演算法公式虛數

1. 虛數乘法的化簡

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
x^2+x+1的一個根為（-1-根號3*i)/2
所以（-1-根號3*i)/2也是x^3-1的根
所以{（-1-根號3*i)/2}^3=1
所以（-1-根號3*i)^3=8
所以（1+根號3*i)^3=-8
所以6次方=64

2. 虛數是什麼

虛數是指平方是負數的數。虛數這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。

目錄

簡要介紹
公式三角函數
四則運算
共軛復數
乘方
數學中的虛數實際意義
起源
i的性質
有關運算
符號來歷
相關描述
簡要介紹
公式 三角函數
四則運算
共軛復數
乘方
數學中的虛數 實際意義
起源
i的性質
有關運算
符號來歷
相關描述
展開 編輯本段簡要介紹
實軸和虛軸
虛數可以指以下含義： (1)[unreliable figure]：虛假不實的數字。 (2)[imaginary part]：復數中a+bi，b叫虛部，a叫實部。 (3)[imaginary number]：漢語中不表明具體數量的詞。 如果有數平方是負數的話，那個數就是虛數了；所有的虛數都是復數。「虛數」這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱復數平面，復平面上每一點對應著一個復數。
編輯本段公式
三角函數
sin(a+bi)=sinacosbi+sinbicosa =sinachb+ishbcosa cos(a-bi)=coscosbi+sinbisina =cosachb+ishbsina tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi) cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi) sec(a+bi)=1/cos(a+bi) csc(a+bi)=1/sin(a+bi)
四則運算
(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i (a+bi)(c+di）=(ac-bd)+(ad+bc)i (a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i r1(isina+cosa)r2(isinb+cosb)=r1r2(cos(a+b)+isin(a+b) r1(isina+cosa）/r2(isinb+cosb)=r1/r2(cos(a-b)+isin(a-b)) r(isina+cosa)^n=r^n(isinna+cosna)
共軛復數
_(a+bi)=a-bi _(z1+z2)=_z1+_z2 _(z1-z2)=_z1-_z2 _(z1z2)=_z1_z2 _(z^n)=(_z)^n _z1/z2=_z1/_z2 _z*z=|z|^2∈R
乘方
z^mz^n=z^(m+n) z^m/z^n=z^(m-n) (z^m)^n=z^mn z1^mz2^m=(z1z2)^m (z^m)^1/n=z^m/n z*z*z*…*z（n個）=z^n z1^n=z2-->z2=z1^1/n logai(x)=1/ iπ/2 ln(x)+logx(e) a^(ai+b)=a^ai*a^b = a^b[cosln(x^n) + i sinln(x^n). ]
編輯本段數學中的虛數
在數學里，將平方是負數的數定義為純虛數。所有的虛數都是復數。定義為i^2=-1。但是虛數是沒有算術根這一說的，所以±√(-1)=±i。對於z=a+bi,也可以表示為e的iA次方的形式，其中e是常數，i為虛數單位，A為虛數的幅角，即可表示為z=cosA+isinA。實數和虛數組成的一對數在復數范圍內看成一個數，起名為復數。虛數沒有正負可言。不是實數的復數，即使是純虛數，也不能比較大小。 這種數有一個專門的符號「i」(imaginary)，它稱為虛數單位。不過在電子等行業中，因為i通常用來表示電流，所以虛數單位用j來表示。
實際意義
我們可以在平面直角坐標系中畫出虛數系統。如果利用橫軸表示全體實數，那麼縱軸即可表示虛數。整個平面上每一點對應著一個復數，稱為復平面。橫軸和縱軸也改稱為實 虛數
