❶ 數字圖像處理—概念&&目的&&內容：增強恢復分割
數字圖像處理（digital image processing），是利用計算機對圖像進行去除雜訊、增強、恢復、分割、提取特徵等的理論、方法和技術。
圖像處理是利用計算機和實時硬體實現的，也被稱為計算機圖像處理（computer image processing）。
在人們的日常生活中，圖像處理已經得到廣泛的應用。
如：利用指紋、虹膜、面部特徵等進行身份識別；
自動售貨機鈔票的識別；電腦成像技術等。
在醫學領域，
如：顯微鏡照片；
X射線透視；
X射線CT（Computer Tomograph，計算機斷層攝像）等。
方法/步驟
數字圖像處理的目的：
數字圖像處理是利用計算機的計算，實現與光學系統模擬處理相同效果的過程。
⑴提高圖像的視覺質量，以達到賞心悅目的目的。
例如：去除稱之為雜訊等圖像質量的退化因素；
改變圖像的亮度、顏色；
增強圖像中的某些成份、抑制某些成份；
對圖像進行幾何變換等，從而改善圖像的質量，以達到各種想要的藝術效果。
⑵提取圖像中所包含的某些特徵或特殊信息，以便於計算機分析。
如：頻域特性、
紋理特性、
灰度/顏色特性、
邊界/區域特性、
形狀/拓撲特性
關系結構等。
⑶對圖像數據進行變換、編碼和壓縮，以便於圖像的存儲和傳輸。
數字圖像處理的內容—圖像獲取、表示和表現：
過程：是把模擬圖像信號轉化為計算機所能接受的數字形式，
數字圖像顯示和表現。
包括：攝取圖像、光電轉換及數字化。
圖像增強（Image Enhancement）：
圖像增強技術是改善圖像視感質量所採取的一種重要手段。
包括：去除圖像雜訊，增強圖像對比度等。
圖像增強本事並沒有增加原始資料所包含的信息，僅僅是把圖像某些部分的特徵更加強調罷了。
圖像增強的演算法通常是互動式的。
圖像恢復（Image Restoration）：
圖像恢復是指在圖像退化（圖像品質下降）的原因已知時，對圖像進行校正，重新獲得原始圖像的過程。
圖像恢復最關鍵的是對每一種退化都需要建立一個合理的模型。
退化模型和特定數據一起描述了圖像的退化，因此恢復技術是基於模型和數據的圖像恢復，其目的是試圖將受污染或降質的圖像帶回到原本不受污染的狀況下所應得的干凈圖像，產生一個等價於理想成像系統獲得的圖像。
雖然圖像恢復與圖像增強都會造成視覺上較佳的感受，但後者更關心的是圖像特徵增強或抽取，而不是去除退化或污染。
圖像重建（Image Reconstruction）：
圖像重建：是由幾個一維的圖像投影來重建出更高維的物體圖像。
它與圖像增強、圖像恢復等不同。
圖像重建是指從數據到圖像的處理，即輸入的是某種數據，經過處理後得到的結果是圖像。
一個圖像的取得是以平行的X光或者其他的放射穿透光束照射物體，並在物體的背面接收此投影，接著在同一平面上改變光束照射的角度以獲得不同的投影，再以某些重建演算法將這些投影組合成物體的一個橫剖面圖像。這種技術主要用於醫學圖像、雷達圖像處理、天文學星象觀測、地質研究及無損壓縮等。
圖像壓縮（Image Compression）：
圖像壓縮：是降低代表數字圖像所需要的數據量，可以減少圖像傳輸時間以及存儲空間。
編碼是實現圖像壓縮的重要手段。
編碼目的有三個：
①減少數據存儲量。
②降低數據率以減少傳輸帶寬。
③壓縮數據量，便於特徵提取，為後續識別作準備。
第一代編碼是以去除冗餘為基礎的編碼方法，
如PCM、DPCM、ΔM、DCT、DFT、W-H變換編碼以及以此為基礎的混合編碼法。
第二代編碼法多為20世紀80年代以後提出的，
如Fractal編碼法、金字塔編碼法、小波變換編碼法、模型基編碼法、基於神經網路的編碼法等等。
這些編碼方法有如下特點：
①充分考慮人的視覺特性。
②恰當地考慮對圖像信號的分解與表述。
③採用圖像的合成與識別方案壓縮數據。
圖像分割（Image Segmentation）：
圖像分割就是把圖像分成區域的過程。
目前，大部分圖像的自動分割還需要人工提供必須的信息來幫助識別，只有一部分領域開始使用。
如印刷字元自動識別（OCR），指紋識別等。
圖像智能分析（Image Analysis）：
圖像智能分析是試圖從圖像中分割、提取並描述某些特徵，從而有利於計算機對圖像的識別和理解，以產生有用的信息。
①能從含有許多不相干細節的背景中找到所需的信息。
②能從範例中學習並將所學知識應用推廣到其他狀況中。
③能從不完整的資料中推斷出完整的信息。
❷ 誰能幫忙說下CT原理和反投影重建演算法是神馬書上內容太詭異了，希望用自己的經驗總結簡單一點說明。
