數學物理反推法及數值演算法

Ⅰ 數學物理方法和數值分析哪個難

數物難啊

Ⅱ 數學中都有什麼演算法啊

定義法、配方法、待定系數法、換元法、反證法、數學歸納法、導數法、賦值法、消去法、定比分離法、比較法、分析法、綜合法 ，，，還有很多桑

介里有幾個比較詳細的哈。。。
一、換元法
「換元」的思想和方法，在數學中有著廣泛的應用，靈活運用換元法解題，有助於數量關系明朗化，變繁為簡，化難為易，給出簡便、巧妙的解答。
在解題過程中，把題中某一式子如f(x)，作為新的變數y或者把題中某一變數如x，用新變數t的式子如g(t)替換，即通過令f(x)=y或x=g(t)進行變數代換，得到結構簡單便於求解的新解題方法，通常稱為換元法或變數代換法。
用換元法解題，關鍵在於根據問題的結構特徵，選擇能以簡馭繁，化難為易的代換f(x)=y或x=g(t)。就換元的具體形式而論，是多種多樣的，常用的有有理式代換，根式代換，指數式代換，對數式代換，三角式代換，反三角式代換，復變數代換等，宜在解題實踐中不斷總結經驗，掌握有關的技巧。
例如，用於求解代數問題的三角代換，在具體設計時，宜遵循以下原則：（1）全面考慮三角函數的定義域、值域和有關的公式、性質；（2）力求減少變數的個數，使問題結構簡單化；（3）便於藉助已知三角公式，建立變數間的內在聯系。只有全面考慮以上原則，才能謀取恰當的三角代換。
換元法是一種重要的數學方法，在多項式的因式分解，代數式的化簡計算，恆等式、條件等式或不等式的證明，方程、方程組、不等式、不等式組或混合組的求解，函數表達式、定義域、值域或最值的推求，以及解析幾何中的坐標替換，普通方程與參數方程、極坐標方程的互化等問題中，都有著廣泛的應用。
二、消元法
對於含有多個變數的問題，有時可以利用題設條件和某些已知恆等式（代數恆等式或三角恆等式），通過適當的變形，消去一部分變數，使問題得以解決，這種解題方法，通常稱為消元法，又稱消去法。
消元法是解方程組的基本方法，在推證條件等式和把參數方程化成普通方程等問題中，也有著重要的應用。
用消元法解題，具有較強的技巧性，常常需要根據題目的特點，靈活選擇合適的消元方法
三、待定系數法
按照一定規律，先寫出問題的解的形式（一般是指一個算式、表達式或方程），其中含有若干尚待確定的未知系數的值，從而得到問題的解。這種解題方法，通常稱為待定系數法；其中尚待確定的未知系數，稱為待定系數。
確定待定系數的值，有兩種常用方法：比較系數法和特殊值法。
四、判別式法
實系數一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0) ①
的判別式△=b2-4ac具有以下性質：
＞0，當且僅當方程①有兩個不相等的實數根
△ ＝0，當且僅當方程①有兩個相等的實數根；
＜0，當且僅當方程②沒有實數根。
對於二次函數
y=ax2+bx+c (a≠0)②
它的判別式△=b2-4ac具有以下性質：
＞0，當且僅當拋物線②與x軸有兩個公共點；
△ ＝0，當且僅當拋物線②與x軸有一個公共點；
＜0，當且僅當拋物線②與x軸沒有公共點。
五、 分析法與綜合法
分析法和綜合法源於分析和綜合，是思維方向相反的兩種思考方法，在解題過程中具有十分重要的作用。
在數學中，又把分析看作從結果追溯到產生這一結果的原因的一種思維方法，而綜合被看成是從原因推導到由原因產生的結果的另一種思維方法。通常把前者稱為分析法，後者稱為綜合法。
六、 數學模型法
例（哥尼斯堡七橋問題）18世紀東普魯士哥尼斯堡有條普萊格河，這條河有兩個支流，在城中心匯合後流入波羅的海。市內辦有七座各具特色的大橋，連接島區和兩岸。每到傍晚或節假日，許多居民來這里散步，觀賞美麗的風光。年長日久，有人提出這樣的問題：能否從某地出發，經過每一座橋一次且僅一次，然後返回出發地？
數學模型法，是指把所考察的實際問題，進行數學抽象，構造相應的數學模型，通過對數學模型的研究，使實際問題得以解決的一種數學方法。
七、配方法
所謂配方，就是把一個解析式利用恆等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恆等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。
八、因式分解法
因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恆等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。
九、換元法
換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易於解決。

