有限差分法網格剖分演算法

Ⅰ 什麼是有限元法和有限差分法

有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的數值計算方法。科學計算領域，常常需要求解各類微分方程，而許多微分方程的解析解一般很難得到，使用有限元法將微分方程離散化後，可以編製程序，使用計算機輔助求解。

有限差分方法（finite difference method）一種求偏微分（或常微分）方程和方程組定解問題的數值解的方法，簡稱差分方法。

(1)有限差分法網格剖分演算法擴展閱讀：

有限差分法（FDM）的起源，討論其在靜電場求解中的應用。以鋁電解槽物理模型為例，採用FDM對其場域進行離散，使用MATLAB和C求解了各節點的電位。由此，繪制了整個場域的等位線和電場強度矢量分布。同時，討論了加速收斂因子對超鬆弛迭代演算法迭代速度的影響，以及具有正弦邊界條件下的電場分布。

有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。

該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。

該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。

Ⅱ 計算流體力學中有限差分法，有限體積法和有限元法的區別

有限差分法是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。
有限體積法又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，並使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變數的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬於加權剩餘法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬於採用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬於有限體積發的基本方法。有限體積法的基本思路易於理解，並能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變數在有限大小的控制體積中的守恆原理，如同微分方程表示因變數在無限小的控制體積中的守恆原理一樣。限體積法得出的離散方程，要求因變數的積分守恆對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。
有限元法的基礎是變分原理和加權餘量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變數改寫成由各變數或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，藉助於變分原理或加權餘量法，將微分方程離散求解。 採用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用於結構力學，後來隨著計算機的發展慢慢用於流體力學的數值模擬。 在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。 常見的有限元計算方法是由變分法和加權餘量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據所採用的權函數和插值函數的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，對於權函數，伽遼金(Galerkin)法是將權函數取為逼近函數中的基函數；最小二乘法是令權函數等於餘量本身，而內積的極小值則為對代求系數的平方誤差最小；在配置法中，先在計算域內選取N個配置點。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程餘量為0.

Ⅲ 什麼是有限差分演算法

有限差分法(FDM)的起源,討論其在靜電場求解中的應用.以鋁電解槽物理模型為例,採用FDM對其場域進行離散,使用MATLAB和C求解了各節點的電位.由此,繪制了整個場域的等位線和電場強度矢量分布.同時,討論了加速收斂因子對超鬆弛迭代演算法迭代速度的影響,以及具有正弦邊界條件下的電場分布.
有限差分法
有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。
該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。
分類
對於有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用於有結構網格，網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定。
構造差分的方法
構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式
時域有限差分法在GIS局部放電檢測中的應用
1 前言
GIS由於其佔地面積小以及高度的可靠性被廣泛應用，但也有因為固定微粒、自由微粒以及絕緣子內部缺陷而發生的絕緣故障。一般發生絕緣故障都伴隨有局部放電發生，因而局部放電檢測是診斷電力設備絕緣狀況的有效方法之一。超高頻局部放電檢測方法因為具有強的抗干擾能力和故障點定位能力而受到製造廠家和研究部門的普遍關注，並且已有部分產品應用於現場。超高頻局部放電檢測方法一般直接檢測出局部放電脈沖的時域信號或者頻譜信號，因為不同的研究者所研製的檢測用感測器的帶寬和檢測系統(內部感測器法和外部感測器法)不同，以及感測器和局部放電源的相對位置對檢測結果的影響，檢測所得結果存在較大差異，缺乏可比性，因此有必要對局部放電信號的傳播規律進行研究。
時域有限差分(Finite-Difference Time-Domain)法最早是由KaneS.Yee在1966年提出的，是一種很有效的電磁場的數值計算方法，不需要用到位函數，是一種在時間域中求解的數值計算方法。這種方法被應用於天線技術、微波器件、RCS計算等方面。
本文藉助時域有限差分法對252KV GIS內部局部放電所激發的電磁波傳播進行模擬，並用外部感測器超高頻局部放電檢測方法在實驗室對252kV GIS固定高壓導體上的固定微粒局部放電信號進行實測，模擬結果和實驗結果基本一致，為超高頻局部放電檢測結果提供了有效的理論依據。
2 時域有限差分法
時域有限差分法是一種在時域中求解的數值計算方法，求解電磁場問題的FDTD方法是基於在時間和空間域中對Maxwell旋度方程的有限差分離散化一以具有兩階精度的中心有限差分格式來近似地代替原來微分形式的方程。FDTD方法模擬空間電磁性質的參數是按空間網格給出的，只需給定相應空間點的媒質參數，就可模擬復雜的電磁結構。時域有限差分法是在適當的邊界和初始條件下解有限差分方程，使電磁波的時域特性直接反映出來，直接給出非常豐富的電磁場問題的時域信息，用清晰的圖像描述復雜的物理過程。網格剖分是FDTD方法的關鍵問題，Yee提出採用在空間和時間都差半個步長的網格結構，通過類似蛙步跳躍式的步驟用前一時刻的磁、電場值得到當前時刻的電、磁場值，並在每一時刻上將此過程算遍整個空間，於是可得到整個空間域中隨時間變化的電、磁場值的解。這些隨時間變化的電、磁場值是再用Fourier變換後變到相應頻域中的解。
在各向同性媒質中，Maxwell方程中的兩個旋度方程具有以下形式(式(1)~(2))。

