建信金科演算法工程師

1. 恩尼格瑪密碼機的弱點

在一次大戰其間，英國的情報機關非常嚴密地監控了德國方面的通訊，丘吉爾的書和英國海軍部的報告中透露的消息只不過是一鱗半爪。事實上，將美國引入一次大戰的齊末曼（Arthur Zimmermann，1916年起任德國外交部長）電報就是由著名的英國40局破譯的。在此電報中德國密謀墨西哥對美國發動攻擊，這使得美國最終決定對德宣戰。但是英國人的障眼法用得如此之好，使得德國人一直以為是墨西哥方面泄漏了秘密。
戰後英國仍舊保持著對德國通訊的監聽，並保持著很高的破譯率。但是從1926年開始，他們開始收到一些不知所雲的信息——ENIGMA開始投入使用。德國方面使用的ENIGMA越多，40局破解不了的電文就越多。美國人和法國人碰到的情況也一樣，他們對ENIGMA一籌莫展。德國從此擁有了世界上最為可靠的通訊保密系統。
一次大戰的戰勝國很快就放棄了破譯這種新型密碼的努力。也許是出於自信，在他們看來，在凡爾賽條約約束下的德國已經造成不了什麼危害。由於看不到破譯德國密碼的必要性，盟國的密碼分析專家懶散下來，干這一行的頭腦似乎也變得越來越平庸。在科學的其他領域，我們說失敗乃成功之母；而在密碼分析領域，我們則應該說恐懼乃成功之母。普法戰爭造就了法國一代優秀的密碼分析專家，而一次大戰中英國能夠破譯德國的通訊密碼，對失敗的極大恐懼產生的動力無疑起了巨大的作用。
歷史又一次重演。因為在歐洲有一個國家對德國抱有這種極大的恐懼——這就是在一戰灰燼中浴火重生的新獨立的波蘭。在她的西面，是對失去舊日領土耿耿於懷的德國，而在東面，則是要輸出革命的蘇維埃聯盟。對於波蘭來說，關於這兩個強鄰的情報是有關生死存亡的大事，波蘭的密碼分析專家不可能象他們的英美法同事那樣愛干不幹——他們必須知道這兩個大國都在想什麼。在此情況下波蘭設立了自己的破譯機構，波軍總參二局密碼處（Biuro Szyfrow）。密碼處的高效率在1919-1920年波蘇戰爭中明顯地體現出來，軍事上屢嘗敗績的波蘭在密碼分析方面卻一枝獨秀。在蘇軍兵臨華沙城下的情況下，1920年一年他們破譯了大約400條蘇軍信息。在對西面德國的通訊的監控方面，波蘭人也保持了同樣的高效率——直到1926年ENIGMA登場。
波蘭人想方設法搞到了一台商用的ENIGMA機器，大致弄清楚了它的工作原理。但是軍用型的轉子內部布線和商用型的完全不同，沒有這個情報，想要破譯德軍的電報可謂難如登天。波蘭人使出了渾身的解數，甚至病急亂投醫，請了個據說有天眼通功能的「大師」來遙感德國人機器里轉子的線路圖——當然和所有的「大師」一樣，一遇上這種硬碰硬的事情，神乎其神的天眼通也不靈了。
這時事情有了轉機。
漢斯-提羅·施密特（Hans-Thilo Schimdt）於1888年出生在柏林的一個中產階級家庭里，一次大戰時當過兵打過仗。根據凡爾賽條約，戰敗後的德國進行了裁軍，施密特就在被裁之列。退了伍後他開了個小肥皂廠，心想下海從商賺點錢。結果戰後的經濟蕭條和通貨膨脹讓他破了產。此時他不名一文，卻還有一個家要養。
和他潦倒的處境相反，他的大哥魯道夫（Rudolph）在戰後春風得意。和漢斯-提羅一樣都是一次大戰的老兵，可魯道夫沒有被裁減，相反卻一路高升。到了二十年代，他當上了德國通訊部門的頭頭，就是他正式命令在軍隊中使用ENIGMA。和大哥的成功比起來，漢斯-提羅自然覺得臉上無光。
可是破產後漢斯-提羅不得不放下自尊心來去見大哥，求他在政府部門替自己謀個職位。魯道夫給他的二弟在密碼處（Chiffrierstelle）找了個位置。這是專門負責德國密碼通訊的機構——ENIGMA的指揮中心，擁有大量絕密情報。漢斯-提羅把一家留在巴伐利亞，因為在那裡生活費用相對較低，勉強可以度日。就這樣他一個人孤零零地搬到了柏林，拿著可憐的薪水，對大哥又羨又妒，對拋棄他的社會深惡痛絕。
接下來的事情可想而知。如果把自己可以輕松搞到的絕密情報出賣給外國情報機構，一方面可以賺取不少自己緊缺的錢，一方面可以以此報復這個拋棄了他的國家。1931年11月8日，施密特化名為艾斯克（Asche）和法國情報人員在比利時接頭，在旅館里他向法國情報人員提供了兩份珍貴的有關ENIGMA操作和轉子內部線路的資料，得到一萬馬克。靠這兩份資料，盟國就完全可以復制出一台軍用的ENIGMA機。
不過事情並不象想像的那麼簡單。要破譯ENIGMA密碼，靠這些情報還遠遠不夠。德軍的一份對ENIGMA的評估寫道：「即使敵人獲取了一台同樣的機器，它仍舊能夠保證其加密系統的保密性。」就算有了一台ENIGMA，如果不知道密鑰（就是轉子自身的初始方向，轉子之間的相互位置，以及連接板連線的狀況）的話，想破譯電文，就要嘗試數以億億計的組合，這是不現實的。
「加密系統的保密性只應建立在對密鑰的保密上，不應該取決於加密演算法的保密。」這是密碼學中的金科玉律。加密演算法可以直接是某個抽象的數學演算法，比如通用的DEA和RSA演算法，也可以是實現某個演算法的象ENIGMA這樣的加密機械或專門用於加密的電子晶元等加密器件，還可以是經過編譯的在計算機上可執行的加密程序，比如在互聯網通信中被廣泛使用的PGP（Pretty Good Privacy）。因為對加密演算法的保密是困難的。對手可以用竊取、購買的方法來取得演算法、加密器件或者程序。如果得到的是加密器件或者程序，可以對它們進行反向工程而最終獲得加密演算法。如果只是密鑰失密，那麼失密的只是和此密鑰有關的情報，日後通訊的保密性可以通過更換密鑰來補救；但如果是加密演算法失密，而整個系統的保密性又建立在演算法的秘密性上，那麼所有由此演算法加密的信息就會全部暴露。更糟糕是，為了使以後的通訊保持秘密，必須完全更換加密演算法，這意味著更新加密器械或更換程序。比起簡單地更換密鑰，這要耗費大量財富和管理資源（大規模更換加密器械和程序會使對手更有機會乘虛而入！）。
正如前面所言，ENIGMA的設計使得搞到了它的秘密的法國人也一籌莫展。法國密碼分析人員斷定這種密碼是不可破譯的。他們甚至根本就懶得根據搞到的情報去復制一台ENIGMA。
在法國和波蘭簽訂過一個軍事合作協議。波蘭方面一直堅持要取得所有關於ENIGMA的情報。既然看來自己拿著也沒什麼用，法國人就把從施密特那裡買來的情報交給了波蘭人。和法國人不同，破譯ENIGMA對波蘭來說至關重要，就算死馬也要當作活馬醫。現在他們總算能邁出最初的一步了。
在施密特提供的關於ENIGMA的情報中，不僅有關於ENIGMA構造和轉子內部連線的描述，還有德國人使用ENIGMA進行編碼的具體規定。每個月每台ENIGMA機的操作員都會收到一本當月的新密鑰，上面有此月每天使用的密鑰。比如說，第一天的密鑰可以是這個樣子：1.連接板的連接：A/L-P/R-T/D-B/W-K/F-O/Y。2.轉子的順序：2,3,1；轉子的初始方向：Q-C-W。
當操作員要發送某條消息時，他首先從密鑰本中查到以上信息。然後按照上面的規定，首先用連線把連接板上的A字母和L字母，P字母和R字母……連接起來；然後把2號轉子放在ENIGMA的第一個轉子位置上，把3號轉子放在第二個位置上，把1號轉子放在第三個位置上；最後，他調整轉子的方向（從照片上可以看到每個轉子的邊上都刻著一圈字母用來顯示轉子所處的方向），使得三個轉子上的字母Q、C和W分別朝上。在接收信息的另一方，操作員也進行同樣的准備（他也有一本同樣的密鑰本），就可以進行收信解碼的工作了。
調整好ENIGMA，操作員可以開始對明文加密了。但是我們看到每天只有一個密鑰，如果這一天的幾百封電報都以這個密鑰加密發送的話，暗中截聽信號的敵方就會取得大量的以同一密鑰加密的信息，這對保密工作來說不是個好兆頭。我們記得在簡單替換密碼的情況下，如果密碼分析專家能得到大量的密文，就可以使用統計方法將其破解。
盡管不知道對ENIGMA是否可以採用類似的統計方法，德國人還是留了個心眼。他們決定在按當日密鑰調整好ENIGMA機後並不直接加密要發送的明文。相反地，首先發送的是一個新的密鑰。連接板的連線順序和轉子的順序並不改變，和當日通用的密鑰相同；想反地，轉子的初始方向將被改變。操作員首先按照上面所說的方法按當日密鑰調整好ENIGMA，然後隨機地選擇三個字母，比如說PGH。他把PGH在鍵盤上連打兩遍，加密為比如說KIVBJE（注意到兩次PGH被加密為不同的形式，第一次KIV，第二次BJE，這正是ENIGMA的特點，它是一種復式替換密碼）。然後他把KIVBJE記在電文的最前面。接著他重新調整三個轉子的初始方向到PGH，然後才正式對明文加密。
用這種方法每一條電文都有屬於自己的三個表示轉子初始方向的密鑰。把密鑰輸入兩遍是為了防止偶然的發報或者接收錯誤，起著糾錯的作用。收報一方在按當日密鑰調整好ENIGMA機後，先輸入密文的頭六個字母KIVBJE，解密得到PGHPGH，於是確認沒有錯誤。然後把三個轉子的初始方向調整到PGH，接著就可以正式解密其餘的密文了。
如果不使用對每條電文都不同的密鑰，那麼每天很可能總共會有幾千條電文也就是幾百萬個字母的消息以同一個密鑰加密。而採用每條電文都有自己的密鑰這個方法後，當日密鑰所加密的就是很少的幾萬個字母，而且這些字母都是隨機選取，和有意義的電文性質不同，不可能用統計方法破譯。
乍一看來這種方法無懈可擊。可是波蘭人鐵了心，必須在這厚厚的護甲上撕出一個口子來。
在此以前，密碼分析人員通常是語言天才，精通對語言方面特徵的分析。但是既然ENIGMA是一種機械加密裝置，波蘭總參二局密碼處就考慮到，是否一個具有科學頭腦的人更適合於它的破譯工作呢？
1929年1月，波茲南大學數學系主任茲德齊斯羅·克里格羅夫斯基（Zdzislaw Krygowski）教授開列了一張系裡最優秀的數學家的名單，在這張名單上，有以後被稱為密碼研究「波蘭三傑」的馬里安·雷傑夫斯基（Marian Rejewski），傑爾茲·羅佐基（Jerzy Rozycki）和亨里克·佐加爾斯基（Henryk Zygalski）。波茲南大學並非當時波蘭最有名的大學，但是它地處波蘭南部，那裡直到1918年還是德國領土，所以所有這些數學家都能講流利的德語。
在三位被密碼局招聘的數學家中，雷傑夫斯基的表現最為出色。當年他是個架著一副近視眼鏡，臉上略帶羞色的二十三歲小夥子。他的在大學里學的專業是統計學，打算以後去干保險業行當，也許在此之前他從未想到會在密碼分析方面大展身手。在經過短期的密碼分析訓練後，他把所有的精力都投入到破解ENIGMA的工作中去。
雷傑夫斯基深知「重復乃密碼大敵」。在ENIGMA密碼中，最明顯的重復莫過於每條電文最開始的那六個字母——它由三個字母的密鑰重復兩次加密而成。德國人沒有想到這里會是看似固若金湯的ENIGMA防線的弱點。
德方每封密文最開始的六個字母，是此信密鑰的三個字母重復兩遍，由當日密鑰加密而成。比如說這封信的密鑰是ULJ（這是開始加密明文時由操作員臨時隨機選取的），那麼操作員首先用當日通用的密鑰加密ULJULJ，得到六個字母的加密後序列，比如說PEFNWZ，然後再用ULJ來作為密鑰加密正文，最後把PEFNWZ放在加密後的正文前，一起用電報發給收信方。
雷傑夫斯基每天都會收到一大堆截獲的德國電報，所以一天中可以得到許多這樣的六個字母串，它們都由同一個當日密鑰加密而成。比如說他收到四個電報，其中每封電報的開頭的六個字母為：第一封電報：L O K R G M；第二封電報：M V T X Z E；第三封電報：J K T M P E；第四封電報：D V Y P Z X。對於每封電報來說，它的第一個字母和第四個字母都是由同一個字母加密而來，同樣地第二和第五個字母以及第三和第六個字母也是分別由同一個字母加密而來。比如說在第一封電報中，字母L和R是由同一字母加密而來。這個字母之所以先被加密成L，然後又被加密成了R，是因為在此期間轉子向前轉動了三個字母的位置。