把採集到的圖象用仿射變換配准，
為了加快運行速度可以先進行展開。
配准這一步可以在空間域，
也可在頻率域進行
然後按配准結果將這些圖象插合成一幅圖象，
再用最小二乘法求解線性方程組即可。
注意，
最好使用超鬆弛迭代法求解，
但是遇到0的時候結果可能有較大出入，
解決辦法中的一種是圖象矩陣所有元素全部加上1，
計算完成後再全部減去1，
然後再512級灰度量化
這是最簡單的重構方法，
沒有考慮圖象的模糊效應。
此外，如果有矩陣維度問題，
有兩種解決辦法，
一是將插合圖象變成正方形圖象，
一是將各插合行，列按權值累加，
反向映射，
後一種速度快些，
也不必直接求解方程，
但是不具有通用性。
❸ 重建技術和重組技術的區別
原始數據處理的涉及。
1、重建技術是指使用原始數據經計算機採用各種特定的重建演算法處理得到橫斷面影像的一種技術。
2、重組技術是用重建後的數據實施進一步後處理的技術方法，不涉及原始數據處理。
3、綜上為重建技術和重組技術的區別。
❹ 二叉樹的重建演算法是什麼
太難了
❺ 畢業論文人臉圖像壓縮與重建
在圖像處理領域中,圖像的超解析度重建技術和（略）個發展已經比較成熟的部分.本文從實際應用的要求出發,對二者的結合作了研究,即對壓縮圖像進行超解析度重建. 論文主要做了以下工作:對圖像壓縮過程中（略）重建演算法利用的運動補償和量化進行了研究,簡化並實現了MPEG-4的編碼器；研究了空間域的凸集投影(POCS)超解析度重建演算法；實現了在壓縮圖像的變換域運用凸集投影演算法來進行超解析度重建. 實驗證明,基於變換域的凸集投影演算法能去除壓縮過程帶來的量化雜訊,取得比傳統解壓後再進行普通超解析度重建更好的效果.尤其在壓縮比較大的情況下,重建效果更為明顯
❻ 三維重建 3D reconstruction 有哪些實用演算法
三維重構演算法得看你用什麼感測器了，如果是雙目相機，那一般都是極線幾何加視覺特徵配準的演算法了，優化就用bundle
adjustment。如果是單目，較早的有PTAM,DTAM，近幾年struct from
motion比較火。如果是用Kinect之類的RGBD相機，比較好的有微軟的KinectFusion，PCL的開源KinFu，以及MIT的加強版
Kintinuous。如果用激光，那一般都是當SLAM做了，前端嘛就各種ICP配准演算法了，後端的話，三維中主要還是用圖優化來做。
❼ 平行束濾波反投影重建演算法matlab怎麼用
線或面平行於投影面時，其投影反映實長或實形 線或面垂直於投影面時，其投影積聚為一點或一直線 線或面傾斜於投影面時，其投影不反映實形而為類似形
❽ 重建演算法名稱解釋
重建，讀音：chóng jiàn，漢語詞語，指重新建設或建立；重新組建。
中文名
重建
拼 音
chóng jiàn
注 音
ㄔㄨㄙˊ ㄐㄧㄢˋ
英 文
rebuild
詞目：重建
釋義：重新建設或建立；重新組建。如：重建家園。[1]
❾ 數據重建出的網格模型會有各種缺陷常用的處理方法有哪些
去噪常用的是各種濾波演算法，如均值濾波，雙邊濾波，（依賴法線或其它數據）引導濾波等。拉普拉斯濾波也屬於此類，區別是權重選取不同。共同的優點是實現簡單，可並行，速度較快。其中雙邊濾波和引導濾波可以實現保特徵效果，cotan拉普拉斯適用於不均勻網格，缺點是需要根據不同模型調整濾波參數達到想要的效果。網格補洞需要四個步驟，空洞識別，空洞填充，空洞網格細分（refine），空洞網格平滑。
網格補洞中拉普拉斯運算元用於保證補洞後的網格平滑性，此過程需要求解一階或高階拉普拉斯方程。目前常用就這一類方法，涉及到平滑性的都會跟拉普拉斯運算元關聯起來。
❿ 疊前地震數據重建方法研究
霍志周
（中國石化石油勘探開發研究院，北京 100083）
摘 要 地震勘探的目的是為了獲得地下構造的精確成像。由於人為因素和環境原因，地震數據在空間方向上往往是不規則采樣或缺失采樣的，因此經常需要在空間方向對缺失的地震數據進行重建。最小范數傅立葉重建方法是基於估算非規則采樣地震數據傅立葉系數的方法，一旦准確求得這些系數，就可以通過傅立葉反變換將地震數據重建到任何合適的空間位置。該方法的主要優點是既可以處理規則采樣數據有空道的情況，也可以處理非規則采樣的數據；該方法的缺點是無法重建含空間假頻以及含空隙過大的地震數據。針對含空間假頻的地震數據重建問題，本文通過將最小范數傅立葉重建方法和多步自回歸方法相結合，較好地克服了最小范數傅立葉重建方法的缺點。通過對不同的理論和實際地震數據算例的驗證，表明了該重建方法的有效性和實用性。