軸和虛軸。 不能滿足於上述圖像解釋的同學或學者可參考以下題目和說明： 若存在一個數，它的倒數等於它的相反數（或者它的倒數的相反數為其自身），這個數是什麼形式？ 根據這一要求，可以給出如下方程： -x = (1/x) 不難得知，這個方程的解x=i （虛數單位） 由此，若有代數式 t'=ti，我們將i理解為從t的單位到t'的單位之間的轉換單位，則t'=ti將被理解為 -t' = 1/t 即 t' = - 1/t 這一表達式在幾何空間上的意義不大，但若配合狹義相對論，在時間上理解，則可以解釋若相對運動速度可以大於光速c，相對時間間隔產生的虛數值，實質上是其實數值的負倒數。也就是所謂回到過去的時間間隔數值可以由此計算出來。 虛數成為微晶片和數字壓縮演算法設計中的核心工具，虛數是引發電子學革命的量子力學的理論基礎。
起源
要追溯虛數出現的軌跡，就要聯系與它相對實數的出現過程。我們知道，實數是與虛數相對應的，它包括有理數和無理數，也就是說它是實實在在存在的數。 有理數出現的非常早，它是伴隨人們的生產實踐而產生的。 無理數的發現，應該歸功於古希臘畢達哥拉斯學派。無理數的出現，與德謨克利特的「原子論」發生矛盾。根據這一理論，任何兩個線段的比，不過是它們所含原子數目的經。而勾股定理卻說明了存在著不可通約的線段。 不可通約線段的存在，使古希臘的數學家感到左右為難，因為他們的學說中只有整數和分數的概念，他們不能完全表示正方形對角線與邊長的比，也就是說，在他們那裡，正方形對角線與連長的比不能用任何「數」來表示。西亞他們已經發同了無理數這個問題，但是卻又讓它從自己的身邊悄悄溜走了，甚至到了希臘最偉大的代數學家丟番圖那裡，方程的無理數解仍然被稱為是「不可能的」。 「虛數」這個名詞是17世紀著名數學家、哲學家笛卡爾創制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。 人們發現即使使用全部的有理數和無理數，也不能長度解決代數方程的求解問題。像x^2+1=0這樣最簡單的二次方程，在實數范圍內沒有解。12世紀的印度大數學家婆什伽羅都認為這個方程是沒有解的。他認為正數的平方是正數，負數的平方也是正數，因此，一個正數的平方根是兩重的；一個正數和一個負數，負數沒有平方根，因此負數不是平方數。這等於不承認方程的負數平方根的存在。 到了16世紀，義大利數學家卡爾達諾在其著作《大術》（《數學大典》）中，把記為1545R15-15m這是最早的虛數記號。但他認為這僅僅是個形式表示而已。1637年法國數學家笛卡爾，在其《幾何學》中第一次給出「虛數」的名稱，並和「實數」相對應。 1545年義大利米蘭的卡爾達諾發表了文藝復興時期最重要的一部代數學著作，提出了一種求解一般三次方程的求解公式： 形如：x^3+ax+b=0的三次方程解如下：x={(-b/2)+[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3)+{(-b/2)-[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3) 當卡丹試圖用該公式解方程x^3-15x-4=0時他的解是：x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3) 在那個年代負數本身就是令人懷疑的，負數的平方根就更加荒謬了。因此卡丹的公式給出x=(2+j)+(2-j)=4。容易證明x=4確實是原方程的根，但卡丹不曾熱心解釋(-121)^(1/2)的出現。認為是「不可捉摸而無用的東西」。 直到19世紀初，高斯系統地使用了i這個符號，並主張用數偶（a、b）來表示a+bi，稱為復數，虛數才逐步得以通行。 由於虛數闖進數的領域時，人們對它的實際用處一無所知，在實際生活中似乎沒有用復數來表達的量，因此在很長一段時間里，人們對它產生過種種懷疑和誤解。笛卡爾稱「虛數」的本意就是指它是虛假的；萊布尼茲則認為：「虛數是美妙而奇異的神靈隱蔽所，它幾乎是既存在又不存在的兩棲物。」歐拉盡管在許多地方用了虛數，但又說：「一切形如,√-1，√-2的數學式子都是不可能有的，想像的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對於這類數，我們只能斷言，它們既不是什麼都不是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼，它們純屬虛幻。」