式中，ε為媒質的介電常數；μ為媒質的磁導率；σ為媒質的電導率；σ*為媒質的等效磁阻率，它們都是空間和時間變數的函數。
在直角坐標系中，矢量式(1)～(2)可以展開成以下六個標量式。

為了用差分離散的代數式恰當地描述電磁場在空間的傳播特性，Yee提出了Yee Cell結構，在這種結構中，每一磁場分量總有四個電場分量環繞，同樣每一電場分量總有四個磁場分量環繞，Yee對和分量在網格單位上的分布情況如圖1所示。為達到精度，Yee計算和時在時間上錯開半個步長，用中心差商展開偏微分方程組，得到x軸方向電場和磁場FDTD迭代公式(式(9)~(10))，Y軸和z軸迭代公式與x軸迭代公式成對稱形式(略)。

FDTD方法是Maxwell方程的一種近似求解方法，為了保證計算結果的可靠性，必須考慮差分離散所引起的演算法穩定性和數值色散問題，時間步長和空間步長應滿足(11)~(12)條件。

其中，δ=min(△x，△y，△z)；υmax為電磁波在媒質中傳播的最大相速；λmin為電磁波在媒質中的最小波長值。
式中△x，△y和△z分別是在x，y和z坐標方向的空間步長，△t是時間步長，ij和k和n是整數。
3 GIS局部放電電磁模擬和超高頻檢測
SF6氣體絕緣的GIS中局部放電的脈沖持續時間極短，其波頭時間僅幾個ns。為了簡化分析，將局部放電電流看成對稱脈沖，一般用如下的Gaussian形狀的脈沖模型來表示，根據式13和文獻6本文模擬用局部放電源高斯脈沖的峰值電流取30mA，脈沖寬度取5ns，波形如圖2所示。

GIS局部放電信號頻帶較寬，用於接收信號的感測器(天線)應該滿足檢測要求，本文採用超寬頻(300MHz~3000MHz)自補結構的雙臂平面等角螺旋天線，天線結構如圖3所示。

該天線在一定頻率范圍內可以近似認為具有非頻變天線的特性，因為GIS局放信號的頻率是在一個范圍內變化，對於不同頻率的GIS局放信號，該天線的阻抗不隨頻率變化，可方便實現天線和傳輸線的阻抗匹配，避免波形畸變。用HP8753D網路分析儀對天線的駐波比進行測試，結果在300MHz~3000MHz的頻率范圍內駐波比小於2.0，根據電磁理論當駐波比小於2.0時可以不考慮駐波的影響，表明該平面等角螺旋天線在設計頻率具有良好的頻響特性，所測結果可靠。
超高頻法把GIS看作同軸波導(如圖4所示)，局部放電產生的短脈沖沿軸向傳播，感測器作為接收天線，接收局部放電所激發的電磁波。