介里LL沒有說很詳細桑，，，，內啥簡便演算法我也一起說了桑丶
乘法交換律，乘法分配律，加法交換律，加法結合律，乘法分配律，

Ⅲ 數值計算方法的主要研究對象有哪些其常用基本演算法主要包括哪三個方面

數值計算方法的主要研究對象：研究各種數學問題的數值方法設計、分析、有關的數學理論和具體實現。其常用基本演算法在數值分析中用到迭代法的情形會比直接法要多。例如像牛頓法、二分法、雅可比法、廣義最小殘量方法及共軛梯度法等等。在計算矩陣代數中，大型的問題一般會需要用迭代法來求解。

許多時候需要將連續模型的問題轉換為一個離散形式的問題，而離散形式的解可以近似原來的連續模型的解，此轉換過程稱為離散化。

例如求一個函數的積分是一個連續模型的問題，也就是求一曲線以下的面積若將其離散化變成數值積分，就變成將上述面積用許多較簡單的形狀（如長方形、梯形）近似，因此只要求出這些形狀的面積再相加即可。

(3)數學物理反推法及數值演算法擴展閱讀

數值分析也會用近似的方式計算微分方程的解，包括常微分方程及偏微分方程。

常微分方程往往會使用迭代法，已知曲線的一點，設法算出其斜率，找到下一點，再推出下一點的資料。歐拉方法是其中最簡單的方式，較常使用的是龍格－庫塔法。

偏微分方程的數值分析解法一般都會先將問題離散化，轉換成有限元素的次空間。可以透過有限元素法、有限差分法及有限體積法，這些方法可將偏微分方程轉換為代數方程，但其理論論證往往和泛函分析的定理有關。另一種偏微分方程的數值分析解法則是利用離散傅立葉變換或快速傅立葉變換。

Ⅳ 已知結果反推回去的數學方法叫做什麼

倒推法，不是反證法，反證法是先假設結論不正確，然後根據假設證明出與已知條件不符的結論，說明假設錯誤！

Ⅳ 數學物理方法ch6

《數學物理方法》主要介紹了三類典型數學物理方程定解問題的多種求解方法。全書重點講解了分離變數法、行波法和Green函數法三種基本的解析方法，及差分法和有限元方法兩類數值演算法，並詳細介紹了求解離散方程——線性方程組的直接解法和迭代解法。全書共分為八章，第一章是方程的導出和定解問題；第二章一第四章分別介紹了求解數學物理方程定解問題的行波法、分離變數法和Green函數法；第五章和第六章是關於差分法和有限元方法的介紹；第七、第八章分別介紹了求解線性方程組的直接法和迭代法。書中配有形式多樣的習題，並附有答案和提示。《數學物理方法》內容豐富完整，嚴密性與實用性並重，具有深入淺出、清晰易懂的特點，符合21世紀人才培養的目標，可作為理工科高等院校相關專業研究生、本科生的教材或參考書目使用．也可供相關工程技術人員參考。是在"高等數學"課程基礎上的又一重要的基礎數學課程，它將為學習物理專業課程提供基礎的數學處理工具。
本門課程的教學內容主要包括復變函數論、數學物理方程兩部分。其中的復變函數論部分，除介紹基本原理外，著重談到共軛調和函數、留數定理、付里葉變換、拉普拉斯變換等方面的應用。數學物理方程部分是本課程的中心內容，它研究各種各樣的物理過程，並以數學物理中的偏微分方程定解問題的建立和求解為核心內容。