從L和R是由同一個字母加密而來這點，雷傑夫斯基就有了判斷轉子的初始位置的一條線索。當轉子處於這個初始位置時，字母L和R在某種意義下具有緊密的聯系。每天截獲的大量電文能夠給出許多這樣的緊密聯系，從而使雷傑夫斯基最終能夠判斷出轉子的初始位置。在上面的第二、三、四封電報中，我們看見M和X，J和M，D和P都有這種聯系：
第四個字母：___P_____M_RX_____________
如果雷傑夫斯基每天可以得到充分多的電報，他就可以把上面這個關系表補充完整：
第四個字母：FQHPLWOGBMVRXUYCZITNJEASDK
光憑這個對應表格，雷傑夫斯基還是沒辦法知道當天的通用密鑰。可是他知道，這個表格是由當天的通用密鑰決定的，而且只由它決定。如果密鑰不同，那麼這個表格也應該不同——那麼，有沒有一種辦法可以從這個對應表來推斷出當日的通用密鑰呢？雷傑夫斯基對這樣的表格進行了仔細觀察。從字母A開始看，它被對應成F；而F在此表中又被對應成W，接下去它被對應成A，我們又回到了最先開始的字母，於是就有了一個循環的字母圈A→F→W→A。如果考慮所有的字母，雷傑夫斯基就能寫出關於此對應表的所有的循環圈：A→F→W→A。
3個字母的循環圈B→Q→Z→K→V→E→L→R→I→B；9個字母的循環圈C→H→G→O→Y→D→P→C；7個字母的循環圈J→M→X→S→T→N→U→J。
7個字母的循環圈這里我們只是考慮了第一和第四個字母形成的對應表。同樣地對第二和第五、第三和第六個字母形成的對應表，我們也可以寫出類似的字母循環圈。由於每天的密鑰都不同，雷傑夫斯基得到的循環圈也各不相同。
雷傑夫斯基觀察到，這些循環圈長短不一。這使他有了一個重要的靈感：雖然這些循環圈是由當日密鑰，也就是轉子的位置，它們的初始方向以及連接板上字母置換造成的，但是每組循環圈的個數和每個循環圈的長度，卻僅僅是由轉子的位置和它們的初始方向決定的，和連接板上字母交換的情況無關！
假定在上面這個例子中，原來在接線板上字母S和G由一根連線相連。轉子的位置和它們的初始方向保持不變，去掉這根連線而將字母T和K連在一起，那麼第一和第四個字母的對應表就會變成：
第一個字母：ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ，第四個字母：FQHPLWKSBMNRXUYCZIOVJEAGDT（原來的G對應O，S對應T，去掉G和S的連線後，G就對應T，但是T被新的連線接到了K，所以G最終對應著K。其他受影響的字母還有H、K、S、T、X、Z）。而循環圈表就變成了：A→F→W→A。
3個字母的循環圈B→Q→Z→T→V→E→L→R→I→B；9個字母的循環圈C→H→S→O→Y→D→P→C；7個字母的循環圈J→M→X→G→K→N→U→J。
7個字母的循環圈某些循環圈中的字母變了，但是循環圈的數目仍舊是四個，每個循環圈的長度也沒有改變。應用置換變換的理論，雷傑夫斯基可以從數學上嚴格證明這一點對於任何的連線變化都是成立的。
這是一個非常重大的進展。我們知道，如果要強行試遍所有的密鑰來破解密文，那得要試一億億個密鑰之多；但是ENIGMA的數量巨大的密鑰主要是由連接板來提供的，如果只考慮轉子的位置和它們的初始方向，只有105456種可能性。雖然這還是一個很大的數字，但是把所有的可能性都試驗一遍，已經是一件可以做到的事情了。
波蘭人按照漢斯-提羅·施密特提供的情報復制出了ENIGMA樣機。到了1934年，他們有了十幾台波蘭造ENIGMA。雷傑夫斯基和他的同事們每天都在ENIGMA前工作，一個接一個地試驗轉子的不同位置和初始方向，然後產生相應的字母對應表並構造相應的字母循環圈，並把它們記錄下來。比如說其中的一個記錄可以是這樣的：第一和第四字母對應表中有4個循環圈，長度分別為3，9，7，7；
第二和第五字母對應表中有4個循環圈，長度分別為2，3，9，12；
第三和第六字母對應表中有5個循環圈，長度分別為5，5，5，3，8；
當對所有105456種轉子位置和初始方向都編好記錄以後，破譯ENIGMA生成的密文就比較容易了。首先要取得足夠的當日電文來構造字母對應表並且寫出字母循環圈；然後根據循環圈的數目和它們的長度從記錄表中檢索出相對應的轉子位置和初始方向：這就是當日的密鑰（連接板的情況還未知）。循環圈的個數和長度可以看作是這個密鑰的「指紋」——通過建立密鑰「指紋」檔案，雷傑夫斯基就能及時地把當天的密鑰找出來。通過分離轉子的狀態和連接板的狀態，雷傑夫斯基大大簡化了破譯ENIGMA的工作。建立這樣一個檔案花了整整一年時間，工作相當艱苦，有時工作人員的手指都被磨出血來。
必須指出的是，上面對雷傑夫斯基的工作的介紹是極其簡單化的，只以舉例的形式介紹了其中最重要的思路。雷傑夫斯基對於ENIGMA的分析是在密碼分析史上最重要的成就之一，整個工作都是嚴格地數學化了的（求解關於置換矩陣的方程），決非上面所舉例子可以包含。比如說，找到當日密鑰中轉子狀態後，還需要找到連接板狀態，才能真正譯出密文。另外，ENIGMA中轉子中的線路並非總是固定不變，雷傑夫斯基的理論允許從密文和密鑰倒推出轉子內部的連線狀態。即便是施密特提供的情報也未明確指出轉子內部的連線狀態，雷傑夫斯基一項重要工作就是成功地判斷出軍用型ENIGMA的轉子上字母以字母表順序排列，而不是如商用型那樣，字母以鍵盤上的順序排列。另外還要指出的是，雷傑夫斯基的同事，尤其是另兩位數學家羅佐基和佐加爾斯基在破譯工作中也作出了很重要的貢獻。佐加爾斯基還設計了用在紙上鑽孔的方法來迅速查詢對應於某類字母循環圈的轉子狀態的方法。
在雷傑夫斯基和他的同事的努力下，波蘭情報部門在後來的幾年裡成功地掌握了大量德國方面的情報。據估計，在1933年1月到1939年9月這六年多的時間里，波蘭方面一共破譯了近十萬條德方的消息，其中最重要的有德國在包括蘇台德地區兵力重新部署的情報，這對波蘭的安全是極大的威脅。對ENIGMA的破解即便在總參二局領導層內部也屬最高機密，軍官們會收到標有「維奇爾」（Wicher，破譯ENIGMA行動的代號）的情報，他們被告知這些情報絕對可靠，但來源絕密。1934年，納粹德國元帥赫爾曼·戈林訪問華沙，他怎麼也沒有懷疑波蘭人已經掌握了他的機密。當他和德國高級官員向位處波蘭密碼處附近的無名戰士墓獻花圈時，雷傑夫斯基正透過辦公室的窗子望著他們，心中為自己能知道他們最機密的通訊而狂喜不已。
當德國人對ENIGMA轉子連線作出一點改動以後，花了一年功夫建立起來的密鑰「指紋」檔案就變得毫無用處了。但是雷傑夫斯基和羅佐基有了一個更好的主意。他們在ENIGMA的基礎上設計了一台能自動驗證所有26*26*26=17576個轉子方向的機器，為了同時試驗三個轉子的所有可能位置的排列，就需要6台同樣的機器（這樣就可以試遍所有的17576*6=105456種轉子位置和初始方向）。所有這6台ENIGMA和為使它們協作的其他器材組成了一整個大約一米高的機器，能在兩小時內找出當日密鑰。羅佐基把它取名為「炸彈」（La Bomba），可能是因為它運轉起來震耳欲聾的聲響；不過也有人傳說，製造這樣一台機器的主意是雷傑夫斯基一次在飯店裡吃叫做「炸彈」的冰淇淋時想到的。無論如何，「炸彈」實現了密碼分析機械化，它是對ENIGMA機械加密的一種很自然的回應手段。
30年代的大部分日子裡，雷傑夫斯基和他的同事們不斷地從事著尋找密鑰的工作，時不時地還要修復出了故障的「炸彈」。他們不知道的是，在密碼處處長格維多·蘭傑（Gwido Langer）少校的抽屜里，已經有了他們正在絞盡腦汁試圖尋找的東西。
事實上，在提供了兩份極其重要的關於ENIGMA的情報後，漢斯-提羅·施密特還在繼續向法國情報機關提供關於德國通訊的情報。在1931年後的七年中，他和法國情報人員接頭二十次，每次都提供若干德國通訊用密碼本，上面記載著一個月中每天使用的當日密鑰。漢斯-提羅·施密特總共提供了三十八個月的密碼。蘭傑少校通過法國密碼處（「第二處」）負責人居斯塔夫·貝特朗（Guistav Bertrand）上尉得到了這些密碼本。如果雷傑夫斯基能夠預先知道這些密碼，無疑可以節省大量的時間，從而進行其他的同樣十分重要的破譯工作。
但是蘭傑少校覺得雷傑夫斯基的小組應該習慣於單獨工作，以便在將來得不到密碼本的時候，也能同樣破譯ENIGMA。我們的確不知道，如果自1931年來沒有這樣的壓力，雷傑夫斯基是否能夠有上面所述的重要工作。
波蘭密碼局的破譯能力在1938年的十二月達到了極限，德國人加強了ENIGMA的加密能力。每台ENIGMA機增加了兩個可供選擇的轉子。原來三個轉子不同的排列方式有6種，從五個轉子中選取三個裝入機器中的方式達到了5*4*3=60種。這就意味著要達到原來的效率，「炸彈」中必須有60台機器同時運轉，而不是原來的6台。建造這樣一台「炸彈」的價格是密碼處總預算的十五倍！在1939年一月，連接板上的連線又由六根增加到十根，這樣就只剩6個字母不會被交換。密鑰的總數達到了一萬五千九百億億個，是原來的一萬五千九百倍。
雖然波蘭數學家們成功地推斷出了第四和第五個轉子中的連線狀態，雷傑夫斯基也證明了ENIGMA並非象德國人或盟國密碼分析專家想像的那樣堅不可破，但是他的方法終於也不適用了。這時蘭傑少校應該從他的抽屜里拿出施密特提供的密碼本來——但是正是德國人增加轉子個數的時候，施密特停止了和法國情報部門的接頭。七年中施密特不斷地提供給波蘭人能靠自己的力量破譯的密鑰，波蘭人急需這些密鑰，他們卻再也搞不到了。
這對波蘭是一個致命的打擊。因為ENIGMA不僅僅是德國秘密通訊的手段，更是希特勒「閃電戰」（blitzkrieg）的關鍵。所謂的「閃電戰」是一種大規模快速協同作戰，各裝甲部隊之間，它們和步兵、炮兵之間必須能夠快速而保密地進行聯系。不僅如此，地面部隊的進攻還必須由斯圖卡轟炸機群掩護支援，它們之間也必須有可靠的聯絡手段。閃電戰的力量在於：在快速的通訊保證下的快速進攻。
如果波蘭不能知道德軍的通訊，那麼想要抵擋德國的入侵是毫無希望的，現在看來這在幾個月里就會發生。1939年4月27日德國撕毀同波蘭簽訂的互不侵犯條約，侵佔了蘇台德地區；在德國國內，反波蘭的聲浪不斷高漲。在此情況下，蘭傑少校決定把直到現在還對盟國保密的關於ENIGMA的破譯方法告訴盟國同行，以便在波蘭遭到入侵後，擁有更大人力物力財力的盟國還可以繼續對雷傑夫斯基的方法進行研究。
蘭傑少校致電他的英國和法國同行，邀請他們來華沙緊急討論有關ENIGMA的事項。英法密碼分析專家到達波蘭密碼處總部，全然不知波蘭人葫蘆里賣的什麼葯。具有諷刺意味的是，這次會面中用來交流使用的語言是……德語——這是唯一的在場三方所有人都懂的語言。蘭傑少校將他們領到一間房間，在那裡有一個被黑布蒙住的東西，當黑布被揭開時，英法的密碼分析專家目瞪口呆。出現在他們眼前的是一台雷傑夫斯基的「炸彈」。當聽到雷傑夫斯基破譯ENIGMA的方法時，他們意識到波蘭在密碼分析方面比世界上任何國家先進至少十年。法國人尤其吃驚，他們以為他們得到的情報用處不大，所以很慷慨地把它們轉給了波蘭人，他們卻讓波蘭人一直瞞著。英法密碼分析專家對波蘭同行的感激是無以言表的，直到那時，他們在破譯德國密碼的方面毫無進展。
蘭傑少校給英法密碼分析專家的最後驚喜是宣布贈送給他們兩台ENIGMA的復製品，以及「炸彈」的圖紙，它們由法國密碼處的貝特朗（他是個少校了）通過外交郵包寄往巴黎。在橫渡英吉利海峽的渡船上有兩位看似平常的旅客：英國作家沙夏·居特里（Sacha Guitry）和他的太太女演員依弗娜·普林坦普斯（Yvonne Printemps）。但是在他們的旅行箱里卻藏著當時英國最高的機密：一台波蘭製造的ENIGMA。為了避開無所不在的德國間諜的耳目，ENIGMA就這樣來到了英國，在那裡等待它的將是它的徹底滅亡。
兩星期後的1939年9月1日，希特勒發動「閃電戰」入侵波蘭。9月17日，蘇聯入侵波蘭。9月28日，德軍佔領華沙，波蘭不復存在。