本文針對252KV GIS內高壓導體上φ0.05×lcm固定突起發生局部放電進行模擬，GIS內部高壓導體外直徑為10.2cm，外殼內直徑為29.4cm，長度為4米。採用1×l×lcm網格進行剖分，邊界用完全匹配層(PML)材料吸收邊界，其中絕緣子相對介電常數取3.9。採用IMST Empire電磁模擬軟體分別對圖4的GIS發生局部放電時內部點1和外部點2處的信號進行模擬，模擬結果如圖5所示。
圖5(a)和(b)的模擬結果表明在GIS內部發生局部放電時，局部放電脈沖可以激發上升沿很陡的信號，由於其內部為不連續波導結構，電磁波在其內部將引起反射和復雜諧振，頻率成分可高達GHz。另外，比較內部點1和外部點2處的模擬結果，內部點1處的信號幅值是外部點2處的兩倍，表明信號可以從絕緣縫隙泄漏，但由於絕緣子和縫隙的影響幅值將明顯發生衰減，並且信號在絕緣縫隙處發生的折射和散射，外部信號比內部信號復雜。圖5(c)表明局部放電頻帶比較寬，可高達GHz，信號成分較為豐富。

採用外部感測器超高頻局部放電檢測系統對252KV GIS內高壓導體φ0.05×1cm固定突起局部放電進行實測。由於局部放電信號比較微弱，加之高頻信號傳播過程中衰減較大，在測試系統中採用增益不低於20dB的寬頻放大器。在實驗過程中對空氣中的局部放電高頻信號進行衰減特性研究發現該檢測系統有效檢測范圍為17米。在外部點2處(距離GIS外殼絕緣縫隙10cm)的檢測結果如圖6所示。比較圖5(b)和圖6表明，模擬結果和實測結果基本一致，這個結論為超高頻局部放電檢測結果提供了理論支持。

超高頻局部放電檢測方法已經表明是非常有效的局部放電檢測方法，本文借用時域有限差分法從信號的時域特徵出發來驗證局部放電檢測結果，但由於不同電壓等級的GIS結構存在差異，以及故障微粒的狀態不同，對檢測結果都有影響，並且目前還沒有找出超高頻方法和傳統檢測方法之間的內在關系，有待進一步深入研究。
4 結論
時域有限差分法對GIS局部放電脈沖所激發的電磁波模擬結果表明，局部放電信號上升沿較陡，頻率可達GHz；由於絕緣子以及絕緣縫隙的影響，使得同軸波導結構不連續，將產生很復雜的電磁波。
a.由於絕緣子以及絕緣縫隙的影響，使信號幅值發生明顯衰減，外部信號的幅值是內部信號幅值的一半。
b.實驗結果和模擬結果基本一致，進一步從理論上論證了超高頻局部放電檢測方法的有效性。

Ⅳ 請簡述有限元法和有限差分法各自的優勢是什麼

有限元法應該是在差分法基礎上建立起來的。
有限元法：對物理模型進行離散，網格劃分不用規則，就是各種單元可以混合使用，所以寫不出方程也可以求解。
差分法：劃分的網格是規則的，對方程進行離散化，就是用很多個差分代替微分，用線性方程組代替微分方程的一種方法。
學地質應該不用太區了解 基本原理，要注重分析的過程，和看懂分析結果才重要，地質畢竟也是實際的工程領域。那些理論就讓物理專業，力學專業的研究去吧。