3. 配方法、開方法、公式法演算法和公式

1..配方法（可解全部一元二次方程）
2.公式法（可解全部一元二次方程）
3.因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分「提公因式法」、「公式法（又分「平方差公式」和「完全平方公式」兩種）」和「十字相乘法」。
4.開方法（可解全部一元二次方程）一元二次方程的解法實在不行(你買個卡西歐的fx-500或991的計算器 有解方程的，不過要一般形式)
如何選擇最簡單的解法：
1、看是否可以直接開方解；
2、看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考慮提公因式法，再考慮公式法，最後考慮十字相乘法）；
3、使用公式法求解；
4、除非題目要求，最後再考慮配方法（配方法雖然可以解全部一元二次方程，但是解題步驟太麻煩）。
一、知識要點：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數學的一個重點內容，也是今後學習數學的基礎，應引起同學們的重視。
一元二次方程的一般形式為：ax^2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一個未知數，並且未知數的最高次數是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例題精講：
1、直接開平方法：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解為x=m±√n
例1．解方程（1）(3x+1)^2=7 （2）9x^2-24x+16=11
分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)^2，右邊=11>0，所以此方程也可用直接開平方法解。
（1）解：(3x+1)^2=7
∴(3x+1)^2=7
∴3x+1=±√7(注意不要丟解)
∴x= ...
∴原方程的解為x1=...,x2= ...
（2）解： 9x^2-24x+16=11
∴(3x-4)^2=11
∴3x-4=±√11
∴x= ...
∴原方程的解為x1=...,x2= ...
2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)
先將固定數c移到方程右邊：ax^2+bx=-c
將二次項系數化為1：x^2+(b/a)x=-c/a
方程兩邊分別加上一次項系數的一半的平方:x^2+(b/a)x+0.5(b/a)^2=-c/a+0.5(b/a)^2
方程左邊成為一個完全平方式：[x+0.5(b/a)]^2=-c/a+0.5(b/a)^2
當b2-4ac≥0時，x+ =± √[-c/a+0.5(b/a)^2 ]-0.5(b/a)
∴x=...(這就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x^2-4x-2=0
解：將常數項移到方程右邊 3x^2-4x=2
將二次項系數化為1：x^2-x=
方程兩邊都加上一次項系數一半的平方：x^2-x+( )^2= +( )^2
配方：(x-)^2=
直接開平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然後把各項系數a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。
當b^2-4ac>0時，求根公式為x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a（兩個不相等的實數根）
當b^2-4ac=0時，求根公式為x1=x2=-b/2a（兩個相等的實數根）
當b^2-4ac<0時，求根公式為x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a（兩個共軛的虛數根）（初中理解為無實數根）
例3．用公式法解方程 2x^2-8x=-5
解：將方程化為一般形式：2x^2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解為x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0
(3) 6x^2+5x-50=0 (選學） (4)x^2-4x+4=0 （選學）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得
x^2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式，右邊為零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x^2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x^2-4x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小結：
一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般形式，同時應使二次項系數化為正數。
直接開平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程是否有解。
配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數學方法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定系數法）。
例5．用適當的方法解下列方程。(選學）
（1）4(x+2)^2-9(x-3)^2=0 （2）x^2+2x-3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先應觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現，方程左邊可用平方差公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。
（2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。
（3）化成一般形式後利用公式法解。
（4）把方程變形為 4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然後可利用十字相乘法因式分解。
（1）解：4(x+2)^2-9(x-3)^2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2）解： x^2+2x-3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）解：x^2-2 x=-
x^2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )^2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）解：4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)^2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)^2=0的二根。 (選學）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合並同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣，仔細觀察題目，我們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方法）
解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7．用配方法解關於x的一元二次方程x^2+px+q=0
解：x^2+px+q=0可變形為
x^2+px=-q (常數項移到方程右邊)
x^2+px+( )2=-q+( )2 (方程兩邊都加上一次項系數一半的平方)
(x+)2= (配方)
當p^2-4q≥0時，≥0（必須對p^2-4q進行分類討論）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
當p^2-4q<0時，<0此時原方程無實根。
說明：本題是含有字母系數的方程，題目中對p, q沒有附加條件，因此在解題過程中應隨時注意對字母取值的要求，必要時進行分類討論。
練習：
（一）用適當的方法解下列方程：
1. 6x^2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x^2-x=0 4. x^2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