Ⅵ 什麼是數值計算

數值計算指有效使用數字計算機求數學問題近似解的方法與過程，以及由相關理論構成的學科。

數值計算主要研究如何利用計算機更好的解決各種數學問題，包括連續系統離散化和離散形方程的求解，並考慮誤差、收斂性和穩定性等問題。從數學類型分，數值運算的研究領域包括數值逼近、數值微分和數值積分、數值代數、最優化方法、常微分方程數值解法、積分方程數值解法、偏微分方程數值解法、計算幾何、計算概率統計等。

隨著計算機的廣泛應用和發展，許多計算領域的問題，如計算物理、計算力學、計算化學、計算經濟學等都可歸結為數值計算問題。

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構造數值積分公式最通常的方法是用積分區間上的n 次插值多項式代替被積函數，由此導出的求積公式稱為插值型求積公式。特別在節點分布等距的情形稱為牛頓-柯茨公式，例如梯形公式與拋物線公式就是最基本的近似公式。但它們的精度較差。

龍貝格演算法是在區間逐次分半過程中，對梯形公式的近似值進行加權平均獲得准確程度較高的積分近似值的一種方法，它具有公式簡練、計算結果准確、使用方便、穩定性好等優點，因此在等距情形宜採用龍貝格求積公式。

當用不等距節點進行計算時，常用高斯型求積公式計算，它在節點數目相同情況下，准確程度較高，穩定性好，而且還可以計算無窮積分。數值積分還是微分方程數值解法的重要依據。許多重要公式都可以用數值積分方程導出。