2. 如何做黃金分割點

把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數，取其前三位數字的近似值是0.618。由於按此比例設計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這是一個十分有趣的數字，我們以0.618來近似，通過簡單的計算就可以發現：
1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618
這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建築等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用。

讓我們首先從一個數列開始，它的前面幾個數是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..這個數列的名字叫做"菲波那契數列"，這些數被稱為"菲波那契數"。特點是即除前兩個數（數值為1）之外，每個數都是它前面兩個數之和。

菲波那契數列與黃金分割有什麼關系呢？經研究發現，相鄰兩個菲波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸趨於黃金分割比的。即f(n)/f(n-1)-→0.618…。由於菲波那契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。但是當我們繼續計算出後面更大的菲波那契數時，就會發現相鄰兩數之比確實是非常接近黃金分割比的。

不僅這個由1,1,2,3,5....開始的"菲波那契數"是這樣,隨便選兩個整數,然後按照菲波那契數的規律排下去,兩數間比也是會逐漸逼近黃金比的

一個很能說明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，我國的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，這是為什麼？因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關系都是符合黃金分割比的。正五邊形對角線連滿後出現的所有三角形，都是黃金分割三角形。

由於五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數值為2Sin18 。
黃金分割點約等於0．618：1
是指分一線段為兩部分，使得原來線段的長跟較長的那部分的比為黃金分割的點。線段上有兩個這樣的點。

利用線段上的兩黃金分割點，可作出正五角星，正五邊形。
2000多年前,古希臘雅典學派的第三大算學家歐道克薩斯首先提出黃金分割。所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對於全部之比，等於另一部分對於該部分之比。而計算黃金分割最簡單的方法，是計算斐波契數列1，1，2，3，5，8，13，21，...後二數之比2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,...近似值的。
黃金分割在文藝復興前後，經過阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱之為"金法"，17世紀歐洲的一位數學家，甚至稱它為"各種演算法中最可寶貴的演算法"。這種演算法在印度稱之為"三率法"或"三數法則"，也就是我們現在常說的比例方法。

其實有關"黃金分割"，我國也有記載。雖然沒有古希臘的早，但它是我國古代數學家獨立創造的，後來傳入了印度。經考證。歐洲的比例演算法是源於我國而經過印度由阿拉伯傳入歐洲的，而不是直接從古希臘傳入的。
因為它在造型藝術中具有美學價值，在工藝美術和日用品的長寬設計中，採用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的應用也非常廣泛，建築物中某些線段的比就科學採用了黃金分割，舞台上的報幕員並不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一側，以站在舞台長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播的最好。就連植物界也有採用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規律排列著的。在很多科學實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數找到合理的西方和合適的工藝條件。正因為它在建築、文藝、工農業生產和科學實驗中有著廣泛而重要的應用，所以人們才珍貴地稱它為"黃金分割"。
黃金分割〔Golden Section〕是一種數學上的比例關系。黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值。應用時一般取0.618 ，就像圓周率在應用時取3.14一樣。

黃金矩形(Golden Rectangle)的長寬之比為黃金分割率,換言之,矩形的長邊為短邊 1.618倍.黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感,令人愉悅.在很多藝術品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的帕撒神農廟就是一個很好的例子,他的<維特魯威人>符合黃金矩形.<蒙娜麗莎>的臉也符合黃金矩形,<最後的晚餐>同樣也應用了該比例布局.

發現歷史

由於公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割。

公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，並建立起比例理論。

公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。

中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，義大利數家帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此著書立說。德國天文學家開普勒稱黃金分割為神聖分割。

到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法，是由美國數學家基弗於1953年首先提出的，70年代在中國推廣。

|..........a...........|

+-------------+--------+ -
| | | .
| | | .
| B | A | b
| | | .
| | | .
| | | .
+-------------+--------+ -

|......b......|..a-b...|
通常用希臘字母 表示這個值。

黃金分割奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的。例如：1.618的倒數是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。
確切值為(√5-1)/2
黃金分割數是無理數，前面的1024位為:

0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576
2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374
8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766
7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221
2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053
1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834
7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764
8610283831 2683303724 2926752631 392473 1671112115
8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175
3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093
9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264
7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149
9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
1076738937 6455606060 5922...

生活應用

有趣的是，這個數字在自然界和人們生活中到處可見：人們的肚臍是人體總長的黃金分割點，人的膝蓋是肚臍到腳跟的黃金分割點。大多數門窗的寬長之比也是0.618…；有些植莖上，兩張相鄰葉柄的夾角是137度28'，這恰好是把圓周分成1:0.618……的兩條半徑的夾角。據研究發現，這種角度對植物通風和採光效果最佳。

建築師們對數學0.618…特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的聖母院，或者是近世紀的法國埃菲爾鐵塔，都有與0.618…有關的數據。人們還發現，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的0.618…處。藝術家們認為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618…處，能使琴聲更加柔和甜美。

數字0.618…更為數學家所關注，它的出現，不僅解決了許多數學難題(如：十等分、五等分圓周；求18度、36度角的正弦、餘弦值等)，而且還使優選法成為可能。優選法是一種求最優化問題的方法。如在煉鋼時需要加入某種化學元素來增加鋼材的強度，假設已知在每噸鋼中需加某化學元素的量在1000—2000克之間，為了求得最恰當的加入量，需要在1000克與2000克這個區間中進行試驗。通常是取區間的中點(即1500克)作試驗。然後將試驗結果分別與1000克和2000克時的實驗結果作比較，從中選取強度較高的兩點作為新的區間，再取新區間的中點做試驗，再比較端點，依次下去，直到取得最理想的結果。這種實驗法稱為對分法。但這種方法並不是最快的實驗方法，如果將實驗點取在區間的0.618處，那麼實驗的次數將大大減少。這種取區間的0.618處作為試驗點的方法就是一維的優選法，也稱0.618法。實踐證明，對於一個因素的問題，用「0.618法」做16次試驗就可以完成「對分法」做2500次試驗所達到的效果。因此大畫家達·芬奇把0.618…稱為黃金數。

0.618與戰爭
0.618與戰略戰役

0.618，一個極為迷人而神秘的數字，而且它還有著一個很動聽的名字——黃金分割律，它是古希臘著名哲學家、數學家畢達哥拉斯於2500多年前發現的。古往今來，這個數字一直被後人奉為科學和美學的金科玉律。在藝術史上，幾乎所有的傑出作品都不謀而合地驗證了這一著名的黃金分割律，無論是古希臘帕特農神廟，還是中國古代的兵馬俑，它們的垂直線與水平線之間竟然完全符合1比0.618的比例。

也許，0.618在科學藝術上的表現我們已了解了很多，但是，你有沒有聽說過，0.618還與炮火連天、硝煙彌漫、血肉橫飛的慘烈、殘酷的戰場也有著不解之緣，在軍事上也顯示出它巨大而神秘的力量？

0.618與武器裝備

在冷兵器時代，雖然人們還根本不知道黃金分割率這個概念，但人們在製造寶劍、大刀、長矛等武器時，黃金分割率的法則也早已處處體現了出來，因為按這樣的比例製造出來的兵器，用起來會更加得心應手。

當發射子彈的步槍剛剛製造出來的時候，它的槍把和槍身的長度比例很不科學合理，很不方便於抓握和瞄準。到了1918年，一個名叫阿爾文·約克的美遠征軍下士，對這種步槍進行了改造，改進後的槍型槍身和槍把的比例恰恰符合0.618的比例。

實際上，從鋒利的馬刀刃口的弧度，到子彈、炮彈、彈道導彈沿彈道飛行的頂點；從飛機進入俯沖轟炸狀態的最佳投彈高度和角度，到坦克外殼設計時的最佳避彈坡度，我們也都能很容易地發現黃金分割率無處不在。

在大炮射擊中，如果某種間瞄火炮的最大射程為12公里，最小射程為4公里，則其最佳射擊距離在9公里左右，為最大射程的2/3，與0.618十分接近。在進行戰斗部署時，如果是進攻戰斗，大炮陣地的配置位置一般距離己方前沿為1/3倍最大射程處，如果是防禦戰斗，則大炮陣地應配置距己方前沿2/3倍最大射程處。