Ⅳ 正演基本理論

已知地電模型和場源分布，求解位場的分布規律，稱為電法勘探的正演問題，它是電法反演問題的計算和觀測資料解釋的重要基礎。在正演模擬問題中，地下電阻率分配被限定，其任務是計算地質體上方測線觀測獲得的視電阻率。正演實際上是反演的一部分，因為通過反演套路計算出的模型理論視電阻率值與實際觀測值比較是否一致非常有必要，求解一個特定模型的視電阻率值方法主要有5種:(1)解析法；(2)有限差分法，(3)有限元法；(4)邊界元法；(5)面積分法。解析法可能是最精確的方法，取得的結果具有典型意義，但是，解析法受多種條件限制，僅局限於相對簡單的幾何體電場分布問題才可以求解，如球體或圓柱體；邊界元法比較靈活，但是不同電阻率值的區域數受到限制，一般少於10；近地表勘探時，地下可能存在任意分布的電阻率，因此，對於求解復雜條件下的電場分布規律，有限差分法和有限元法通常是可靠的選擇方法，這些方法能將地下細分成數以萬計的不同電阻率單元。當然，解析法和邊界元法是非常有用的，可以單獨用來檢查有限差分法和有限元法的精度。

2.1.1 穩定電流場的邊值問題

電阻率法的正演計算問題，均歸結為求解穩定電流場的下述邊值問題。

2.1.1.1 點源場中三維地電體的邊值問題

在這種情況下，地下介質的電導率和電場均為三維空間的函數，即σ＝σ（x，y，z）和U＝U（x，y，z）。

（1）位函數U（x，y，z）所滿足的微分方程

設在電導率為σ（x，y，z）的無限岩石中，位於A（x_A，y_A，z_A）點處有一電流為Ⅰ的點電流源。由場論可知，在有源域內，可定義為

高密度電法勘探方法與技術

可見，根據邊界條件求出積累電荷的面分布，便可有上式計算出電位值。

Ⅵ 有限差分法

有限差分法是以差分原理為基礎的一種數值計演算法。它用各離散點上函數的差商來近似替代該點的偏導數，把要解的邊值問題轉化為一組相應的差分方程。然後，解出差分方程組（線性代數方程組）在各離散點上的函數值，便得邊值問題的數值解。

現以二維等步長差分格式為例，說明有限差分法的原理和方法步驟。

1.區域離散化，作網格剖分

如圖1-4-1所示，用平行於坐標軸的兩組直線族將地下劃分成正方形網格，相鄰兩坐標線的距離為h，則任一點的x、z坐標為

圖1-4-1 二維等步長正方形網路

地電場與電法勘探

每個正方形為一單元，其邊長h稱為步長，網格的交點稱為節點。任一節點的坐標（x，z）可表示為（ih，kh），或簡化為（i，k），用階梯狀折線代替原來的曲線段。在邊界線以內的節點稱為內節點，邊界上的節點稱為邊界節點。

2.微分方程離散化，構組差分方程

某一內節點（i，k）處的電位為U（i，k），由於h很小，可將節點（i，k）四周的電位在節點處展成泰勒級數：

地電場與電法勘探

式中U_x，U_xx，……和U_z，U_zz，……分別表示U對x和z的一階導數、二階導數等。將前兩個式子相加，並且忽略h的四次項與更高次項，經整理可得：

地電場與電法勘探

同理得：

地電場與電法勘探

將上述U_xx和U_zz代入含源分區均勻岩石中位函數U所滿足的微分方程（1-4-16）的第二式，即得二維函數U（x，z）的差分方程：

地電場與電法勘探

對於無源分區均勻介質，位函數U（x，z）所滿足的微分方程（1-4-17）的差分方程為

地電場與電法勘探

3.線性方程組的形成與求解

對於邊界節點，其相應的差分方程可根據邊界條件給出。全部結點所建立差分方程（1-4-18）和（1-4-19）的總和可分別寫成以下矩陣形式：

地電場與電法勘探

和

地電場與電法勘探

〔A〕是方程組的系數矩陣，它是與電阻率分布有關的函數；｛U｝是電位U的列向量，其分量為所有節點上的電位；｛F｝是常向量。當給定電阻率分布及邊界條件後，解線性方程（1-4-20）和（1-4-21），便可求得電位的空間分布。

電位｛U｝值的計算精度與步長h的大小有很大關系。一般說來，網格劃分越細，即h值越小，｛U｝值與理論值就越接近。但是此時節點數目也急劇增加，因而所需的計算機內存和計算時間也就會增大。解決計算速度與精度這一矛盾的較好方法是採用變步長，即在近區將網格分得密些，遠區影響較小可分得稀些。