Ⅶ 數學物理反問題的反問題簡介

盡管一些經典反問題的研究可以追溯很早，反問題這一學科的興起卻是近幾十年來的事情。在科學研究中經常要通過間接觀測來探求位於不可達、不可觸之處的物質的變化規律；生產中經常要根據特定的功能對產品進行設計，或按照某種目的對流程進行控制。這些都可以提出為某種形式的反問題。可見，反問題的產生是科學研究不斷深化和工程技術迅猛發展的結果，而計算技術的革命又為它提供了重要的物質基礎。
現在，反問題的研究已經遍及現代化生產、生活、研究的各個領域。簡單的概括不足以說明問題，我們下面具體介紹一些常見的反問題類型，希望大家能夠對它有一個概括的了解 工業生產離不開產品設計，如何設計出優質產品使之更好地實現其功能，是關繫到廠家信譽和企業生存的大問題。在這方面，從事反問題研究的數學家可以為企業家出謀劃策。
事實上，最早的反問題研究就是起源於定向設計問題。我們知道，單擺的等時性只是在小角度的假設下才近似成立。能不能找到一種特殊軌線的擺，使它嚴格滿足等時性？Huygens於1673年提出並解決了這一問題，這種特殊的軌線就是旋輪線，它的方程為到了十九世紀，挪威數學家Abel將Huygens的問題推廣為：測出了物體從不同高處落下的時間，如何反求物體下落的軌道？他於1823年給出了問題的解答。
當代工業產品的極大豐富為反問題的研究提供了廣闊的用武之地，許多工業設計問題是相當困難的，需要用到高深的數學手段。例如，國外的光學儀器廠家提出：能否設計一種光柵，利用其非線性衍射效應產生出高能量的單色光射線？這就是一個定向設計問題，它要求數學家利用推導和計算手段構造出所需要的曲面（光柵）形狀。
定向設計不限於產品，它的應用相當廣泛。比如說：一個城市的某條街道車流量很大，不堪負荷，怎樣通過鋪設新的路段來進行分流？在軍事行動中如何對不同種類的炮火進行分布以達到特定的轟炸效果？這類問題往往涉及各種事物的組合、分配、布局，要求在各種相互制約、相互影響的因素中尋找出最佳方案，為領導的決策提供依據。 給你一隻管子，不允許直接進入內部測量，你能算出裡面的形狀嗎？如果管子是軸對稱的，這時只需要知道內部的截面半徑就可以了。美國貝爾電話實驗室的Sondhi和Gophinath提供了一個方法：在管子的一邊發出聲音，用儀器測量管口的位移速度和壓力。通過測量結果就可以推知管內的截面半徑。理論計算與實驗結果吻合得很好。
不要小看了這個例子，它實際上暗示了許多不能直接測量的物性探測問題可以通過類似的間接方法來解決。我們通常說「上天入地」都是很困難的事情，可是在一些情況下似乎必須「入地」才能解決問題，比如說石油勘探。石油通常埋在幾千米的地下，無法直接觀察油田的位置和儲量，靠試打井的辦法來探測不但費用昂貴（一口井的代價要上千萬元），而且效率極低（只能探測到井附近的局部信息）。一個可行的辦法是通過地面爆炸向地下發射地震波，同時接收地層的反射波信號。可以想像，地面接收到的反射信號中含有地下的物性結構信息（地層的密度、聲速等等），利用數學手段將這些信息提取出來，就可以對地下的油儲及其分布作出科學的判斷。這很象在夏天人們挑西瓜，把瓜放在耳邊拍一拍，有經驗的人就知道瓜瓤熟不熟，不需要切開來看，不會破壞西瓜的完整。
類似的探測方法可以應用於許多方面，如：農用土壤分析、地下水勘查，甚至於在考古發現上也有應用。位於三峽庫區的四川省雲陽縣故陵鎮有一個大土包，相傳為楚國古墓，但是歷經三千餘年的變遷，已經難以確認了。科技工作者在地表利用地震波法、高精度磁法、電場岩性探測和地化方法四種手段進行探測，不但確認了古墓的存在，而且得到了關於古墓的埋藏深度、形狀、大小甚至墓道的准確信息，為搶救和保護文物作出了貢獻。 在前面講到的Abel反問題中，如果把下落的物體用掃描射線替代，從另一個角度來看它為我們提供了從射線的走時響應反推其傳播軌跡的方法，將不同軌跡射線的反演結果組合起來就能得到傳播介質的內部形態信息。本世紀初，Hebglotz和Wiechebt應用Abel型反演方法解決了在一定對稱條件下通過地震波的走時曲線來反推地層內部形貌的方法。據此Mohobovic（1909年）發現了地殼與地幔之間的斷層。現在，利用地震波的接收信號通過成像來考察地層地貌形態已經成為地球物理勘探最為重要的手段。例如，通過走時成像，可以得到地震波在不同深度的傳播速度；而在已知速度的前提下，利用聲波方程或其單程波方程偏移成像方法，又可以得到反射界面的位置和形狀。
成像的另一個重要應用是醫學上的計算機層析成像（CT），這是X光射線自Roentgen發明（獲1900年諾貝爾獎）以來在醫療診斷上的重大進展，其發明人Hounsfield和Cormack因此獲得了1979年的諾貝爾醫學獎。CT技術是醫學、電子技術、計算機技術和反演數學相結合的產物，它利用計算機來對穿越人體的X射線信號進行處理，來重建體內的結構信息，生成透視圖象供醫療診斷參考，其核心演算法的數學基礎是二維Radon變換。繼之而起的是基於三維Radon變換的核磁共振成像，在診斷效果和無傷害性方面更為優越。事實上，類似的方法也可以藉助於聲波、光波、電磁波在無損探傷、雷達偵察、射電望遠鏡探測、環境監測等多方面有廣泛應用。 在科學研究中，我們經常遇到這樣的問題：知道了某個事物的現在狀態，希望了解它的過去，即通常所說的「恢復歷史的本來面目。」這往往可以提為逆時反問題。當然，反問題研究不是歷史學，它所研究的對象一般要滿足某種類型的演化方程或數學模式。例如，通過遠程測得的某次爆炸產生的輻射波，如何確定爆炸的位置和初始能量？這是波動方程的逆時反問題；又如，根據近來的溫度變化能否確定過去某個時間的溫度狀態？這就成為熱傳導方程的逆時反問題。