關鍵詞 地震數據重建 最小范數反演 傅立葉變換 多步自回歸
Research on Pre－stack Seismic Data Reconstruction Method
HUO Zhizhou
（Exploration and Proction Research Institute，SINOPEC，Beijing 100083，China）
Abstract The objective of exploration seismology is to obtain an accurate image of the subsurface.Due to human－related reasons and environmental circumstances，more often than not the seismic data can be irregularly sampled or missing sampled in spatial direction.Therefore，it often needs to reconstruct missing seismic data along spatial direction.Fourier reconstruction with minimum norminversion is based on estimating the Fourier coefficients that describe the irregularly sampled seismic data，and once these coefficients have been obtained， seismic data can be reconstructed on any suitable spatial location via inverse Fourier transformation.The main advantages of Fourier reconstruction are flexible，as it can not only handle regularly sampled data with gaps，but also can handle irregularly sampled data.The disadvantage of this method is that the method can』t handle spatially aliased seismic data and seismic data with large gaps.In this article，for reconstruction question of spatially aliased seismic data，Fourier reconstruction with minimum norminversion and multi－step autoregressive method is combine.This method overcomes the shortcomings of the Fourier reconstruction method.Several different theoretical and practical seismic data would be reconstructed using multi－step autoregressive method，that prove the effectiveness and practicality of this method。
Key words seismic data reconstruction；minimum norm inversion；Fourier transforms；multistep autoregressive