（二）解下列關於x的方程
1.x^2-ax+-b2=0 2. x^2-( + )ax+ a2=0
練習參考答案：
（一）1.x1=-1/2 ,x2=2/3 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解：（把2x+3看作一個整體，將方程左邊分解因式）
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
（二）1．解：x^2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x^2-(+ )ax+ a· a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
測試(有答案在下面)
選擇題
1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2．多項式a2+4a-10的值等於11，則a的值為（ ）。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3．若一元二次方程ax^2+bx+c=0中的二次項系數，一次項系數和常數項之和等於零，那麼方程必有一個根是（ ）。
A、0 B、1 C、-1 D、±1
4． 一元二次方程ax^2+bx+c=0有一個根是零的條件為（ ）。
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0 D、c=0
5． 方程x^2-3x=10的兩個根是（ ）。
A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5
6． 方程x^2-3x+3=0的解是（ ）。
A、 B、 C、 D、無實根
7． 方程2x^2-0.15=0的解是（ ）。
A、x= B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8． 方程x^2-x-4=0左邊配成一個完全平方式後，所得的方程是（ ）。
A、(x-)2= B、(x- )2=-
C、(x- )2= D、以上答案都不對
9． 已知一元二次方程x^2-2x-m=0，用配方法解該方程配方後的方程是（ ）。
A、(x-1)^2=m2+1 B、(x-1)^2=m-1 C、(x-1)^2=1-m D、(x-1)^2=m+1
答案與解析
答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析：
1．分析：移項得：(x-5)^2=0，則x1=x2=5,
注意：方程兩邊不要輕易除以一個整式，另外一元二次方程有實數根，一定是兩個。
2．分析：依題意得：a^2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3．分析：依題意：有a+b+c=0, 方程左側為a+b+c, 且具僅有x=1時， ax^2+bx+c=a+b+c，意味著當x=1時，方程成立，則必有根為x=1。
4．分析：一元二次方程 ax^2+bx+c=0若有一個根為零，則ax^2+bx+c必存在因式x，則有且僅有c=0時，存在公因式x，所以 c=0.另外，還可以將x=0代入，得c=0，更簡單！
5．分析：原方程變為 x^2-3x-10=0,
則(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，則原方程無實根。
7．分析：2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化簡，並注意直接開平方時，不要丟根。
8．分析：兩邊乘以3得：x^2-3x-12=0，然後按照一次項系數配方，x^2-3x+(-)2=12+(- )^2，
整理為：(x-)2=
方程可以利用等式性質變形，並且 x^2-bx配方時，配方項為一次項系數-b的一半的平方。
9．分析：x^2-2x=m, 則 x^2-2x+1=m+1
則(x-1)^2=m+1.
中考解析
考題評析
1．（甘肅省）方程的根是（ ）
（A） （B） （C） 或 （D） 或
評析：因一元二次方程有兩個根，所以用排除法，排除A、B選項，再用驗證法在C、D選項中選出正確選項。也可以用因式分解的方法解此方程求出結果對照選項也可以。選項A、B是只考慮了一方面忘記了一元
二次方程是兩個根，所以是錯誤的，而選項D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是錯誤的。正確選項為C。
另外常有同學在方程的兩邊同時除以一個整式，使得方程丟根，這種錯誤要避免。
2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。
評析：思路，根據方程的特點運用因式分解法，或公式法求解即可。
3．（遼寧省）方程的根為（ ）
（A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1
評析：思路：因方程為一元二次方程，所以有兩個實根，用排除法和驗證法可選出正確選項為C，而A、B兩選項只有一個根。D選項一個數不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
4．（河南省）已知x的二次方程的一個根是–2，那麼k=__________。
評析：k=4.將x=-2代入到原方程中去，構造成關於k的一元二次方程，然後求解。
5．（西安市）用直接開平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為（ ）
（A）x=3+2 （B）x=3-2
（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2
評析：用解方程的方法直接求解即可，也可不計算，利用一元二次方程有解，則必有兩解及8的平方根，即可選出答案。
課外拓展
一元二次方程
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一個未知數且未知數的最高次項是二次的整式方程。 一般形式為ax^2+bx+c=0, (a≠0)
在公元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現於古巴比倫人的泥板文書中：求出一個數使它與它的倒數之和等於 一個已給數，即求出這樣的x與，使
x=1, x+ =b,
x^2-bx+1=0,
他們做出( )2；再做出 ，然後得出解答：+ 及 - 。可見巴比倫人已知道一元二次方程的求根公式。但他們當時並不接受 負數，所以負根是略而不提的。
埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程，例如：ax^2=b。
在公元前4、5世紀時，我國已掌握了一元二次方程的求根公式。
希臘的丟番圖（246-330）卻只取二次方程的一個正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他亦只取其中之一。
公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x^2+px+q=0的一個求根公式。
在阿拉伯阿爾．花拉子米的《代數學》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種不同的形式，令 a、b、c為正數，如ax^2=bx、ax^2=c、 ax^2+c=bx、ax^2+bx=c、ax^2=bx+c 等。把二次方程分成不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。阿爾．花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一次給出二次方程的一般解法，承認方程有兩個根，並有無理根存在，但卻未有虛根的認識。十六世紀義大利的數學家們為了解三次方程而開始應用復數根。
韋達（1540-1603）除已知一元方程在復數范圍內恆有解外，還給出根與系數的關系。
我國《九章算術．勾股》章中的第二十題是通過求相當於 x^2+34x-71000=0的正根而解決的。我國數學家還在方程的研究中應用了內插法。
[編輯本段]判別方法
一元二次方程的判斷式：
b^2-4ac>0 方程有兩個不相等的實數根．
b^2-4ac＝0 方程有兩個相等的實數根．
b^2-4ac<0 方程有兩個共軛的虛數根（初中可理解為無實數根）．
上述由左邊可推出右邊，反過來也可由右邊推出左邊．
[編輯本段]列一元二次方程解題的步驟
(1)分析題意，找到題中未知數和題給條件的相等關系；
(2)設未知數，並用所設的未知數的代數式表示其餘的未知數；
(3)找出相等關系，並用它列出方程；
(4)解方程求出題中未知數的值；
(5)檢驗所求的答案是否符合題意，並做答．
[編輯本段]經典例題精講