前面介紹了反問題的幾種類型，它們在研究和應用上經常是相互聯系的，分門別類只是為了敘述方便。另外，反問題與其它數學學科之間並沒有一個嚴格的界限，而是互為補充，互相促進。反問題的研究起源於數理方程，其反演演算法中包含了微分方程數值解法、最優化方法和概率統計等方面的許多思想和技巧。另一方面，反問題的研究也促進了人們對世界的認識，使得研究更全面、深化。一個著名的例子是反散射方法在孤立子發現中的作用：反散射問題是量子物理學研究中的一個問題，通過譜和譜函數在無窮遠處的散射性態反推一維Schordinger方程的位勢函數。它由前蘇聯數學家Gelfand和Levitan（1955年）一舉解決。在此基礎上引發了一系列突破性進展，最為著名的是利用這個結果Lax（1968年）得到了關於KDV方程的巧妙解法，從而發現了非線性方程中的孤立子現象。這是近代非線性科學研究的重要事件。 與正問題相比，反問題的研究起步較晚，發展還遠不成熟。從本質上來說，反問題的研究的難度一般比相應的正問題要大。這是因為反問題的求解往往違背了物理過程的自然順序，從而使正問題中的許多良好性質不再滿足。這種現象在許多學科的研究中都是普遍存在的。比如說：曹雪芹創作了古典名著《紅樓夢》，這是人所共知的，但是要從現存的史料和文物「碎片」來恢復這位偉大作家的人生經歷和創作歷程則是一件萬分艱辛的事情，更何況這些「碎片」信息真偽交雜，且時有含混。反問題的研究也經常遇到類似的困難，這些困難體現在：
1. 存在性：我們要求的反問題的解很可能不存在！無解的原因多種多樣，可能是在定向設計中問題的提法不合理，也可能是探測時接收到的響應中含有假信息（噪音），將求解引入歧途。
2. 唯一性：有的反問題的解雖然存在，卻不唯一，有幾個甚至無窮多個。這是因為收集到的信息不夠，不足以確定解的性態。對大多數反問題（比如探測問題）來說，真正的解只有一個，這就要從許多解當中進行挑選，去偽存真，頗費周折。
3. 穩定性：利用計算手段，由接收信息來反演物質的結構和特性是反問題研究的重要內容。可是實際的接收響應中不可避免地含有噪音，計算過程也有累積誤差。這種微小的誤差會不會導致反演結果面目全非？研究表明，相當多的反問題正是具有這樣的病態性質！熱傳導方程的逆時反問題就是一個例子。熱力學第二定律告訴我們，熱傳導是一個不可逆過程，它的反問題求解是高度病態的。為了解決溫度的逆時反演，就不得不冒這種「差之毫釐，謬以千里」的危險。
存在性、唯一性和穩定性，三者之一不滿足就稱為不適定性問題。用傳統的眼光來看，這樣的問題是不值得研究的。正是反問題的研究開闊了人們的視野，認識到這樣的問題是大量存在的，而且有著重要的研究和應用價值。
如果一個問題的解不存在、不唯一、不穩定，那麼求解得到的結果可信嗎？這是反演工作者必須面對的問題。解決的辦法是有的！奠基性工作是由前蘇聯Tikonov等學者提出的解決線性不適定問題的正則化方法。方法的主要思想是：利用對解和數據誤差的先驗估計可以將問題的求解限定在某個較小范圍內，對問題的提法進行適當的改造後，原本不適定的問題就可以轉化為適定的最優化問題求解，而且先驗估計表明在一定精度下用正則化方法求得的解是合理的。這比如猜謎：「後，打一人名」，無從猜起。如果限定「打《紅樓夢》中一人名」，范圍縮小了，可以用書中601個人物（有的書中沒有交代姓名）逐一比較，最後選出最優的答案－「王夫人」。
充分利用各種合理的先驗信息對問題作適當形式的轉換，是反問題求解的重要方法，在實際生產中經常要用到。拿地震波勘探為例，限於技術原因，地面接收的信號噪音很大，信息殘缺不全，完全的反演是很困難的。為了滿足生產的要求，必須盡最大可能恢復出地下的結構形態。這時，多種反演方法並用是一個可行的辦法；如果在目的地有一口油井，那麼可以把井下的信息作為局部約束來校正反演結果；為了計算的穩定性還必須使用一些特殊的數學技巧。這樣得到的反演結果與資料解釋人員的經驗結合起來，可以對油田的決策與發展提供參考依據。
除了前面提到的不適定性以外，反問題的研究與應用還經常面臨非線性的困擾。即使正問題是線性的，它的反問題也往往表現為非線性，這為反演的研究和計算帶來了很多麻煩。為了求解非線性反問題，通常要線性化後反復進行正、反演迭代，在高維情況下將導致十分巨大的計算量。我們知道，一個效率低下的演算法在生產應用中將導致時間和人力、物力的極大浪費。所以反問題的計算效率也是一個非常重要的課題。它要求計算數學工作者從實際應用出發，充分研究問題的性質和特點，構造出精巧、快速的演算法以適應生產的需要。
反演問題有著特殊的困難，它向我們提出了許多在認識論、方法論中富有挑戰
性的課題，深化了對客觀現象的理解。反問題的研究確有它獨立的價值。 反問題研究的興起不過是近幾十年的事情，它主要的研究對象是涉及與探測、識別和設計有關的應用問題。實際生產的迫切需求是推動這一學科迅速發展的原動力。1987年，以「反問題、反演方法和數據反演計算」為主要內容的專題雜志Inverse Problems創刊，標志著反問題的研究走向獨立和成熟。世界上每年都舉行各種形式的反問題研討會，得到了數學、物理、工程技術等多方面專家的響應。需要指出的是，在國外對反問題研究的資助不僅來自於科研和工業部門，還得到了國防部門的有力支持。
我國的反問題研究自八十年代初由馮康先生首倡，在實際問題的推動下，先後在中國科學院、哈爾濱工業大學、山東大學、中山大學、南京大學以及石油等工業部門多家單位取得相當數量的理論和實際應用成果。
近四十年來計算技術的飛速發展大大增強了數學工作者在自然科學、社會科學和工程技術等廣闊領域的參與能力，反問題正是在這樣的背景下應運而生的交叉性學科。它的生命力源於實際應用的迫切需求和反演工作者卓有成效的工作。反問題的出現為傳統數理方程的研究開辟了新的疆域，也為數學家參與實際生活提供了新的切入點。應該看到，反問題的開展程度與工業和國防的現代化、科學技術在產品中的含量有著密切的關系。我們期待著這一新興學科在國內能夠健康地發展起來，為國家的經濟建設作出它應有的貢獻。

