牛頓演算法原理

⑴ 牛頓四大定理是什麼

牛頓第一定律

內容：一切物體在任何情況下，在不受外力的作用時，總保持靜止或勻速直線運動狀態。
(又叫做慣性定律)
說明：物體都有維持靜止和作勻速直線運動的趨勢，因此物體的運動狀態是由它的運動速度決定的，沒有外力，它的運動狀態是不會改變的。物體的保持原有運動狀態不變的性質稱為慣性(inertia)。所以牛頓第一定律也稱為慣性定律(law of inertia)。第一定律也闡明了力的概念。明確了力是物體間的相互作用，指出了是力改變了物體的運動狀態。因為加速度是描寫物體運動狀態的變化，所以力是和加速度相聯系的，而不是和速度相聯系的。在日常生活中不注意這點，往往容易產生錯覺。

注意：
1.牛頓第一定律並不是在所有的參照系裡都成立，實際上它只在慣性參照系裡才成立。因此常常把牛頓第一定律是否成立，作為一個參照系是否慣性參照系的判據。
2.牛頓第一定律是通過分析事實，再進一步概括、推理得出的。我們周圍的物體，都要受到這個力或那個力的作用，因此不可能用實驗來直接驗證這一定律。但是，從定律得出的一切推論，都經受住了實踐的檢驗，因此，牛頓第一定律已成為大家公認的力學基本定律之一。

牛頓第二定律

定律內容：物體的加速度跟物體所受的合外力成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。

公式：F合=ma

幾點說明：
（1）牛頓第二定律是力的瞬時作用規律。力和加速度同時產生、同時變化、同時消逝。
（2）F=ma是一個矢量方程，應用時應規定正方向，凡與正方向相同的力或加速度均取正值，反之取負值，一般常取加速度的方向為正方向。
（3）根據力的獨立作用原理，用牛頓第二定律處理物體在一個平面內運動的問題時，可將物體所受各力正交分解，在兩個互相垂直的方向上分別應用牛頓第二定律的分量形式：Fx=max，Fy=max列方程。

牛頓第二定律的三個性質：
（1）矢量性：力和加速度都是矢量，物體加速度方向由物體所受合外力的方向決定。牛頓第二定律數學表達式∑F = ma中，等號不僅表示左右兩邊數值相等，也表示方向一致，即物體加速度方向與所受合外力方向相同。
（2）瞬時性：當物體（質量一定）所受外力發生突然變化時，作為由力決定的加速度的大小和方向也要同時發生突變；當合外力為零時，加速度同時為零，加速度與合外力保持一一對應關系。牛頓第二定律是一個瞬時對應的規律，表明了力的瞬間效應。
（3）相對性：自然界中存在著一種坐標系，在這種坐標系中，當物體不受力時將保持勻速直線運動或靜止狀態，這樣的坐標系叫慣性參照系。地面和相對於地面靜止或作勻速直線運動的物體可以看作是慣性參照系，牛頓定律只在慣性參照系中才成立。

適用范圍：
（1）只適用於低速運動的物體（與光速比速度較低）。
（2）只適用於宏觀物體，牛頓第二定律不適用於微觀原子。
（3）參照系應為慣性系。

牛頓第三定律

內容：兩個物體之間的作用力和反作用力，在同一條直線上，大小相等，方向相反。

表達式：F1=F2，F1表示作用力，F2表示反作用力。

說明：要改變一個物體的運動狀態，必須有其它物體和它相互作用。物體之間的相互作用是通過力體現的。並且指出力的作用是相互的，有作用必有反作用力。它們是作用在同一條直線上，大小相等，方向相反。

適用范圍：

牛頓運動定律是建立在絕對時空以及與此相適應的超距作用基礎上的所謂超距作用，是指分離的物體間不需要任何介質，也不需要時間來傳遞它們之間的相互作用．也就是說相互作用以無窮大的速度傳遞．

除了上述基本觀點以外，在牛頓的時代，人們了解的相互作用．如萬有引力、磁石之間的磁力以及相互接觸物體之間的作用力，都是沿著相互作用的物體的連線方向，而且相互作用的物體的運動速度都在常速范圍內．

在這種情況下，牛頓從實驗中發現了第三定律．「每一個作用總是有一個相等的反作用和它相對抗；或者說，兩物體彼此之間的相互作用永遠相等，並且各自指向其對方．」作用力和反作用力等大、反向、共線，彼此作用於對方，並且同時產生，性質相同，這些常常是我們講授這個定律要強調的內容．而且，在一定范圍內，牛頓第三定律與物體系的動量守恆是密切相聯系的．

但是隨著人們對物體間的相互作用的認識的發展，19世紀發現了電與磁之間的聯系，建立了電場、磁場的概念；除了靜止電荷之間有沿著連線方向相互作用的庫侖力外，發現運動電荷還要受到磁場力即洛倫茲力的作用；運動電荷又將激發磁場，因此兩個運動電荷之間存在相互作用．在對電磁現象研究的基礎上，麥克斯韋（1831－1879）在1855～1873年間完成了對電磁現象及其規律的大綜合、建立了系統的電磁理論，發現電磁作用是通過電磁場以有限的速度（光速c）來傳遞的，後來為電磁波的發現所證實．

物理學的深入發展，暴露出牛頓第三定律並不是對一切相互作用都是適用的．如果說靜止電荷之間的庫侖相互作用是沿著二電荷的連線方向，靜電作用可當作以「無窮大速度」傳遞的超距作用，因而牛頓第三定律仍適用的話，那麼，對於運動電荷之間的相互作用，牛頓第三定律就不適用了．如圖所示．運動電荷B通過激發的磁場作用於運動電荷A的力為 （並不沿AB的連線），而運動電荷A的磁場在此刻對B電荷卻無作用力（圖中未表示它們之間的庫侖力）．由此可見，作用力 在此刻不存在反作用力，作用與反作用定律在這里失效了．

實驗證明：對於以電磁場為媒介傳遞的近距作用，總存在著時間的推遲．對於存在推遲效應的相互作用，牛頓第三定律顯然是不適用的．實際上，只有對於沿著二物連線方向的作用（稱為有心力），並可以不計這種作用傳遞時間（即可看做直接的超距作用）的場合中，牛頓第三定律才有效．

但是在牛頓力學體系中，與第三定律密切相關的動量守恆定律，卻是一個普遍的自然規律．在有電磁相互作用參與的情況下，動量的概念應從實物的動量擴大到包含場的動量；從實物粒子的機械動量守恆擴大為全部粒子和場的總動量守恆，從而使動量守恆定律成為普適的守恆定律．

二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓於1664、1665年間提出。

此定理指出：

其中，二項式系數指...

等號右邊的多項式叫做二項展開式。

二項展開式的通項公式為：...

其i項系數可表示為:...，即n取i的組合數目。

因此系數亦可表示為帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)

二項式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n為正整數時的展開式。(a+b)n的系數表為：

1 n=0

1 1 n=1

1 2 1 n=2

1 3 3 1 n=3

1 4 6 4 1 n=4

1 5 10 10 5 1 n=5

1 6 15 20 15 6 1 n=6

…………………………………………………………
（左右兩端為1，其他數字等於正上方的兩個數字之和）
在我國被稱為「賈憲三角」或「楊輝三角」，一般認為是北宋數學家賈憲所首創。它記載於楊輝的《詳解九章演算法》(1261)之中。在阿拉伯數學家卡西的著作《算術之鑰》(1427)中也給出了一個二項式定理系數表，他所用的計算方法與賈憲的完全相同。在歐洲，德國數學家阿皮安努斯在他1527年出版的算術書的封面上刻有此圖。但一般卻稱之為「帕斯卡三角形」，因為帕斯卡在1654年也發現了這個結果。無論如何，二項式定理的發現，在我國比在歐洲至少要早300年。

1665年，牛頓把二項式定理推廣到n為分數與負數的情形，給出了的展開式。

二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數列求和，以及差分法中有廣泛的應用。

1．熟練掌握二項式定理和通項公式，掌握楊輝三角的結構規律
二項式定理: 叫二項式系數（0≤r≤n）.通項用Tr+1表示，為展開式的第r+1項，且, 注意項的系數和二項式系數的區別.
2．掌握二項式系數的兩條性質和幾個常用的組合恆等式.
①對稱性：
②增減性和最大值：先增後減
n為偶數時，中間一項的二項式系數最大，為：Tn/2＋1
n為奇數時，中間兩項的二項式系數相等且最大，為：T(n+1)/2＋1
3．二項式從左到右使用為展開；從右到左使用為化簡，從而可用來求和或證明.掌握「賦值法」這種利用恆等式解決問題的思想.

證明：n個（a+b）相乘，是從（a+b）中取一個字母a或b的積。所以（a+b）^n的展開式中每一項都是)a^k*b^(n-k)的形式。對於每一個a^k*b^(n-k)，是由k個(a+b)選了a,（a的系數為n個中取k個的組合數（就是那個C右上角一個數，右下角一個數））。（n-k）個(a+b)選了b得到的（b的系數同理）。由此得到二項式定理。

二項式系數之和:
2的n次方
而且展開式中奇數項二項式系數之和等於偶數項二項式系數之和等於2的(n-1)次方

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參考資料：
1.的展開式：
2.二項式定理中，設 ，則

貢獻者（共9名）：
yuanliyue1、思寧雨、ltf1320、mylifezone、 Miffy_Bunny、丁頌原、我愛我的尊王子、wwhhll_81、7m卡卡西

⑵ 什麼是「牛頓法」或「牛頓迭代法」 請簡述過程及原理,有例子更好

牛頓法是牛頓在17世紀提出的一種求解方程f(x)=0.多數方程不存在求根公式,從而求精確根非常困難,甚至不可能,從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.
設r是f(x)=0的根,選取x0作為r初始近似值,過點（x0,f(x0)）做曲線y=f(x)的切線L,L的方程為y=f(x0)+f'(x0)(x-x0),求出L與x軸交點的橫坐標 x1=x0-f(x0)/f'(x0),稱x1為r的一次近似值,過點（x1,f(x1)）做曲線y=f(x)的切線,並求該切線與x軸的橫坐標 x2=x1-f(x1)/f'(x1)稱x2為r的二次近似值,重復以上過程,得r的近似值序列{Xn},其中Xn+1=Xn-f(Xn)/f'(Xn),稱為r的n+1次近似值.上式稱為牛頓迭代公式.

⑶ 牛頓法的原理

把非線性函數在處展開成泰勒級數
取其線性部分，作為非線性方程的近似方程，則有
設 ，則其解為
因為這是利用泰勒公式的一階展開， 處並不是完全相等，而是近似相等，這里求得的 並不能讓 ，只能說 的值比 更接近 ，於是乎，迭代求解的想法就很自然了，
再把f(x)在x1 處展開為泰勒級數，取其線性部分為 的近似方程，若 ，則得 如此繼續下去，得到牛頓法的迭代公式： ，通過迭代，這個式子必然在 的時候收斂。整個過程如右圖：
例1 用牛頓法求方程 在 內一個實根，取初始近似值=1.5。 解 所以迭代公式為：

列表計算如下： 01.511.737121.698731.6975......

⑷ 牛頓法和PQ法的原理是什麼

這是牛頓法原理

把非線性函數f(x)在x = 0處展開成泰勒級數

牛頓法

取其線性部分，作為非線性方程f(x)=0的近似方程，則有

f(0 )+(x-0 ) f′(0 )=0

設f′(0 )≠0?，則其解為x = - xf(1)

再把f(x)在x 處展開為泰勒級數，取其線性部分為f(x)=0的近似方程，若f′(x ) ≠0，則得x = - 如此繼續下去，得到牛頓法的迭代公式：x = - ...(n=0,1,2,…) (2)

例1 用牛頓法求方程f(x)=x +4x -10=0在[1,2]內一個實根，取初始近似值x =1.5。 解 ?f′(x)=3x +8x??所以迭代公式為：

x = -... n=0,1, 2，...

列表計算如下：

n

0

1

2

3

1.5

1.3733333

1.36526201

1.36523001

⑸ 牛頓的流數法是怎麼解的

(1)先要搞清概念：
流數(fluxion) 1665年5月20日，英國傑出物理學家牛頓第一次提出「流數術」（即微積分），後來世人就以這天作為「微積分誕生日」。
牛頓將古希臘以來求解無窮小問題的種種特殊方法統一為兩類演算法：正流數術（微分）和反流數術（積分）
（2）如何求解可參看高中數學微積分部分。

⑹ 牛頓的數學原理對近代科學產生了怎樣的影響

完成了微積分發明中最關鍵的一步，為近代科學發展提供了最有效的工具，開辟了數學上的一個新紀元。

微積分的創立是牛頓最卓越的數學成就。牛頓為解決運動問題，才創立這種和物理概念直接聯系的數學理論的，牛頓稱之為"流數術"。

牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的結論加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統一為兩類普通的演算法——微分和積分，並確立了這兩類運算的互逆關系。

人物評價

他在1688年發表的著作《自然哲學的數學原理》里，對萬有引力和三大運動定律進行了描述。這些描述奠定了此後三個世紀里物理世界的科學觀點，並成為現代工程學的基礎。

他通過論證開普勒行星運動定律與他的引力理論間的一致性，展示了地面物體與天體的運動都遵循著相同的自然定律；從而消除了對太陽中心說的最後一絲疑慮，並推動了科學革命。