4. 虛數的實際意義是什麼

虛數的實際意義：

1、一切事物的值都可表示為：a+bi，而不是單有實數。

我們可以在平面直角坐標系中畫出虛數系統。如果利用橫軸表示全體實數，那麼縱軸即可表示虛數。整個平面上每一點對應著一個復數，稱為復平面。橫軸和縱軸也改稱為實軸和虛軸。在此時，一點P坐標為P(a，bi)，將坐標乘上i即點繞圓心逆時針旋轉90度。

2、虛數成為微晶片和數字壓縮演算法設計中的核心工具，虛數是引發電子學革命的量子力學的理論基礎。

3、虛數是用來表示事物中無法構成抽象概念的因素的抽象概念。

虛數i的運算公式

虛數i的運算公式：（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i。在數學中，虛數就是形如a+b*i的數，其中a，b是實數，且b≠0，i2=-1。虛數這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創立，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。

後來發現虛數a+b*i的實部a可對應平面上的橫軸，虛部b與對應平面上的縱軸，這樣虛數a+b*i可與平面內的點（a，b）對應。可以將虛數bi添加到實數a以形成形式a+bi的復數，其中實數a和b分別被稱為復數的實部和虛部。一些作者使用術語純虛數來表示所謂的虛數，虛數表示具有非零虛部的任何復數。

5. 求復數計算方法 舉幾個例子

1、加減法：實數對實數，虛數對虛數( 3+2i)+(-1-6i)=2-4i
2、乘法：注意i^2=-1,( 3+2i)x(-1-6i)=3x(-1)+3x(-6i)+2ix(-1)+2ix(-6i)=-3-18i-2i-12xi^2=-3-20i+12=9-20i
總結一下就是(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i。
3、除法：(a+bi)/(c+di) =(a+bi)*(c-di)/(c+di)*(c-di) （就是將分母上乘上一個共軛的虛數，利用平方差公式可以將分母變成實數，然後分子上的求法同乘法。
4、乘方：i^(4n+1)=i,i^(4n+2)=-1,i^(4n+3)=-i,i^4n=1（不用記，記得i平方為-1，很容易算）
5、歐拉公式：e^ix=cosx+isinx，遇到三角函數的問題，一般用它來解決。
6、關於復數的絕對值，也就是復數的模：|a+bi|=根號下（a^2+b^2)