Ⅷ 數學物理方法公式總結

公式？我學的數理方法是一大堆解方程的方法和數學理論啊！公式少得可憐，而且全是微積分的公式，在這里不可能打得出來啊！

Ⅸ 計算物理學中常用的數學方法有哪些

計算物理學是一門新興的邊緣學科。利用現代電子計算機的大存儲量和快速計算的有利條件，將物理學、力學、天文學和工程中復雜的多因素相互作用過程，通過計算機來模擬。如原子彈的爆炸、火箭的發射，以及代替風洞進行高速飛行的模擬試驗等。
理論物理是從一系列的基本物理原理出發，列出數學方程，再用傳統的數學分析方法求出解析解，通過這些解析解所得到的結論和實驗觀測結果進行對比分析，從而解釋已知的實驗現象並預測未來的發展。
隨著計算機技術的飛速發展和計算方法的不斷完善，計算物理學在物理學進一步發展中扮演著越來越重要的不可替代的角色，計算物理學越來越經常地與理論物理學和實驗物理學一起被並稱為現代物理學的三大支柱。很難想像一個21世紀的物理系畢業生，不具備計算物理學的基本知識，不掌握計算物理學的基本方法。
它主要包括在傳統物理課題中常用的數值計算方法(如偏微分方程的數值求解方法、計算機模擬方法中的隨機模擬方法-蒙特卡羅方法和確定性模擬--分子動力學方法以及神經元網路方法)以及計算機符號處理等內容。