圖論及其演算法李明哲

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圖論演算法及其matlab實現
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『貳』 圖論需要學哪些

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圖論演算法廣泛地應用於物理、化學、運籌學、計算機科學、電子學、資訊理論、控制論、網路理論、管理科學、社會科學等幾乎所有學科領域。《圖論重要演算法的思想及其MATLAB實現》是一本很實用的入門書籍，本書系統介紹了圖論重要演算法的思想及其MATLAB實現。主要內容有：圖論的基礎知識；最短路 ；連通圖；樹；Euler圖 和Hamilton圖；匹配問題及其演算法；網路中的流演算法；最小費用流及其Busacker-Gowan迭代演算法；圖的染色。

『肆』 圖論演算法的論證

有向無迴路圖又稱為dag。對這種有向無迴路圖的拓撲排序的結果為該圖所有頂點的一個線性序列，滿足如果G包含(u,v)，則在序列中u出現在v之前（如果圖是有迴路的就不可能存在這樣的線性序列）。一個圖的拓撲排序可以看成是圖的所有頂點沿水平線排成的一個序列，使得所有的有向邊均從左指向右。因此，拓撲排序不同於通常意義上對於線性表的排序。
有向無迴路圖經常用於說明事件發生的先後次序，圖1給出一個實例說明早晨穿衣的過程。必須先穿某一衣物才能再穿其他衣物（如先穿襪子後穿鞋），也有一些衣物可以按任意次序穿戴（如襪子和短褲）。
圖中說明經拓撲排序的結點以與其完成時刻相反的順序出現。因為深度優先搜索的運行時間為θ(V+E)，每一個v中結點插入鏈表需佔用的時間為θ(1)，因此進行拓撲排序的運行時間θ(V+E)。
為了證明演算法的正確性，我們運用了下面有關有向無迴路圖的重要引理。 有向圖G無迴路當且僅當對G進行深度優先搜索沒有得到反向邊。
證明：→：假設有一條反向邊(u,v)，那麼在深度優先森林中結點v必為結點u的祖先，因此G中從v到u必存在一通路，這一通路和邊(u,v)構成一個迴路。
←：假設G中包含一迴路C，我們證明對G的深度優先搜索將產生一條反向邊。設v是迴路C中第一個被發現的結點且邊(u,v)是C中的優先邊，在時刻d[v]從v到u存在一條由白色結點組成的通路，根據白色路徑定理可知在深度優先森林中結點u必是結點v的後裔，因而(u,v)是一條反向邊。（證畢） Topological_Sort(G)演算法可產生有向無迴路圖G的拓撲排序
證明
假設對一已知有問無迴路圖G=(V,E)運行過程DFS以確定其結點的完成時刻。那麼只要證明對任一對不同結點u,v∈V，若G中存在一條從u到v的有向邊，則f[v]<F[U]即可。考慮過程DFS(G)所探尋的任何邊(U,V)，當探尋到該邊時，結點V不可能為灰色，否則V將成為U的祖先，(U,V)將是一條反向邊，和引理1矛盾。
因此，v必定是白色或黑色結點。若v是白色，它就成為u的後裔，因此f[v]<F[U]。若V是黑色，同樣F[V]<F[U]。這樣一來對於圖中任意邊(U,V)，都有F[V]<F[U]，從而定理得證。（證畢）

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