6. 什麼是虛數演算法和實數演算法

平方為正數的是實數，平方為負數的是虛數。實數我們經常接觸，日常生活中經常碰見。
在數學里，將平方是負數的數定義為純虛數。所有的虛數都是復數。定義為i^2=-1。但是虛數是沒有算術根這一說的，所以±√(-1)=±i。對於z=a+bi,也可以表示為e的iA次方的形式，其中e是常數，i為虛數單位，A為虛數的幅角，即可表示為z=cosA+isinA。實數和虛數組成的一對數在復數范圍內看成一個數，起名為復數。虛數沒有正負可言。不是實數的復數，即使是純虛數，也不能比較大小。 這種數有一個專門的符號「i」(imaginary)，它稱為虛數單位。不過在電子等行業中，因為i通常用來表示電流，所以虛數單位用j來表示。

7. 什麼是虛數

你如果還是初中生，那麼不需要知道什麼是虛數也不會影響到你平時的解題，如果你就是想知道我可以告訴你：
在數學里，將平方是負數的數定義為純虛數。所有的虛數都是復數。定義為i^2=-1。但是虛數是沒有算術根這一說的，所以±√(-1)=±i。對於z=a+bi,也可以表示為e的iA次方的形式，其中e是常數，i為虛數單位，A為虛數的幅角，即可表示為z=cosA+isinA。實數和虛數組成的一對數在復數范圍內看成一個數，起名為復數。虛數沒有正負可言。不是實數的復數，即使是純虛數，也不能比較大小。
這種數有一個專門的符號「i」(imaginary)，它稱為虛數單位。不過在電子等行業中，因為i通常用來表示電流，所以虛數單位用j來表示。
實際意義
我們可以在平面直角坐標系中畫出虛數系統。如果利用橫軸表示全體實數，那麼縱軸即可表示虛數。整個平面上每一點對應著一個復數，稱為復平面。橫軸和縱軸也改稱為實軸和虛軸。
若存在一個數，它的倒數等於它的相反數（或者它的倒數的相反數為其自身），這個數是什麼形式？
根據這一要求，可以給出如下方程：
-x = (1/x)
不難得知，這個方程的解x=i （虛數單位）
由此，若有代數式 t'=ti，我們將i理解為從t的單位到t'的單位之間的轉換單位，則t'=ti將被理解為
-t' = 1/t
即
t' = - 1/t
這一表達式在幾何空間上的意義不大，但若配合狹義相對論，在時間上理解，則可以解釋若相對運動速度可以大於光速c，相對時間間隔產生的虛數值，實質上是其實數值的負倒數。也就是所謂回到過去的時間間隔數值可以由此計算出來。
虛數成為微晶片和數字壓縮演算法設計中的核心工具，虛數是引發電子學革命的量子力學的理論基礎。

8. 為什麼要有虛數，虛數的定義是什麼

虛數是形如a+b*i的數，其中a,b是實數，且b≠0,i² = - 1。

虛數這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創立，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數a+b*i的實部a可對應平面上的橫軸，虛部b與對應平面上的縱軸，這樣虛數a+b*i可與平面內的點(a,b)對應。

首先，假設有一根數軸，上面有兩個反向的點：+1和-1。這根數軸的正向部分，可以繞原點旋轉。顯然，逆時針旋轉180度，+1就會變成-1。這相當於兩次逆時針旋轉90度。

因此，我們可以得到下面的關系式：(+1) * (逆時針旋轉90度) * (逆時針旋轉90度) = (-1)，如果把+1消去，這個式子就變為：(逆時針旋轉90度)^2 = (-1) ，將"逆時針旋轉90度"記為 i ：i^2 = (-1)。

(8)演算法公式虛數擴展閱讀

一、虛數加法的物理意義

虛數的引入，大大方便了涉及到旋轉的計算。比如，物理學需要計算"力的合成"。假定一個力是 3 + i ，另一個力是 1 + 3i ，計算合成力。根據"平行四邊形法則"，你馬上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

二、虛數的作用

如果涉及到旋轉角度的改變，處理起來更方便。比如，一條船的航向是 3 + 4i 。如果該船的航向，逆時針增加45度，計算新航向。

45度的航向就是 1 + i 。計算新航向，只要把這兩個航向 3 + 4i 與 1 + i 相乘就可以了（原因在下一節解釋）：( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )所以，該船的新航向是 -1 + 7i 。如果航向逆時針增加90度，就更簡單了。因為90度的航向就是 i ，所以新航向等於：( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )。