足一階差分方程，則該數列為一個等比數列。
例5 求Fibonacci數列{Fn}的通項，其中F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2.
Fibonacci數列的前幾項為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…。該數列有著非常廣泛的應用。
Fibonacci數列所滿足的差分方程為 Fn-Fn-1-Fn-2=0,
其特徵方程為 λ2-λ-1=0
其根為λ1=，λ2= .利用λ1λ2可將差分方程寫為
Fn-（λ1+λ2)Fn-1+λ1λ2Fn-2=0,
即Fn-λ1Fn-1=λ2(Fn-1-λ1Fn-2)
數列{Fn-λ1Fn-1}滿足一個一階差分方程．顯然 ( )
同理可得 ( )
由以上兩式可解出 的通項。
練習9 證明若數列{ }滿足二階差分方程 ，其特徵方程由兩個不相等的根 ，則 為該差分方程的兩個特解。從而其通解為。
由練習9，若二階差分方程的特徵方程有兩個不相等的根，可寫出其通解的一般性式。再由 的值可解出其中的系數，從而寫出差分方程的特解。
練習10 具體求出 Fibonacci數列的通項，並證明。那麼，若二階線性齊次差分方程有兩個相等的根，其解有如何來求呢？
設二階線性齊次差分方程的特徵方程有兩個相等的根 ，則差分方程可寫為。差分方程的兩邊同時除以 ，有。設，則 (n>=3）。由於該式在 n>=3式均成立，我們將它改寫為 (n>=1）。（8.2)
方程（8.2）的左邊是 的二階差分，從而有，於是 是n的一次函數，設為 則有。上是即為差分方程的通解。
練習11 證明：若數列{ } 所滿足的三階差分方程的特徵方程由三個相等的根 ，則差分方程的通解為。
一般的，設 ···，為差分方程的特徵方程所有不同的解，其重數分別為 ···， ，則差分方程對應於其中的根 （i=1，2，···，l）的特解 ···。
對於一般的k階齊次線性差分方程，我們可以通過其特徵方程得到上述形式的k個特解，進而得到差分方程的通解。
練習12 若數列{ } 滿足差分方程
且 求{ }的通項。
例6 若實系數差分方程的根為虛數，則其解也是用虛數表示的，這給討論問題帶來不便。差分方程
xn-2xn-1+4xn-2=0
的特徵值為 i.若x1=1,x2=3，由下面的程序易求出其特解為：
xn=( )(1+ i)n+（－ )(1－ i)n
Clear[x1,x2,c1,c2,l1,l2,solution];
x1=1;x2=3;
solution=Solve[1^2-2l+4==0,1];
l1=l/.solution[[1,1]];
l2=l/.solution[[2,1]];
c=Solve[ {c1*l1+c2*l2==x1,c1*l1^2+c2*l2^2==x2},{c1,c2}];
c1=Simplify[ Re[c1]]+Simplify]*I;
c2=Simplify[Re[c2]]+Simplify]*I;
Print[「xn=（「，c1，」）（「，l1，」）^n+（「，c2，」）（「，l2，」）^n」]
解的形式相當復雜，是否可以將它們用實數表示呢？
設 =rei，則 =re，我們可將（8．4）中的表達式改寫為
xn=re (2e )n+re (2e )
=r
=2r Cos( )
=(2rCos )
=
可以看出，通項可以寫成 的形式．那麼， 與 是不是差分方程的特解呢？
練習13 驗證 與 是差分方程（8.3）的特解.
對於差分方程（8.3），我們找出了它的兩個實型的特解，從而可以將通解表示成實數的形式.這一方法對於一般的方程也是成立的.
練習14 設 的兩個特徵值為 .證明該差分方程的通解可表示為 .
練習 15 用實數表示差分方程 的特解.
上次我們討論了其次線性差分方程的求解方法.那麼，非齊次線性差分方程是否可以化為齊次線性差分方程呢?
練習16 若已知非齊次線性差分方程
··· （8.5）
的一個特解為 求證：若令 則 滿足齊次差分方程
···
由練習16，若已知非齊次線性差分方程（8.5）的一個特解，就可以將它化為齊次線性差分方程.
顯然方程（8.5）的最簡單的形式為 （其中p為常數），代入（8.5）得
···
若 ··· 則有
稱p = 為非齊次線性差分方程（8.5）的平衡值。在（8.5）中， 令 則有
由 ，得
.
從而可將原來的非齊次線性差分方程化為齊次線性差分方程.
如果方程（8.5）的平衡值不存在，可以將方程（8.5）中所有的n換為n+1，得到
（8.6）
方程（8.6）和（8.5）相減得
.
於是可將原來的非齊次線性差分方程化為高一階的齊次線性差分方程.
練習17 分別求差分方程 及 的通解.
2.3代數方程求根
由 Fibonacci數列的性質，我們可以用 來逼近 ，用這一性質可以來計算 的近似值。一般地，對a>0，可以用構造差分方程的方法來求 的近似值.
對給定的正數a，設λ1= ，λ2= ，則λ1 ，λ2是方程λ2-2λ+(1+a)=0的根.該方程是差分方程 的特徵方程。於是，選定，利用差分方程 可以構造一個數列{ }.
練習 18 證明：若a>1，對任意的 >0,>0，若 ≠ ，則按上述法構造的數列{ }滿足
.這樣，我們得到了計算 的一個方法：
1． 給定 （作為誤差控制），任取初始值 ，令n=1;
2． 若
則終止計算，輸出結果；否則 ，令n ：=n+1，轉第3步；
3． 令，轉第2步.
練習 19 對a=1.5,10,12345，用上述方法求 .
上述方法的收斂速度不夠快，我們可以加以改進
設整數u滿足，令，則 ， 是方程 的兩個根.
練習 20 根據上面的差分方程的構件數列{ x },使得
.
練習 21 對練習19中的a，用上面的方法來計算 ，並比較兩種方法的收斂速度.
代數方程
（8.7）
是差分方程（8.1）的特徵方程，是否可以用此差分方程來求解方程（8.7）呢？
設方程（8.7）有k個互不相同的根滿足
， （8.8）
則對應的差分方程的通解形式為
.
練習 22 設方程（8.7）的根滿足條件（8.8），任取初始值 用差分方程（8.1）（取b=0）構造數列{ }.若通解中 的系數 ≠0，證明：
.
利用練習22得到的結論，我們可以求多項式方程的絕對值最大的根.
練習 23 求方程 的絕對值最大的根.
事實上，若方程（8.7）的互不相同的根滿足
≥ ≥…≥
（其重數分別為 ），則練習22中的結論仍然成立.
2.4 國民收入4 國民收入的穩定問題
一個國家的國民收入可用於消費，再生產的投資等。一般地說，消費與再生產投資都不應該沒有限制。合理的控制各部分投資，能夠使國民經濟處於一種良性循環之中。如何配各部分投資的比例，才能使國民經濟處於穩定狀態呢？這就是本節要討論的問題。
我們首先給出一些假設條件：
1． 國民收入用於消費、再生產投資和公共設施建設三部分。
2． 記 分別為第k個周期的國民收入水平和消費水平。的值與前一個周期的國民收入成正比例。即 =A,(8.9）其中A為常數（03． 用 表示第k個周期內用於再生產的投資水平，它取決於消費水平的變化，即 . (8.10)
4． G表示政府用於公共設施的開支，設G為常數.由假設1有 . (8.11）上式是一個差分方程，當給定 的值後，可直接計算出國民收入水平 （k=2,3，…）來觀察其是否穩定。
例7 若 ，計算可得表8.3中數據。
表8.3 Y 的值的變化
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
11.0 24.5 35.8 39.1 32.9 20.3 7.48 0.95 3.93 15.0
k 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
28.5 37.8 38.2 29.5 16.0 4.58 0.82 6.65 19.2 32.1
我們可以畫出 的散點圖來觀察其變化。其計算及畫圖的程序如下：
y0=2;y1=2;a=0.5;b=2;g=10;
y={y0,y1};
For[k=1,k<=20,k++,
Y2=a(1+b)*y1-b*a*y0+g;
Y=Append[y,y2];
Y0=y1,y1=y2]
YListPlot[y,PlotJoined True,
PlotStyle Thickness[0.012]]
圖8.1 國民收入 的變化
由圖8.1利用發現，又例7的數據得出的 的呈現出周期變化的跡象。
練習 24設 ，對於表8.4中的參數A,B，分別計算 （k=2,3，…）並畫圖觀察 的變化。
表8.4 參數A,B的取值
A 1/2 1/2 1/2 8/9 9/10 3/4 4/5
B 1 2 3 1/2 1/2 3 3
可以看出，隨著參數的值不同，國民收入水平 （k=2,3，…）的穩定性呈現出不同的狀態。
那麼，參數滿足什麼條件時，國民收入水平才處於穩定發展之中呢？
差分方程（8.11）是一個常系數非齊次線性差分方程。由A<1容易求出其平衡值為
令 可得
.
其特徵值為
若 則
其中 為 的幅角。
從而可的差分方程的解為
其中 為常數。
若 易見{ }為一周期函數在 ---的取值，從而{ }呈周期變化的狀態。正如在例7中所見到的。
練習25 若 在 及 的情形下，討論{ }的變化趨勢。國民收入會穩定發展嗎？
練習26 若 ，國民收入在什麼條件下會穩定發展？
本實驗涉及的Mathematica軟體語句說明
1. solution=Solve[1^2-2l+4==0,1];
l1=1/.solution[[1,1]];
l2=l/.solution[[2,1]];
將方程l^2-2l+4==0的兩根分別賦值給l1及l2.
2. c=Solve[{c1*l1+c2*l2==x1,c1*l1^2+c2*l2^2==x2},{c1,c2}];
{c1,c2}={c1,c2}/.c[[1]];
將方程組{c1*l1+c2*l2==x1,c1*l1^2+c2*l2^2==x2}的解賦值給c1及c2.
3. c1=Simplify[Re[c1]]+Simplify]*I
將復數c1化簡.

G. 什麼是差分演算法

在數值計算中，常用差分近似微分。
例如：
向前差分：f'(n)=f(n+1)-f(n)
向後差分：f'(n)=f(n)-f(n-1)

H. 計算流體力學里,三階精度差分格式怎麼構造

將各個項用3階泰勒展開 加權後導數項系數和為1

I. GIS中如何利用三階不帶權差分演算法獲取坡度坡向

這個估計要自己寫代碼實現了