0.618與戰術布陣

在我國歷史上很早發生的一些戰爭中，就無不遵循著0.618的規律。春秋戰國時期，晉厲公率軍伐鄭，與援鄭之楚軍決戰於鄢陵。厲公聽從楚叛臣苗賁皇的建議，把楚之右軍作為主攻點，因此以中軍之一部進攻楚軍之左軍；以另一部進攻楚軍之中軍，集上軍、下軍、新軍及公族之卒，攻擊楚之右軍。其主要攻擊點的選擇，恰在黃金分割點上。

把黃金分割律在戰爭中體現得最為出色的軍事行動，還應首推成吉思汗所指揮的一系列戰事。數百年來，人們對成吉思汗的蒙古騎兵，為什麼能像颶風掃落葉般地席捲歐亞大陸頗感費解，因為僅用游牧民族的彪悍勇猛、殘忍詭譎、善於騎射以及騎兵的機動性這些理由，都還不足以對此做出令人完全信服的解釋。或許還有別的更為重要的原因？仔細研究之下，果然又從中發現了黃金分割律的偉大作用。蒙古騎兵的戰斗隊形與西方傳統的方陣大不相同，在它的5排制陣形中，人盔馬甲的重騎兵和快捷靈動輕騎兵的比例為2:3，這又是一個黃金分割！你不能不佩服那位馬背軍事家的天才妙悟，被這樣的天才統帥統領的大軍，不縱橫四海、所向披靡，那才怪呢。

馬其頓與波斯的阿貝拉之戰，是歐洲人將0.618用於戰爭中的一個比較成功的範例。在這次戰役中，馬其頓的亞歷山大大帝把他的軍隊的攻擊點，選在了波斯大流士國王的軍隊的左翼和中央結合部。巧的是，這個部位正好也是整個戰線的「黃金點」，所以盡管波斯大軍多於亞歷山大的兵馬數十倍，但憑借自己的戰略智慧，亞歷山大把波斯大軍打得潰不成軍。這一戰爭的深刻影響直到今天仍清晰可見， 在海灣戰爭中，多國部隊就是採用了類似的布陣法打敗了伊拉克軍隊。

兩支部隊交戰，如果其中之一的兵力、兵器損失了1/3以上，就難以再同對方交戰下去。正因為如此，在現代高技術戰爭中，有高技術武器裝備的軍事大國都採取長時間空中打擊的辦法，先徹底摧毀對方1/3以上的兵力、武器，爾後再展開地面進攻。讓我們以海灣戰爭為例。戰前，據軍事專家估計，如果共和國衛隊的裝備和人員，經空中轟炸損失達到或超過30%，就將基本喪失戰鬥力。為了使伊軍的損耗達到這個臨界點，美英聯軍一再延長轟炸時間，持續38天，直到摧毀了伊拉克在戰區內428輛坦克中的38%、2280輛裝甲車中的32%、3100門火炮中的47%，這時伊軍實力下降至60%左右，這正是軍隊喪失戰鬥力的臨界點。也就是將伊拉克軍事力量削弱到黃金分割點上後，美英聯軍才抽出「沙漠軍刀」砍向薩達姆，在地面作戰只用了100個小時就達到了戰爭目的。在這場被譽為「沙漠風暴」的戰爭中，創造了一場大戰僅陣亡百餘人奇跡的施瓦茨科普夫將軍，算不上是大師級人物，但他的運氣卻幾乎和所有的軍事藝術大師一樣好。其實真正重要的並不是運氣，而是這位率領一支現代大軍的統帥，在進行戰爭的運籌帷幄中，有意無意地涉及了0.618，也就是說，他多多少少託了黃金分割律的福。

此外，在現代戰爭中，許多國家的軍隊在實施具體的進攻任務時，往往是分梯隊進行的，第一梯隊的兵力約占總兵力的2/3，第二梯隊約佔1/3。在第一梯隊中，主攻方向所投入的兵力通常為第一梯隊總兵力的2/3，助攻方向則為1/3。防禦戰斗中，第一道防線的兵力通常為總數的2/3，第二道防線的兵力兵器通常為總數的1/3。

拿破崙大帝敗於黃金分割線？

0.618不僅在武器和一時一地的戰場布陣上體現出來，而且在區域廣闊、時間跨度長的宏觀的戰爭中，也無不得到充分地展現。

一代梟雄的的拿破崙大帝可能怎麼也不會想到，他的命運會與0.618緊緊地聯系在一起。1812年6月，正是莫斯科一年中氣候最為涼爽宜人的夏季，在未能消滅俄軍有生力量的博羅金諾戰役後，拿破崙於此時率領著他的大軍進入了莫斯科。這時的他可是躊躇滿志、不可一世。他並未意識到，天才和運氣此時也正從他身上一點點地消失，他一生事業的頂峰和轉折點正在同時到來。後來，法軍便在大雪紛揚、寒風呼嘯中灰溜溜地撤離了莫斯科。三個月的勝利進軍加上兩個月的盛極而衰，從時間軸上看，法蘭西皇帝透過熊熊烈焰俯瞰莫斯科城時，腳下正好就踩著黃金分割線。

1941年6月22日，納粹德國啟動了針對蘇聯的「巴巴羅薩」計劃，實行閃電戰，在極短的時間里，就迅速佔領了的蘇聯廣袤的領土，並繼續向該國的縱深推進。在長達兩年多的時間里，德軍一直保持著進攻的勢頭，直到1943年8月，「巴巴羅薩」行動結束，德軍從此轉入守勢，再也沒能力對蘇軍發起一次可以稱之為戰役行動的進攻。被所有戰爭史學家公認為蘇聯衛國戰爭轉折點的斯大林格勒戰役，就發生在戰爭爆發後的第17個月，正是德軍由盛而衰的26個月時間軸線的黃金分割點。

我們常常聽說有「黃金分割」這個詞，「黃金分割」當然不是指的怎樣分割黃金，這是一個比喻的說法，就是說分割的比例像黃金一樣珍貴。那麼這個比例是多少呢？是0.618。人們把這個比例的分割點，叫做黃金分割點，把0.618叫做黃金數。並且人們認為如果符合這一比例的話，就會顯得更美、更好看、更協調。在生活中，對「黃金分割」有著很多的應用。

最完美的人體：肚臍到腳底的距離/頭頂到腳底的距離=0.618

最漂亮的臉龐：眉毛到脖子的距離/頭頂到脖子的距離=0.618

證明方法

設一條線段AB的長度為a，C點在靠近B點的黃金分割點上且AC為b
AC/AB=BC/AC
b^2=a*(a-b)
b^2=a^2-ab
a^-ab+(1/4)b^2=(5/4)*b^2
(a-b/2)^2=(5/4)b^2
a-b/2=（根號5/2）*b
a-b/2=(根號5)b/2
a=b/2+(根號5)b/2
a=b(根號5+1）/2
a/b=(根號5+1）/2
線段的黃金分割(尺規作圖):
1.設已知線段為AB，過點B作BC⊥AB，且BC=AB/2；
2.連結AC；
3.以C為圓心，CB為半徑作弧，交AC於D；
4.以A為圓心，AD為半徑作弧，交AB於P，則點P就是AB的黃金分割點。

3. 黃金分割是什麼

黃金分割點約等於0．618：1
是指分一線段為兩部分，使得原來線段的長跟較長的那部分的比為黃金分割的點。線段上有兩個這樣的點。

利用線段上的兩黃金分割點，可作出正五角星，正五邊形。
2000多年前,古希臘雅典學派的第三大算學家歐道克薩斯首先提出黃金分割。所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對於全部之比，等於另一部分對於該部分之比。而計算黃金分割最簡單的方法，是計算斐波契數列1，1，2，3，5，8，13，21，...後二數之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值的。
黃金分割在文藝復興前後，經過阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱之為"金法"，17世紀歐洲的一位數學家，甚至稱它為"各種演算法中最可寶貴的演算法"。這種演算法在印度稱之為"三率法"或"三數法則"，也就是我們現在常說的比例方法。

其實有關"黃金分割"，我國也有記載。雖然沒有古希臘的早，但它是我國古代數學家獨立創造的，後來傳入了印度。經考證。歐洲的比例演算法是源於我國而經過印度由阿拉伯傳入歐洲的，而不是直接從古希臘傳入的。
因為它在造型藝術中具有美學價值，在工藝美術和日用品的長寬設計中，採用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的應用也非常廣泛，建築物中某些線段的比就科學採用了黃金分割，舞台上的報幕員並不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一側，以站在舞台長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播的最好。就連植物界也有採用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規律排列著的。在很多科學實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數找到合理的西方和合適的工藝條件。正因為它在建築、文藝、工農業生產和科學實驗中有著廣泛而重要的應用，所以人們才珍貴地稱它為"黃金分割"。
把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數，取其前三位數字的近似值是0.618。由於按此比例設計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這是一個十分有趣的數字，我們以0.618來近似，通過簡單的計算就可以發現：
1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618
這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建築等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用。

讓我們首先從一個數列開始，它的前面幾個數是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..這個數列的名字叫做"菲波那契數列"，這些數被稱為"菲波那契數"。特點是即除前兩個數（數值為1）之外，每個數都是它前面兩個數之和。

菲波那契數列與黃金分割有什麼關系呢？經研究發現，相鄰兩個菲波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸趨於黃金分割比的。即f(n)/f(n-1)-→0.618…。由於菲波那契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。但是當我們繼續計算出後面更大的菲波那契數時，就會發現相鄰兩數之比確實是非常接近黃金分割比的。

一個很能說明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，我們的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，這是為什麼？因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關系都是符合黃金分割比的。正五邊形對角線連滿後出現的所有三角形，都是黃金分割三角形。

由於五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數值為2Sin18
利用線段上的兩黃金分割點，可作出正五角星，正五邊形。
2000多年前,古希臘雅典學派的第三大算學家歐道克薩斯首先提出黃金分割。所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對於全部之比，等於另一部分對於該部分之比。而計算黃金分割最簡單的方法，是計算斐波契數列1，1，2，3，5，8，13，21，...後二數之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值的。
黃金分割在文藝復興前後，經過阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱之為"金法"，17世紀歐洲的一位數學家，甚至稱它為"各種演算法中最可寶貴的演算法"。這種演算法在印度稱之為"三率法"或"三數法則"，也就是我們現在常說的比例方法。

其實有關"黃金分割"，我國也有記載。雖然沒有古希臘的早，但它是我國古代數學家獨立創造的，後來傳入了印度。經考證。歐洲的比例演算法是源於我國而經過印度由阿拉伯傳入歐洲的，而不是直接從古希臘傳入的。
因為它在造型藝術中具有美學價值，在工藝美術和日用品的長寬設計中，採用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的應用也非常廣泛，建築物中某些線段的比就科學採用了黃金分割，舞台上的報幕員並不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一側，以站在舞台長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播的最好。就連植物界也有採用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規律排列著的。在很多科學實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數找到合理的西方和合適的工藝條件。正因為它在建築、文藝、工農業生產和科學實驗中有著廣泛而重要的應用，所以人們才珍貴地稱它為"黃金分割"。
黃金分割〔Golden Section〕是一種數學上的比例關系。黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值。應用時一般取1.618 ，就像圓周率在應用時取3.14一樣。

發現歷史
由於公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割。

公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，並建立起比例理論。

公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。

中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，義大利數家帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此著書立說。德國天文學家開普勒稱黃金分割為神聖分割。

到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法，是由美國數學家基弗於1953年首先提出的，70年代在中國推廣。

|..........a...........|

+-------------+--------+ -
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| B | A | b
| | | .
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+-------------+--------+ -

|......b......|..a-b...|
通常用希臘字母 表示這個值。

黃金分割奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的。例如：1.618的倒數是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。
確切值為根號5+1/2
黃金分割數是無理數，前面的1024位為:

1.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576
2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374
8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766
7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221
2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
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1076738937 6455606060 5922...
黃金分割對攝影畫面構圖可以說有著自然聯系。例如照相機的片窗比例：135相機就是24X36即2:3的比例，這是很典型的。120相機4.5X6近似3:5,6X6雖然是方框，但在後期製作用，仍多數裁剪為長方形近似黃金分割的比例。只要我們翻開影集看一看，就會發現，大多數的畫幅形式，都是近似這個比例。這可能是受傳統的影響，也養成了人們的審美習慣。另外，也確實因為它具有悅目的性質，所以有時人們在時間中並非注意到這個比例，而特意去運用它，但往往就不自覺中，進入了這個法則之中。這也說明了，黃金分割的本身就存在有美的性質。在攝影實踐中，運用黃金分割法則，主要表象在黃金分割點、線、面的運用中。黃金分割點，在全景構圖中，多是主要表現對象，或是視覺中心所處的位置，在中、近景構圖中，多是景物主要部位所處的位。在人像構圖中常常是將人的眼睛處理在近於黃金分割點的位置。黃金分割線，多用作地平線、水平線、天際線所處的位置。

《夢幻曲》是一首帶再現三段曲式，由A、B和A′三段構成。每段又由等長的兩個4小節樂句構成。全曲共分6句，24小節。理論計算黃金分割點應在第14小節（240.618=14.83），與全曲高潮正好吻合。有些樂曲從整體至每一個局部都合乎黃金比例，本曲的六個樂句在各自的第2小節進行負相分割（前短後長）；本曲的三個部分A、B、Aˊ在各自的第二樂句第2小節正相分割（前長後短），這樣形成了樂曲從整體到每一個局部多層復合分割的生動局面，使樂曲的內容與形式更加完美。大、中型曲式中的奏鳴曲式、復三段曲式是一種三部性結構，其他如變奏曲、迴旋曲及某些自由曲式都存在不同程度的三部性因素。黃金比例的原則在這些大、中型樂曲中也得到不同程度的體現。一般來說，曲式規模越大，黃金分割點的位置在中部或發展部越*後，甚至推遲到再現部的開端，這樣可獲得更強烈的藝術效果。莫扎特《D大調奏鳴曲》第一樂章全長160小節，再現部位於第99小節，不偏不依恰恰落在黃金分割點上（1600.618=98.88）。據美國數學家喬巴茲統計，莫扎特的所有鋼琴奏鳴曲中有94%符合黃金分割比例，這個結果令人驚嘆。我們未必就能弄清，莫扎特是有意識地使自己的樂曲符合黃金分割呢，抑或只是一種純直覺的巧合現象。然而美國的另一位音樂家認為。"我們應當知道，創作這些不朽作品的莫扎特，也是一位喜歡數字游戲的天才。莫扎特是懂得黃金分割，並有意識地運用它的。"貝多芬《悲愴奏鳴曲》Op.13第二樂章是如歌的慢板，迴旋曲式，全曲共73小節。理論計算黃金分割點應在45小節，在43小節處形成全曲激越的高潮，並伴隨著調式、調性的轉換，高潮與黃金分割區基本吻合。肖邦的《降D大調夜曲》是三部性曲式。全曲不計前奏共76小節，理論計算黃金分割點應在46小節，再現部恰恰位於46小節，是全曲力度最強的高潮所在，真是巧奪天工。我們再舉一首大型交響音樂的範例，俄國偉大作曲家裡姆斯－柯薩科夫在他的《天方夜譚》交響組曲的第四樂章中，寫至辛巴達的航船在洶涌滔天的狂濤惡浪里，無可挽回地猛撞在有青銅騎士像的峭壁上的一剎那，在整個樂隊震耳欲聾的音浪中，樂隊敲出一記強有力的鑼聲，鑼聲延長了六小節，隨著它的音響逐漸消失，整個樂隊力度迅速下降，象徵著那艘支離破碎的航船沉入到海底深淵。在全曲最高潮也就是"黃金點"上，大鑼致命的一擊所造成的悲劇性效果懾人心魂。

黃金律歷來被染上瑰麗詭秘的色彩，被人們稱為"天然合理"的最美妙的形式比例。世界上到處都存在數的美，對於我們的眼睛，尤其是對我們學習音樂的人的耳朵來說，"美是到處都有的，不是缺乏美，而是缺少發現"。

"0.618"還始終與軍事發展有不解之緣，而且常常與戰爭不期而遇。無論是古希臘帕特農神廟的美輪，還是中國古代的兵馬俑，它們的垂直線與水平線之間的關系竟然完全符合1∶0.618的比例。成吉思汗的蒙古騎兵橫掃歐亞大陸令人驚嘆。經過研究發現，蒙古騎兵的戰 斗隊形與西方傳統的方陣大不相同，在他的五排制陣型中,重騎兵和輕騎兵為2∶3，人盔馬甲的重騎兵為2，快捷靈活的輕騎兵為3，兩者在編配上恰巧符合黃金分割律。歐洲人是最早有意識地把黃金分割律運用於宗教和藝術方面的，而在軍事上的應用是從黑火葯時期開始的。那時滑膛槍呈現出取代長矛之勢，率先將滑膛槍 兵和長矛兵對半混編的荷蘭將軍摩利士未能突破傳統陣型的羈絆，瑞典國王古斯 塔夫對這種正面強翼側弱的陣型進行調整後，使瑞典軍隊變成了當時歐洲戰鬥力最強的軍隊。他的做法是，在摩利士將軍原來的216名長矛兵與198名滑膛槍兵混 合編組的基礎上，再增加96名滑膛槍兵，這一改變，順應了科技發展和武器裝備 進步對戰術發展的影響規律，突出了火器在戰斗中的作用，使之跨越了冷熱兵器時代的分水嶺。198+96名滑膛槍兵與216名長矛兵之比，讓我們又一次看到了黃金 分割律的神奇作用。1812年6月，拿破崙進攻俄國；9月，他在博羅金諾戰役後進入莫斯科，這時的拿破崙並未意識到天才和運氣正從他身上一點一點地消失，他一生事業的頂峰 和轉折點正同時到來。一個月後，法軍便在大雪紛飛中撤離莫斯科，三個月的勝 利進軍加上兩個月的盛極而衰，從時間軸線上看，拿破崙腳下正好踩在了黃金分割線上。

130年後的另一個6月，納粹德國啟動了針對蘇聯的"巴巴羅薩"計劃，在長 達兩年多的時間里，德軍一直保持進攻勢頭，直到1943年8月，"城堡"行動結束，德軍從此轉攻為守，再也沒有能對蘇軍發起一次戰役規模的進攻行動。被所有 戰史學家公認為蘇聯衛國戰爭轉折點的斯大林格勒戰役，就發生在戰爭爆發後的 第17個月，正是德軍由盛而衰的26個月時間軸線的黃金分割點.海灣戰爭中，美軍一再延長空襲時間，持續38天，直到摧毀了伊拉克在戰區內4280輛坦克中的38%、2280輛裝甲車中的32%、3100門火炮中的47%，也就是將伊 拉克軍事力量削弱到黃金分割點上後，才抽出"沙漠軍刀"砍向薩達姆，地面作戰只用100個小時就達成了戰爭目的。

透過戰爭中的一些零散戰例，依稀可見"0.618"的影子在晃動、在徘徊。如 果孤立地看待它們，好似偶然巧合，但是如果太多的偶然遵循著同一個軌跡，那 就成為規律，就特別值得人們深入研究了。

一次無意中和同學在操場上打球，順手測量了雕相牛頓的鼻子，其鼻孔間的距離和到鼻樑的比剛好接近於0.618。之後又測量了幾個人的鼻子，結果符合黃金分割點。接下來的生活中對0.618變得很敏感，經過同學的推想與實踐，我們發現了多彌樂古牌的長寬之比，蝴蝶的身體部位之比，漂亮花瓣的長寬之比也都符合這一規律。查詢了很多的相關資料例如埃及金字塔便是這一規律的最好應用。

想像一下如何讓一根很普通的細橡皮筋發出「哆來咪」的聲音？把它拉緊，固定住，撥動一下，就是「1」，然後量出其長，作一道初三幾何題——把這條「線段」進行黃金分割， 可以測出「分割」得到的兩條線段中較長的一段，約是原線段長度的0.618倍。捏住這個點，撥動較長的那段「弦」，就發出「2」；再把這段較長線進行黃金分割，就找到了「3」， 以此類推「4、5、6、7」同樣可以找到。

你從電視中見過碧水輕流的安大略湖畔的加拿大名城多倫多嗎?這個高樓大廈鱗次櫛比的現 代化城市中，最醒目的建築就是高聳的多倫多電視塔，它器宇軒昂，直沖雲霄。有趣的是嵌 在塔中上部的扁圓的空中樓閣，恰好位於塔身全長的0.618倍處，即在塔高的黃金分割點上。它使瘦削的電視塔顯得和諧、典雅、別具一格。多倫多電視塔被稱為「高塔之王」，這個 奇妙的「0.618」起了決定性作用。與此類似，舉世聞名的法蘭西國土上的「高塔之祖」——埃菲爾鐵塔，它的第二層平台正好坐落在塔高的黃金分割點上，給鐵塔增添了無窮的魅力。

氣勢雄偉的建築物少不了「0.618」，藝術上更是如此。舞台上，演員既不是站在正中間， 也 不會站在台邊上，而是站在舞台全長的0.618倍處，站在這一點上，觀眾看上去才愜意。我們所熟悉的米洛斯的「維納斯」、「雅典娜」女神像及「海姑娘」阿曼達等一些名垂千古的 雕像中，都可以找到「黃金比值」——0.618，因而作品達到了美的奇境。

達·芬奇的《蒙娜麗莎》、拉斐爾筆下溫和俊秀的聖母像，都有意無意地用上了這個比值。因為人體的很多部位，都遵循著黃金分割比例。人們公認的最完美的臉型——「鵝蛋」形，臉寬與臉長的比值約為0.618，如果計算一下翩翩欲仙的芭蕾演員的優美身段，可以得知，他們的腿長與身 長的比值也大約是0.618，組成了人體的美。

我國一位二胡演奏家在漫長的演奏生涯中發現 ，如果把二胡的「千斤」放在琴弦某處，音色會無與倫比的美妙。經過數學家驗證，這一點恰恰是琴弦的黃金分割點0.618!黃金比值，在創造著奇跡!�

偶然嗎?不，在人們身邊，到處都有0.618的「傑作」：人們總是把桌面、門窗等做成長方形、寬與長比值為0.618。在數學上，0.618更是大顯神通。0.618，美的比值、美的色彩、美的旋律，廣泛地體現在人們的日常生活中，與人們關系甚密。0.618，奇妙的數字!它創造了無數的美，統一著人們的審美觀。

愛開玩笑的0.618，又製造了大量的「巧合」。在整個世界中，無處不閃耀著0.618那黃金一樣熠熠的光輝!人們時時刻刻在有意無意創造著一個個的黃金分割。只要稍微留心一下便可發現它離我們的生活有多近！數學離我們很近，無時不刻地在應用著它！

我們要首先感受並體會到數學學習中的美。數學美不同於其它的美，這種美是獨特的、內在的。這種美，正如英國著名哲學家、數理邏輯學家羅素所說：「數學，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高無上的美，正象雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美。這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂那樣華麗的服飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有偉大的藝術能顯示的那種完滿的境界。」課堂上老師經常給我們講數學美，通過高等數學的學習，我漸漸地領略到數學美的真正含義，這種感覺是奇異的、微妙的，是可以神會而難以言傳的，數學，對我來說，是那樣的富有魅力……在生活中只要我們善於觀察，善於思考，將所學的知識與生活結合起來將會感到數學的樂趣。生活中處處都應用著數學的知識。

4. 能不能幫我找一找一些科學家的資料急!急!急!急!急!

牛頓

我不知道在別人看來，我是什麼樣的人；但在我自己看來，我不過就象是一個在海濱玩耍的小孩，為不時發現比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜，而對於展現在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒有發現。

——牛頓

艾薩克·牛頓（Isaac Newton，1643年1月4日—1727年3月31日），英國數學家、物理學家和哲學家。牛頓在《自然哲學的數學原理》里提出的萬有引力定律以及他的牛頓運動定律是經典力學的基石，他還和萊布尼茨各自獨立地發明了微積分，被譽為人類歷史上最偉大的科學家之一。因為牛頓，經典力學又名為「牛頓力學」，而力的單位也叫做「牛頓」，另外，以牛頓命名的數學和科學術語還有「牛頓方程」、「牛頓-萊布尼茨公式」、「牛頓法」、「高斯－牛頓最小二乘法」、「牛頓環」、「非牛頓流體」等。

少年牛頓

1643年1月4日，在英格蘭林肯郡小鎮沃爾索浦的一個自耕農家庭里，牛頓誕生了。牛頓是一個早產兒，出生時只有三磅重，接生婆和他的親人都擔心他能否活下來。誰也沒有料到這個看起來微不足道的小東西會成為了一位震古爍今的科學巨人，並且竟活到了85歲的高齡。

牛頓出生前三個月父親便去世了。在他兩歲時，母親改嫁給一個牧師，把牛頓留在外祖母身邊撫養。11歲時，母親的後夫去世，母親帶著和後夫所生的一子二女回到牛頓身邊。牛頓自幼沉默寡言，性格倔強，這種習性可能來自它的家庭處境。

大約從五歲開始，牛頓被送到公立學校讀書。少年時的牛頓並不是神童，他資質平常，成績一般，但他喜歡讀書，喜歡看一些介紹各種簡單機械模型製作方法的讀物，並從中受到啟發，自己動手製作些奇奇怪怪的小玩意，如風車、木鍾、折疊式提燈等等。

傳說小牛頓把風車的機械原理摸透後，自己製造了一架磨坊的模型，他將老鼠綁在一架有輪子的踏車上，然後在輪子的前面放上一粒玉米，剛好那地方是老鼠可望不可及的位置。老鼠想吃玉米，就不斷的跑動，於是輪子不停的轉動；又一次他放風箏時，在繩子上懸掛著小燈，夜間村人看去驚疑是彗星出現；他還製造了一個小水鍾。每天早晨，小水鍾會自動滴水到他的臉上，催他起床。他還喜歡繪畫、雕刻，尤其喜歡刻日晷，家裡牆角、窗檯上到處安放著他刻畫的日晷，用以驗看日影的移動。

牛頓12歲時進了離家不遠的格蘭瑟姆中學。牛頓的母親原希望他成為一個農民，但牛頓本人卻無意於此，而酷愛讀書。隨著年歲的增大，牛頓越發愛好讀書，喜歡沉思，做科學小實驗。他在格蘭瑟姆中學讀書時，曾經寄宿在一位葯劑師家裡，使他受到了化學試驗的熏陶。

牛頓在中學時代學習成績並不出眾，只是愛好讀書，對自然現象由好奇心，例如顏色、日影四季的移動，尤其是幾何學、哥白尼的日心說等等。他還分門別類的記讀書筆記，又喜歡別出心裁的作些小工具、小技巧、小發明、小試驗。

當時英國社會滲透基督教新思想，牛頓家裡有兩位都以神父為職業的親戚，這可能影響牛頓晚年的宗教生活。從這些平凡的環境和活動中，還看不出幼年的牛頓是個才能出眾異於常人的兒童。

後來迫於生活，母親讓牛頓停學在家務農，贍養家庭。但牛頓一有機會便埋首書卷，以至經常忘了幹活。每次，母親叫他同傭人一道上市場，熟悉做交易的生意經時，他便懇求傭人一個人上街，自己則躲在樹叢後看書。有一次，牛頓的舅父起了疑心，就跟蹤牛頓上市鎮去，發現他的外甥伸著腿，躺在草地上，正在聚精會神地鑽研一個數學問題。牛頓的好學精神感動了舅父，於是舅父勸服了母親讓牛頓復學，並鼓勵牛頓上大學讀書。牛頓又重新回到了學校，如飢似渴地汲取著書本上的營養。

求學歲月

1661年，19歲的牛頓以減費生的身份進入劍橋大學三一學院，靠為學院做雜務的收入支付學費，1664年成為獎學金獲得者，1665年獲學士學位。

17世紀中葉，劍橋大學的教育制度還滲透著濃厚的中世紀經院哲學的氣味，當牛頓進入劍橋時，哪裡還在傳授一些經院式課程，如邏輯、古文、語法、古代史、神學等等。兩年後三一學院出現了新氣象，盧卡斯創設了一個獨辟蹊徑的講座，規定講授自然科學知識，如地理、物理、天文和數學課程。

講座的第一任教授伊薩克·巴羅是個博學的科學家。這位學者獨具慧眼，看出了牛頓具有深邃的觀察力、敏銳的理解力。於是將自己的數學知識，包括計算曲線圖形面積的方法，全部傳授給牛頓，並把牛頓引向了近代自然科學的研究領域。

在這段學習過程中，牛頓掌握了算術、三角，讀了開普勒的《光學》，笛卡爾的《幾何學》和《哲學原理》，伽利略的《兩大世界體系的對話》，胡克的《顯微圖集》，還有皇家學會的歷史和早期的哲學學報等。

牛頓在巴羅門下的這段時間，是他學習的關鍵時期。巴羅比牛頓大12歲，精於數學和光學，他對牛頓的才華極為贊賞，認為牛頓的數學才超過自己。後來，牛頓在回憶時說道：「巴羅博士當時講授關於運動學的課程，也許正是這些課程促使我去研究這方面的問題。」

當時，牛頓在數學上很大程度是依靠自學。他學習了歐幾里得的《幾何原本》、笛卡兒的《幾何學》、沃利斯的《無窮算術》、巴羅的《數學講義》及韋達等許多數學家的著作。其中，對牛頓具有決定性影響的要數笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術》，它們將牛頓迅速引導到當時數學最前沿～解析幾何與微積分。1664年，牛頓被選為巴羅的助手，第二年，劍橋大學評議會通過了授予牛頓大學學士學位的決定。

1665～1666年嚴重的鼠疫席捲了倫敦，劍橋離倫敦不遠，為恐波及，學校因此而停課，牛頓於1665年6月離校返鄉。

由於牛頓在劍橋受到數學和自然科學的熏陶和培養，對探索自然現象產生濃厚的興趣，家鄉安靜的環境又使得他的思想展翅飛翔。1665～1666年這段短暫的時光成為牛頓科學生涯中的黃金歲月，他在自然科學領域內思潮奔騰，才華迸發，思考前人從未思考過的問題，踏進了前人沒有涉及的領域，創建了前所未有的驚人業績。

1665年初，牛頓創立級數近似法,以及把任意冪的二項式化為一個級數的規則；同年11月，創立正流數法(微分)；次年1月，用三棱鏡研究顏色理論；5月，開始研究反流數法(積分)。這一年內，牛頓開始想到研究重力問題，並想把重力理論推廣到月球的運動軌道上去。他還從開普勒定律中推導出使行星保持在它們的軌道上的力必定與它們到旋轉中心的距離平方成反比。牛頓見蘋果落地而悟出地球引力的傳說，說的也是此時發生的軼事。

總之，在家鄉居住的兩年中，牛頓以比此後任何時候更為旺盛的精力從事科學創造，並關心自然哲學問題。他的三大成就：微積分、萬有引力、光學分析的思想都是在這時孕育成形的。可以說此時的牛頓已經開始著手描繪他一生大多數科學創造的藍圖。

1667年復活節後不久，牛頓返回到劍橋大學，10月1日被選為三一學院的仲院侶(初級院委)，翌年3月16日獲得碩士學位，同時成為正院侶(高級院委)。1669年10月27日，巴羅為了提攜牛頓而辭去了教授之職，26歲的牛頓晉升為數學教授，並擔任盧卡斯講座的教授。巴羅為牛頓的科學生涯打通了道路，如果沒有牛頓的舅父和巴羅的幫助，牛頓這匹千里馬可能就不會馳騁在科學的大道上。巴羅讓賢，這在科學史上一直被傳為佳話。

偉大的成就～建立微積分

在牛頓的全部科學貢獻中，數學成就佔有突出的地位。他數學生涯中的第一項創造性成果就是發現了二項式定理。據牛頓本人回憶，他是在1664年和1665年間的冬天，在研讀沃利斯博士的《無窮算術》時，試圖修改他的求圓面積的級數時發現這一定理的。

笛卡爾的解析幾何把描述運動的函數關系和幾何曲線相對應。牛頓在老師巴羅的指導下，在鑽研笛卡爾的解析幾何的基礎上，找到了新的出路。可以把任意時刻的速度看是在微小的時間范圍里的速度的平均值，這就是一個微小的路程和時間間隔的比值，當這個微小的時間間隔縮小到無窮小的時候，就是這一點的准確值。這就是微分的概念。

求微分相當於求時間和路程關系得在某點的切線斜率。一個變速的運動物體在一定時間范圍里走過的路程，可以看作是在微小時間間隔里所走路程的和，這就是積分的概念。求積分相當於求時間和速度關系的曲線下面的面積。牛頓從這些基本概念出發，建立了微積分。

微積分的創立是牛頓最卓越的數學成就。牛頓為解決運動問題，才創立這種和物理概念直接聯系的數學理論的，牛頓稱之為"流數術"。它所處理的一些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數的極大和極小值問題等，在牛頓前已經得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統一為兩類普通的演算法——微分和積分，並確立了這兩類運算的互逆關系，從而完成了微積分發明中最關鍵的一步，為近代科學發展提供了最有效的工具，開辟了數學上的一個新紀元。

牛頓沒有及時發表微積分的研究成果，他研究微積分可能比萊布尼茨早一些，但是萊布尼茨所採取的表達形式更加合理，而且關於微積分的著作出版時間也比牛頓早。

在牛頓和萊布尼茨之間，為爭論誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，這種爭吵在各自的學生、支持者和數學家中持續了相當長的一段時間，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期里閉關鎖國，囿於民族偏見，過於拘泥在牛頓的「流數術」中停步不前，因而數學發展整整落後了一百年。

應該說，一門科學的創立決不是某一個人的業績，它必定是經過多少人的努力後，在積累了大量成果的基礎上，最後由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣，是牛頓和萊布尼茨在前人的基礎上各自獨立的建立起來的。

1707年，牛頓的代數講義經整理後出版，定名為《普遍算術》。他主要討論了代數基礎及其(通過解方程)在解決各類問題中的應用。書中陳述了代數基本概念與基本運算，用大量實例說明了如何將各類問題化為代數方程，同時對方程的根及其性質進行了深入探討，引出了方程論方面的豐碩成果，如，他得出了方程的根與其判別式之間的關系，指出可以利用方程系數確定方程根之冪的和數，即「牛頓冪和公式」。

牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線圓(或稱曲線圓)概念，提出曲率公式及計算曲線的曲率方法。並將自己的許多研究成果總結成專論《三次曲線枚舉》，於1704年發表。此外，他的數學工作還涉及數值分析、概率論和初等數論等眾多領域。

偉大的成就～對光學的三大貢獻

在牛頓以前，墨子、培根、達·芬奇等人都研究過光學現象。反射定律是人們很早就認識的光學定律之一。近代科學興起的時候，伽利略靠望遠鏡發現了「新宇宙」，震驚了世界。荷蘭數學家斯涅爾首先發現了光的折射定律。笛卡爾提出了光的微粒說……

牛頓以及跟他差不多同時代的胡克、惠更斯等人，也象伽利略、笛卡爾等前輩一樣，用極大的興趣和熱情對光學進行研究。1666年，牛頓在家休假期間，得到了三棱鏡，他用來進行了著名的色散試驗。一束太陽光通過三棱鏡後，分解成幾種顏色的光譜帶，牛頓再用一塊帶狹縫的擋板把其他顏色的光擋住，只讓一種顏色的光在通過第二個三棱鏡，結果出來的只是同樣顏色的光。這樣，他就發現了白光是由各種不同顏色的光組成的，這是第一大貢獻。

牛頓為了驗證這個發現，設法把幾種不同的單色光合成白光，並且計算出不同顏色光的折射率，精確地說明了色散現象。揭開了物質的顏色之謎，原來物質的色彩是不同顏色的光在物體上有不同的反射率和折射率造成的。公元1672年，牛頓把自己的研究成果發表在《皇家學會哲學雜志》上，這是他第一次公開發表的論文。

許多人研究光學是為了改進折射望遠鏡。牛頓由於發現了白光的組成，認為折射望遠鏡透鏡的色散現象是無法消除的(後來有人用具有不同折射率的玻璃組成的透鏡消除了色散現象)，就設計和製造了反射望遠鏡。

牛頓不但擅長數學計算，而且能夠自己動手製造各種試驗設備並且作精細實驗。為了製造望遠鏡，他自己設計了研磨拋光機，實驗各種研磨材料。公元1668年，他製成了第一架反射望遠鏡樣機，這是第二大貢獻。公元1671年，牛頓把經過改進得反射望遠鏡獻給了皇家學會，牛頓名聲大震，並被選為皇家學會會員。反射望遠鏡的發明奠定了現代大型光學天文望遠鏡的基礎。

同時，牛頓還進行了大量的觀察實驗和數學計算，比如研究惠更斯發現的冰川石的異常折射現象，胡克發現的肥皂泡的色彩現象，「牛頓環」的光學現象等等。

牛頓還提出了光的「微粒說」，認為光是由微粒形成的，並且走的是最快速的直線運動路徑。他的「微粒說」與後來惠更斯的「波動說」構成了關於光的兩大基本理論。此外，他還製作了牛頓色盤等多種光學儀器。

偉大的成就～構築力學大廈

牛頓是經典力學理論的集大成者。他系統的總結了伽利略、開普勒和惠更斯等人的工作，得到了著名的萬有引力定律和牛頓運動三定律。

在牛頓以前，天文學是最顯赫的學科。但是為什麼行星一定按照一定規律圍繞太陽運行？天文學家無法圓滿解釋這個問題。萬有引力的發現說明，天上星體運動和地面上物體運動都受到同樣的規律——力學規律的支配。

早在牛頓發現萬有引力定律以前，已經有許多科學家嚴肅認真的考慮過這個問題。比如開普勒就認識到，要維持行星沿橢圓軌道運動必定有一種力在起作用，他認為這種力類似磁力，就像磁石吸鐵一樣。1659年，惠更斯從研究擺的運動中發現，保持物體沿圓周軌道運動需要一種向心力。胡克等人認為是引力，並且試圖推到引力和距離的關系。

1664年，胡克發現彗星靠近太陽時軌道彎曲是因為太陽引力作用的結果；1673年，惠更斯推導出向心力定律；1679年，胡克和哈雷從向心力定律和開普勒第三定律，推導出維持行星運動的萬有引力和距離的平方成反比。

牛頓自己回憶，1666年前後，他在老家居住的時候已經考慮過萬有引力的問題。最有名的一個說法是：在假期里，牛頓常常在花園里小坐片刻。有一次，象以往屢次發生的那樣，一個蘋果從樹上掉了下來……

一個蘋果的偶然落地，卻是人類思想史的一個轉折點，它使那個坐在花園里的人的頭腦開了竅，引起他的沉思：究竟是什麼原因使一切物體都受到差不多總是朝向地心的吸引呢？牛頓思索著。終於，他發現了對人類具有劃時代意義的萬有引力。

牛頓高明的地方就在於他解決了胡克等人沒有能夠解決的數學論證問題。1679年，胡克曾經寫信問牛頓，能不能根據向心力定律和引力同距離的平方成反比的定律，來證明行星沿橢圓軌道運動。牛頓沒有回答這個問題。1685年，哈雷登門拜訪牛頓時，牛頓已經發現了萬有引力定律：兩個物體之間有引力，引力和距離的平方成反比，和兩個物體質量的乘積成正比。

當時已經有了地球半徑、日地距離等精確的數據可以供計算使用。牛頓向哈雷證明地球的引力是使月亮圍繞地球運動的向心力，也證明了在太陽引力作用下，行星運動符合開普勒運動三定律。

在哈雷的敦促下，1686年底，牛頓寫成劃時代的偉大著作《自然哲學的數學原理》一書。皇家學會經費不足，出不了這本書，後來靠了哈雷的資助，這部科學史上最偉大的著作之一才能夠在1687年出版。

牛頓在這部書中，從力學的基本概念(質量、動量、慣性、力)和基本定律(運動三定律)出發，運用他所發明的微積分這一銳利的數學工具，不但從數學上論證了萬有引力定律，而且把經典力學確立為完整而嚴密的體系，把天體力學和地面上的物體力學統一起來，實現了物理學史上第一次大的綜合。

站在巨人的肩上

牛頓的研究領域非常廣泛，他除了在數學、光學、力學等方面做出卓越貢獻外，他還花費大量精力進行化學實驗。他常常六個星期一直留在實驗室里，不分晝夜的工作。他在化學上花費的時間並不少，卻幾乎沒有取得什麼顯著的成就。為什麼同樣一個偉大的牛頓，在不同的領域取得的成就竟那麼不一樣呢？

其中一個原因就是各個學科處在不同的發展階段。在力學和天文學方面，有伽利略、開普勒、胡克、惠更斯等人的努力，牛頓有可能用已經准備好的材料，建立起一座宏偉壯麗的力學大廈。正象他自己所說的那樣「如果說我看得遠，那是因為我站在巨人的肩上」。而在化學方面，因為正確的道路還沒有開辟出來，牛頓沒法走到可以砍伐材料的地方。

牛頓在臨終前對自己的生活道路是這樣總結的：「我不知道在別人看來，我是什麼樣的人；但在我自己看來，我不過就象是一個在海濱玩耍的小孩，為不時發現比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜，而對於展現在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒有發現。」

這當然是牛頓的謙遜。

怪異的牛頓

牛頓並不善於教學，他在講授新近發現的微積分時，學生都接受不了。但在解決疑難問題方面的能力，他卻遠遠超過了常人。還是學生時，牛頓就發現了一種計算無限量的方法。他用這個秘密的方法，算出了雙曲面積到二百五十位數。他曾經高價買下了一個棱鏡，並把它作為科學研究的工具，用它試驗了白光分解為的有顏色的光。

開始，他並不願意發表他的觀察所得，他的發現都只是一種個人的消遣，為的是使自己在寂靜的書齋中解悶，他獨自遨遊於自己所創造的超級世界裡。後來，在好友哈雷的竭力勸說下，才勉強同意出版他的手稿，才有劃時代巨著《自然哲學的數學原理》的問世。

作為大學教授，牛頓常常忙得不修邊幅，往往領帶不結，襪帶不系好，馬褲也不紐扣，就走進了大學餐廳。有一次，他在向一位姑娘求婚時思想又開了小差，他腦海了只剩下了無窮量的二項式定理。他抓住姑娘的手指，錯誤的把它當成通煙斗的通條，硬往煙斗里塞，痛得姑娘大叫，離他而去。牛頓也因此終生未娶。

牛頓從容不迫地觀察日常生活中的小事，結果作出了科學史上一個個重要的發現。他馬虎拖沓，曾經鬧過許多的笑話。一次，他邊讀書，邊煮雞蛋，等他揭開鍋想吃雞蛋時，卻發現鍋里是一隻懷表。還有一次，他請朋友吃飯，當飯菜准備好時，牛頓突然想到一個問題，便獨自進了內室，朋友等了他好久還是不見他出來，於是朋友就自己動手把那份雞全吃了，雞骨頭留在盤子，不告而別了。等牛頓想起，出來後，發現了盤子里的骨頭，以為自己已經吃過了，便轉身又進了內室，繼續研究他的問題。

牛頓晚年

但是由於受時代的限制，牛頓基本上是一個形而上學的機械唯物主義者。他認為運動只是機械力學的運動，是空間位置的變化；宇宙和太陽一樣是沒有發展變化的；靠了萬有引力的作用，恆星永遠在一個固定不變的位置上……

隨著科學聲譽的提高，牛頓的政治地位也得到了提升。1689年，他被當選為國會中的大學代表。作為國會議員，牛頓逐漸開始疏遠給他帶來巨大成就的科學。他不時表示出對以他為代表的領域的厭惡。同時，他的大量的時間花費在了和同時代的著名科學家如胡克、萊布尼茲等進行科學優先權的爭論上。

晚年的牛頓在倫敦過著堂皇的生活，1705年他被安妮女王封為貴族。此時的牛頓非常富有，被普遍認為是生存著的最偉大的科學家。他擔任英國皇家學會會長，在他任職的二十四年時間里，他以鐵拳統治著學會。沒有他的同意，任何人都不能被選舉。

晚年的牛頓開始致力於對神學的研究，他否定哲學的指導作用，虔誠地相信上帝，埋頭於寫以神學為題材的著作。當他遇到難以解釋的天體運動時，竟提出了「神的第一推動力」的謬論。他說「上帝統治萬物，我們是他的僕人而敬畏他、崇拜他」。

1727年3月20日，偉大艾薩克·牛頓逝世。同其他很多傑出的英國人一樣，他被埋葬在了威斯敏斯特教堂。他的墓碑上鐫刻著：

讓人們歡呼這樣一位多麼偉大的

人類榮耀曾經在世界上存在。

5. 怎樣才能正確有效的減輕體重

「管住嘴，邁開腿」

是最朗朗上口的減肥口號。

說的就是卡路里平衡理論

遵循熱力學定律：卡路里進，卡路里出。

簡言之——

體重變化 = 攝入的卡路里 – 消耗的卡路里

只有這個值小於零，才能減肥。

就是說，少吃一點，多運動一點

製造卡路里赤字

體內脂肪燒燒燒，就能瘦瘦瘦啦~

6. 身材黃金比例怎麼比

1、上、下身比例：以肚臍為界，上下身比例應為5比8，符合「黃金分割」定律。

2、胸圍：由腋下沿胸部的上方最豐滿處測量胸圍，應為身高的一半。

3、腰圍：在正常情況下，量腰的最細部位。腰圍較胸圍小20厘米。

4、髖圍：在體前恥骨平行於臀部最大部位。髖圍較胸圍大4厘米。

5、大腿圍：在大腿的最上部位，臀折線下。大腿圍較腰圍小10厘米。

6、小腿圍：在小腿最豐滿處。小腿圍較大腿圍小20厘米。

7、足頸圍：在足頸的最細部位。足頸圍較小腿圍小10厘米。

8、上臂圍：在肩關節與肘關節之間的中部。上臂圍等於大腿圍的一半。

9、頸圍：在頸的中部最細處。頸圍與小腿圍相等。

10、肩寬：兩肩峰之間的距離。肩寬等於胸圍的一半減4厘米。

7. 第一次充電，MP5連接在電腦上對MP5的電池是否有損毀

首先說要求第一次充電得多長時間就是錯誤的說法，鋰電池完全沒有必要，很多人都被這些愚蠢的說法誤導了還奉為真理，拜託那些傳播謠言的人先了解一下鋰電池的性能科學的說是鋰離子電池，找一些比較專業的資料學習一下，不要把鎳氫電池的那套理論套用在鋰電池上，那樣是很可笑的，筆記本電池 手機電池 等等採用鋰電池的用電器都是這樣的，不管第幾次充電 不用充所謂的12小時 ，那些是很愚蠢的，毫無必要

你說的這個毫無影響，鋰電池最大的優點就是活性高 不存在記憶性（理論上有一些但是很小完全可以忽略），不存在激活的問題，而且合格的鋰電池用電器都有充放電保護電路，充滿電自動切斷輸入，意思就是你插多長時間都不會有電沖進去，充滿了再進去電就過沖了，一次就可以報銷，保護電路就是干這個用的，所以充滿了就會自動停止，在插著也沒用，而且也沒有必要插著了，保護電路還有一個作用就是在電池電壓下降到保護電壓的時候會自動切斷輸出，你看到的就是手機 mp5等等顯示電量不足和自動關機，鋰電池的標稱電壓3.7V，充滿4.2V，放電截止電壓在3V以上，有的用電器設定在3.3V還有的在3.4V等等不一定，所以充電你可以完全放心的隨時充隨時用，別被那些愚蠢的不懂裝懂的人傳播的那些言論所誤導啦

鋰電池用電設備充電沒有什麼注意事項，使用時盡量不要等到電量沒了在充電，淺沖淺放可以延長電池壽命，在50%左右就充電比較好，當然這個50%也不是嚴格的數據只是一個建議，實際使用時根據需要
那些說要完全用完了再沖的朋友，別在誤導人了，鋰電池不是鎳氫電池 拜託，沒文化真可怕啊，都懶得說了，還有說一開始要把電量充滿了不然影響壽命的朋友，你說的這個根據在哪裡？？？別想當然的說行不，你對電池的了解也停留在十年前的鎳氫電池身上吧
還有說用usb充電會使電池老化的朋友，你的說法更不靠譜了，電池最忌諱的是過大的充電電流，小電流充電不但不會損壞電池，反而有一定的益處，一般的鋰電池電池最大的充電電流在1C，也就是1小時把電池充滿的電流，電流越小，時間越長，但是對電池是有一定好處的，電腦的usb其實就是一個5V電源，輸出5-5.5V的電壓，電流在500ma左右，這個充電電流充2000mah容量以下的電池時間不會很長，原裝充電器也是一個5V電源，而且內部的降壓模塊未必比筆記本電腦裡面的好，何來的『原裝』的就好呢？很多人就是有原裝 正品情節，就認准原裝 正品的就是好的，就是金科玉律，拜託，搞技術的一眼就看出來都是一樣的東西，因為你啥都不懂所以才認准原裝，原裝不也就那麼回事嗎？你以為原裝的就多麼可靠多麼神奇嗎？也是工廠代工出來的，蘋果 索尼這些消費者認為很厲害的品牌也是一樣的，只是他們的東西會比較靠譜，但不是說他的充電器就是最好的，只能說是一個合格的標准而已，比那些垃圾充電器好，很多垃圾充電器就是一個簡單的線圈降壓，一個簡單的整合電路就輸出個5V還不穩定，這樣的垃圾電源很多很多

鋰電池使用中應該注意的就是溫度，所處的溫度太高的話會導致電池過度的損耗，所以不要把手機 mp5等放在溫度很高的地方 比如在太陽下暴曬 放到車里大中午得曬著

看到很多不明真相的朋友被人誤導，然後還去誤導別人，讓我這個搞電池技術的情何以堪，中國的素質教育這么失敗嗎，不懂可以但是不能瞎說啊，以訛傳訛會讓更多的人受誤導，希望說一些花的時候要有靠譜的技術資料，不然別瞎說，或是說聽誰誰說的，還有一點就是那些賣手機的 賣電腦的 賣mp5 的老闆很多也不懂裝懂的給買東西的人一些愚蠢的建議，類似第一次要沖多長多長時間，遇到過最傻×的老闆說筆記本電池第一次要沖24小時，他還不知道鋰電池組內部的結構和保護板設置吧，還不知道啥叫保護板就瞎說，很多賣東西的老闆高中都沒畢業，別期望從他們嘴裡得到什麼靠譜的建議，很多都是道聽途說的，別以為他賣了多少台電腦 手機就覺得他多麼專業，真正專業的是那些生產廠家的工程師，和研發團隊，賣東西的說實話啥也不知道，都是聽來的

最後的建議就是充電沒必要充多長多長時間，充滿了就行了，不充滿拔下來也沒關系，有人說電池有一千次循環，插拔一千次就報廢了，這么愚蠢的說法也有人信，鋰電池的壽命是按照充放電循環次數和放電深度來定的，不是插拔次數，和插拔次數沒關系，因為每次充放電都不一樣，所以實際使用中的壽命很難計算出來，是一個很復雜的過程，一般你的用電器壽命也就三到五年，電池不會比他先報銷，那些過早就壞的電池一個是電池質量不合格，再一個就是保養不當

這個問題很多人都問過，都聽說過類似第一次充電要多長時間的說法，我每次看到都直犯神經，拜託那些不懂裝懂的人不要誤導人啦，說話負點責任，別說可能大概，是這樣，聽誰說是這樣，沒有科學的根據就不要亂說，每天扎在研發室搞電池的我，還不知道外界對這么簡單的東西還有這么大的理解誤區，感覺壓力很大很大。。。。

8. 黃金分割的事例和有關的意義

黃金分割
把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數，取其前三位數字的近似值是0.618。由於按此比例設計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這是一個十分有趣的數字，我們以0.618來近似，通過簡單的計算就可以發現：
1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618
這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建築等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用。

讓我們首先從一個數列開始，它的前面幾個數是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..這個數列的名字叫做"菲波那契數列"，這些數被稱為"菲波那契數"。特點是即除前兩個數（數值為1）之外，每個數都是它前面兩個數之和。

菲波那契數列與黃金分割有什麼關系呢？經研究發現，相鄰兩個菲波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸趨於黃金分割比的。即f(n)/f(n-1)-→0.618…。由於菲波那契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。但是當我們繼續計算出後面更大的菲波那契數時，就會發現相鄰兩數之比確實是非常接近黃金分割比的。

一個很能說明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，我們的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，這是為什麼？因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關系都是符合黃金分割比的。正五邊形對角線連滿後出現的所有三角形，都是黃金分割三角形。

由於五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數值為2Sin18 。
黃金分割點約等於0．618：1
是指分一線段為兩部分，使得原來線段的長跟較長的那部分的比為黃金分割的點。線段上有兩個這樣的點。

利用線段上的兩黃金分割點，可作出正五角星，正五邊形。
2000多年前,古希臘雅典學派的第三大算學家歐道克薩斯首先提出黃金分割。所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對於全部之比，等於另一部分對於該部分之比。而計算黃金分割最簡單的方法，是計算斐波契數列1，1，2，3，5，8，13，21，...後二數之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值的。
黃金分割在文藝復興前後，經過阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱之為"金法"，17世紀歐洲的一位數學家，甚至稱它為"各種演算法中最可寶貴的演算法"。這種演算法在印度稱之為"三率法"或"三數法則"，也就是我們現在常說的比例方法。

其實有關"黃金分割"，我國也有記載。雖然沒有古希臘的早，但它是我國古代數學家獨立創造的，後來傳入了印度。經考證。歐洲的比例演算法是源於我國而經過印度由阿拉伯傳入歐洲的，而不是直接從古希臘傳入的。
因為它在造型藝術中具有美學價值，在工藝美術和日用品的長寬設計中，採用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的應用也非常廣泛，建築物中某些線段的比就科學採用了黃金分割，舞台上的報幕員並不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一側，以站在舞台長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播的最好。就連植物界也有採用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規律排列著的。在很多科學實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數找到合理的西方和合適的工藝條件。正因為它在建築、文藝、工農業生產和科學實驗中有著廣泛而重要的應用，所以人們才珍貴地稱它為"黃金分割"。
黃金分割〔Golden Section〕是一種數學上的比例關系。黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值。應用時一般取1.618 ，就像圓周率在應用時取3.14一樣。

發現歷史
由於公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割。

公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，並建立起比例理論。

公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。

中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，義大利數家帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此著書立說。德國天文學家開普勒稱黃金分割為神聖分割。

到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法，是由美國數學家基弗於1953年首先提出的，70年代在中國推廣。

|..........a...........|

+-------------+--------+ -
| | | .
| | | .
| B | A | b
| | | .
| | | .
| | | .
+-------------+--------+ -

|......b......|..a-b...|
通常用希臘字母 表示這個值。

黃金分割奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的。例如：1.618的倒數是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。
確切值為根號5+1/2
黃金分割數是無理數，前面的1024位為:

0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576
2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374
8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766
7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221
2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053
1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834
7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764
8610283831 2683303724 2926752631 392473 1671112115
8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175
3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093
9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264
7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149
9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
1076738937 6455606060 5922...
是用數字來表示人體美，並根據一定的基準進行比較。用同一人體的某一部位作為基準，來判定它與人體的比例關系的方法被稱為同身方法（見中圖）。分為三組：系數法，常指頭高身長指數，如畫人體有坐五、立七，即身高在坐位時為頭高的五倍、立位時為7或7.5倍；百分數法，將身長視為100%，身體各部位在其中的比例；兩分法：即把人體分成大小兩部分，大的部分從腳到臍，小的部分為臍到頭頂。 標準的面型，其長寬比例協調，符合三停五眼（見右圖）。三停是指臉型的長度，從頭部發際到下頦的距離分為三等分，即從發際到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下頦各分為一等分，各稱一停共三停；五眼是指臉型的寬度，雙耳間正面投影的長度為五隻眼裂的長度，除眼裂外、內此間距為一眼裂長度、兩側外眥角到耳部各有一眼裂長度，

http://ke..com/view/1816.htm

9. 學習c語言看什麼書好

最近很多人都在問如何學習編程。我覺得學習編程最重要的是入門，如果你入門的時候有一個好的方法和思路，打下比較扎實的基礎，對今後的編程工作是很有益處的。即使在學習新的編程語言也無所謂，因為它們有很多相通之處，可以相互借鑒。
我認為可以先學習一下pascal，這個語言比較嚴謹，適合初學者。pascal它被稱為教學語言，結構嚴謹，不像C語言那麼靈活，易於理解和學習。
然後可以繼續學習C語言，這個語言比較靈活。有了pascal的基礎，在進行C語言編程就不會因為C語言的靈活而有問題
。後面的就可以學習VC什麼的了。
C語言的書推薦譚浩強的，比較好。
我當時學習pascal和C語言的時候是將書後的習題都做了一遍，感覺效果很好。
當然了，學習什麼語言也要看你具體准備從事什麼行業。例如你要進行嵌入式開發，C就是很好的選擇，如果是Windows開發，那麼VC就不錯。還有資料庫方面的開發、網路開發等等。不同的語言適合不同的方面。要看自己的選擇的，呵呵
。
還有很多人說自己的基礎很差，甚至中學畢業什麼的。其實這個並不重要，比較說英語，在計算機語言里所用到的單詞量很少，而且都是常用詞，經常使用就記住了。當然，如果你要看原文資料或者幫助的話，專業詞彙比較多，不過在金山詞霸的幫助下，經常看，也是沒什麼大的問題的。至於數學什麼的，其實數學只是培養你一個邏輯思維能力，在初學編程的時候影響不是很大。況且，作為一個基礎編程人員來說，上面還有系統分析師、項目經理，他們會把需求分析、概要設計和詳細設計做好的，你只要按照文檔寫代碼就OK了。不過，要上更上一步的話，其他基礎知識就非常重要了，畢竟你不能寫一輩子代碼。
在你學習好C語言以後，個人建議好好學習一下數據結構和軟體工程。這兩門對你的水平提高都是很有幫助的。特別是軟體工程，它能夠使你按照科學的工程方法進行軟體開發，對今後的發展很有好處。
只是一家之言，有不到之處，還望見諒