Ⅶ 有限積分法和有限差分法

1.1 概念
有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。

1.2 差分格式
（1）從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。
（2）從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。
（3）考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。

目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用於有結構網格，網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定。

1.3 構造差分的方法
構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

2. FEM

2.1 概述
有限元方法的基礎是變分原理和加權餘量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變數改寫成由各變數或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，藉助於變分原理或加權餘量法，將微分方程離散求解。採用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。

2.2 原理
有限元方法最早應用於結構力學，後來隨著計算機的發展慢慢用於流體力學、土力學的數值模擬。在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。在河道數值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權餘量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。

根據所採用的權函數和插值函數的不同，有限元方法也分為多種計算格式。
（1）從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法；
（2）從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形網格；
（3）從插值函數的精度來劃分，又分為線性插值函數和高次插值函數等。
不同的組合同樣構成不同的有限元計算格式。

對於權函數，伽遼金(Galerkin)法是將權函數取為逼近函數中的基函數；最小二乘法是令權函數等於餘量本身，而內積的極小值則為對代求系數的平方誤差最小；在配置法中，先在計算域內選取N個配置點。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程餘量為0。插值函數一般由不同次冪的多項式組成，但也有採用三角函數或指數函數組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函數。

有限元插值函數分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數值在插值點取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標，有對稱和不對稱等。常採用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決於單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應用的最早，近來四邊形等參元的應用也越來越廣。對於二維三角形和四邊形電源單元，常採用的插值函數為有Lagrange插值直角坐標系中的線性插值函數及二階或更高階插值函數、面積坐標系中的線性插值函數、二階或更高階插值函數等。

2.3 基本原理與解題步驟
對於有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為：
(1)建立積分方程，根據變分原理或方程餘量與權函數正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發點。
(2)區域單元剖分，根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點，將區域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區域單元劃分是採用有限元方法的前期准備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節點進行編號和確定相互之間的關系之外，還要表示節點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節點序號和相應的邊界值。
(3)確定單元基函數，根據單元中節點數目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數作為單元基函數。有限元方法中的基函數是在單元中選取的，由於各單元具有規則的幾何形狀，在選取基函數時可遵循一定的法則。
(4)單元分析：將各個單元中的求解函數用單元基函數的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數代入積分方程，並對單元區域進行積分，可獲得含有待定系數(即單元中各節點的參數值)的代數方程組，稱為單元有限元方程。
(5)總體合成：在得出單元有限元方程之後，將區域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。
(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對於自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對於本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。
(7)解有限元方程：根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，採用適當的數值計算方法求解，可求得各節點的函數值。

3. 有限體積法

有限體積法（FiniteVolumeMethod）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，並使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變數的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬於加權剩餘法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬於採用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬於有限體積發的基本方法。有限體積法的基本思路易於理解，並能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變數在有限大小的控制體積中的守恆原理，如同微分方程表示因變數在無限小的控制體積中的守恆原理一樣。限體積法得出的離散方程，要求因變數的積分守恆對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恆；而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出准確的積分守恆。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函數），並將其作為近似解。有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數只用於計算控制體積的積分，得出離散方程之後，便可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程中不同的項採取不同的插值函數。

4. 比較分析
有限差分法（FDM）:直觀，理論成熟，精度可眩但是不規則區域處理繁瑣，雖然網格生成可以使FDM應用於不規則區域，但是對區域的連續性等要求較嚴。使用FDM的好處在於易於編程，易於並行。
有限元方法（FEM）:適合處理復雜區域，精度可眩缺憾在於內存和計算量巨大。並行不如FDM和FVM直觀。不過FEM的並行是當前和將來應用的一個不錯的方向。
有限容積法:適於流體計算，可以應用於不規則網格，適於並行。但是精度基本上只能是二階了。FVM的優勢正逐漸顯現出來，FVM在應力應變，高頻電磁場方面的特殊的優點正在被人重視。

比較一下：
有限容積法和有限差分法：一個區別就是有限容積法的截差是不定的（跟取的相鄰點有關，積分方法離散方程），而有限差分就可以直接知道截差（微分方法離散方程）。有限容積法和有限差分法最本質的區別是，前者是根據積分方程推導出來的（即對每個控制體積分），後者直接根據微分方程推導出來，所以前者的精度不但取決於積分時的精度，還取決與對導數處理的精度，一般有限容積法總體的精度為二階，因為積分的精度限制，當然有限容積法對於守恆型方程導出的離散方程可以保持守恆型；而後者直接由微分方程導出，不涉及積分過程，各種導數的微分藉助Taylor展開，直接寫出離散方程，當然不一定有守恆性，精度也和有限容積法不一樣，一般有限差分法可以使精度更高一些。
當然二者有聯系，有時導出的形式一樣，但是概念上是不一樣的。

至於有限容積法和有限元相比，有限元在復雜區域的適應性對有限容積是毫無優勢可言的，至於有限容積的守恆性，物理概念明顯的這些特點，有限元是沒有的。目前有限容積在精度方面與有限元法有些差距。

有限元方法比有限差分優越的方面主要在能適應不規則區域，但是這只是指的是傳統意義上的有限差分，現在發展的一些有限差分已經能適應不規則區域。對於橢圓型方程，如果區域規則，傳統有限差分和有限元都能解，在求解效率，這里主要指編程負責度和收斂快慢、內存需要，肯定有限差分有優勢。

Ⅷ 1有限差分法主要解決哪幾類問題 2差分格式主要有哪幾種 3中間差分是怎麼來的

微分方程和積分微分方程數值解的方法。基本思想是把連續的定解區域用有限個離散點構成的網格來代替， 這些離散點稱作網格的節點；把連續定解區域上的連續變數的函數用在網格上定義的離散變數函數來近似；把原方程和定解條件中的微商用差商來近似， 積分用積分和來近似，於是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數方程組，即有限差分方程組 ， 解此方程組就可以得到原問題在離散點上的近似解。然後再利用插值方法便可以從離散解得到定解問題在整個區域上的近似解。
在採用數值計算方法求解偏微分方程時，若將每一處導數由有限差分近似公式替代，從而把求解偏微分方程的問題轉換成求解代數方程的問題，即所謂的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步驟如下：
1、區域離散化，即把所給偏微分方程的求解區域細分成由有限個格點組成的網格；
2、近似替代，即採用有限差分公式替代每一個格點的導數；
3、逼近求解。換而言之，這一過程可以看作是用一個插值多項式及其微分來代替偏微分方程的解的過程（Leon，Lapis，George F.Pinder，1985）

Ⅸ 有限差分法的原理

以連續性原理與達西定律為基礎，對任何復雜的地下水流系統都可以建立其相應的數學模型，即地下水運動的微分方程和決定其解的初、邊值條件。但數學模型如何求解，常取決於地下水流系統水文地質條件概化的程度。

2.6.1.1離散化

有限差分法解地下水流系統的實質，是把要研究的滲流區域按一定的方式剖分(離散)成許多但有限的小均衡域。在一定的精度要求下，每個小均衡域內各種參數視為常數，小均衡域內的水頭以其中心的水頭為其代表，相鄰小均衡域間的水頭變化近似看做是線性的。把所要研究的滲流區域按一定方式剖分成許多但有限的小均衡域稱為對滲流區域的離散化。若以二維滲流區域為例，最簡單的剖分是用兩組相互正交的平行線把滲流區域剖分成許多矩形小均衡域。剖分約定:第一類邊界從小區域的中心經過;第二類邊界與小均衡域的邊界重合。小均衡域的中心叫節點(或結點)，可用適當的方法標定小均衡域及相應節點的編號。習慣作法是，將橫向的網格叫行，另一個方向的叫列，行與列均順序編號。於是位於第j行與第i列相交處的小均衡域及節點統一記為(i，j)。沿行與列的網格格距用Δx、Δy表示，叫空間步長。對於二維非穩定流來講，可取第三個坐標為時間t，若以Δt表示時間間隔，將二維網格按Δt向上重復而形成一個三維網格系，此時的小均衡域為一立方體，位於第m層的小均衡域及節點統一記為(i，j，m)。有限差分法所要計算的是(i，j)或(i，j，m)得近似值。

2.6.1.2地下水流的有限差分方程

以承壓水二維流為例建立有限差分方程。從離散化的滲流區域中取出一個小均衡域，如圖2.1。

圖2.1小均衡域圖

模型的假設條件:①地下水流為承壓水;②小均衡域除側向徑流外，無其他流量交換;③網格沿行及列分別為等距的，但行距與列距可以不等，且分別記為ΔX與ΔY;④離散點上的近似水頭值以h表示。

根據達西定律可算得小均衡域(i，j)在某瞬時的四個側向徑流量分別為:

1)沿右側流入:

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2)沿左側流入:

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3)沿下部流入:

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4)沿上部流入:

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單位時間流入小均衡域的總側向徑流量Q_t為:

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假定Δt時間內，小均衡域的水頭抬高Δh，小均衡域增加的水量Q_s為:

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式中:S_i，j—小均衡域(i，j)的儲水系數。

據質量守恆有:Q_t=Q_s

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此式為非均質各向異性承壓含水層二維非穩定流有限差分方程。

由此可以看出，有限差分方程實際上是基本偏微分方程的近似表達式，其近似的程度可通過泰勒級數來加以研究。由於地下水頭曲面一般來說是連續而光滑的，於是在剖分網格中根據泰勒公式可以寫出:

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或

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由式(2.2)得:

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其中:

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由此可知，用差商 代替導數 所產生的誤差o(Δx)。o(Δx)表示誤差中佔主導地位的是含ΔX的項，叫一階誤差。用差商代替導數時o(Δx)是被捨去的，因此o(Δx)又稱截斷誤差。在式(2.4)中處於x方向的i+1號在i號的前面，因此將 叫前向差商。同樣可定義後向差商為:

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其中:

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由式(2.2)與式(2.3)還可以得:

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其中:

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稱為中心差商。由上式可見用中心差商代替導數要比後向差商或前向差商代替導數的精度提高了一階。

同樣，二階偏導數也可以用差商來近似代替:

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可以類似地寫出用差商近似水頭對時間的導數，比如:

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在滲流區域內，每一個節點都可以建立一個類似於式(2.1)的方程，從而組成有限差分方程組。如果ΔX、ΔY、Δt取得足夠小，可望解此方程組而得到足夠精確地近似值。

2.6.1.33種主要差分格式

在式(2.1)中，等號左端的Δh用h_i，j，m+1－h_i，j，m代替時，對於等號右端項，可取m+1時刻，也可取m時刻，也可取m和m+1時刻的平均值。

當右端項取m+1時刻的水位時，為隱式差分格式:

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當右端項取m時刻的水位時，為顯式差分格式:

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當右端項取m和m+1時刻的平均值時，為中心差分格式或對稱差分格式:

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Ⅹ 有限差分法的概述

微分方程的定解問題就是在滿足某些定解條件下求微分方程的解。在空間區域的邊界上要滿足的定解條件稱為邊值條件。如果問題與時間有關，在初始時刻所要滿足的定解條件，稱為初值條件。不含時間而只帶邊值條件的定解問題，稱為邊值問題。與時間有關而只帶初值條件的定解問題，稱為初值問題。同時帶有兩種定解條件的問題，稱為初值邊值混合問題。
定解問題往往不具有解析解，或者其解析解不易計算。所以要採用可行的數值解法。有限差分方法就是一種數值解法，它的基本思想是先把問題的定義域進行網格剖分，然後在網格點上，按適當的數值微分公式把定解問題中的微商換成差商，從而把原問題離散化為差分格式，進而求出數值解。此外，還要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的數值穩定性、差分格式的解與原定解問題的真解的誤差估計、差分格式的解當網格大小趨於零時是否趨於真解（即收斂性），等等。
有限差分方法具有簡單、靈活以及通用性強等特點，容易在計算機上實現。