眾所周知，地震數據的採集嚴重影響地震數據最終的成像結果，而地震數據採集中很常見的一個問題就是地震數據沿著空間方向是非規則采樣或是稀釋采樣的。地震數據在空間方向上稀疏采樣的原因主要是出於經濟因素的考慮，稀疏采樣比較經濟，但意味著採集到較少的數據，而且會導致地震數據中含有空間假頻，尤其是在3D地震勘探中。引起地震數據在空間方向上非規則采樣的原因主要有：地表障礙物的存在（建築物、道路、橋梁等）或地形條件因素（禁采區和山區、森林、河網地區等）、儀器硬體（地震檢波器、空氣槍、電纜等）問題引起的採集壞道以及海洋地震數據採集時電纜的羽狀漂流等。在地震數據處理過程中，非規則采樣和稀疏采樣不但會引起人為誤差，而且會對基於多道技術的DMO、FK域濾波、速度分析、多次波衰減、譜估計和波動方程偏移成像等方法的處理結果帶來嚴重的影響，因此通過對原有的地震數據進行重建，使其包含的地球物理信息更加真實地反映地下地質體的地球物理特徵，使得後續地震數據處理能夠更好地滿足對復雜地質構造進行精細刻畫的要求，為油氣勘探提供更有效的指示和幫助等具有重要的現實意義［1，2］。
基於傅立葉變換的地震數據重建方法不需要地質或地球物理假設，只要求地震數據是空間有限帶寬的，並且計算效率高。傅立葉重建方法利用最小二乘反演估算非規則采樣數據的傅立葉系數，如何更好地估算傅立葉系數是該方法的核心。一旦傅立葉系數被正確估算出來，數據可以重建到任意采樣網格上。Duijndam等［3］將傅立葉重建方法應用於非規則采樣地震數據的規則化上，並成功解決了參數選擇等一系列問題。Hindriks和Duijndam［4］將該方法擴展到3D地震數據重建中。Liu和Sachhi［5］提出了最小加權范數插值的傅立葉重建方法，該帶限重建方法利用自適應譜加權范數的正則化項來約束反演方程的解，將數據的帶寬和頻譜的形狀作為帶限地震數據重建問題的先驗信息，因此得到了比傳統的帶限數據傅立葉重建方法更好的解，但沒有給出好的反假頻方法。Zwartjes和Sachhi［6］提出了使用非二次型正則化項的稀疏約束傅立葉重建方法，以改善地震數據含較寬的空道時的重建效果，並較好地解決了含有空間假頻的地震數據的重建問題。傅立葉重建方法不但可以重建規則采樣的地震數據，而且可以重建非規則和隨機采樣的地震數據，但是不能很好地重建含有空間假頻的地震數據。
本文對基於最小范數解的傅立葉地震數據重建方法的研究分析，通過最小二乘反演方法得到傅立葉域的系數來進行地震數據重建。為了改進最小范數傅立葉重建方法不能重建空道間距過大的地震數據和無法重建含有空間假頻的地震數據的缺點，本文採用了最小范數傅立葉重建方法和多步自回歸方法相結合的思想進行地震數據重建，該方法不但能重建空道間距大的地震數據，而且可以重建含有空間假頻的地震數據。
1 最小范數傅立葉重建方法
傅立葉重建是從非規則采樣數據上恢復信號的一種方法，它是基於采樣定理的，也就是說一個帶限的連續信號能夠從規則采樣數據中恢復。如果非規則采樣信號的平均采樣率超過Nyquist采樣率，則非規則采樣的信號也可以重建。在規則采樣的情況下，離散傅立葉變換是正交變換。但是當采樣是非規則時，傅立葉變換的基函數不再是正交的，這就意味著直接用離散傅立葉變換計算傅立葉系數將產生誤差。利用最小二乘反演計算傅立葉系數就是一種補救措施［7］。
假設數據是在空間方向上是不規則采樣的，每個采樣點的位置分別為［x0，…，xn，…，xN－1］。使用真實的采樣位置和采樣間隔的中點法則，非規則采樣數據的離散傅立葉變換可由以下離散求和的形式表達：
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
上式為非均勻離散傅立葉變換。其中，空間采樣間隔△xn定義為：
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
在波數域規則采樣意味著數據在空間域是周期性的，所以 X為非規則采樣數據的長度。如果直接用NDFT（Non－uniform Discrete Fourier Transform）計算波數，則由於采樣非規則而會引起極大的誤差，因此實際計算時通常採用最小二乘反演來計算波數。
首先定義由規則采樣波數計算任意空間位置采樣數據的數學變換，把它當作正演模型。假設帶限數據的波數域帶寬為［－M△k，M△k］，在波數域規則采樣，△k為空間波數采樣間隔，則由波數域重建任意空間位置xn的離散傅立葉反變換為
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
記系數矩陣為 不規則采樣數據為dn＝P（xn，ω），待求的規則波數為
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
則將公式（3）寫成矩陣形式為油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
在實際的地震數據處理中，由於數據可能不完全是帶限的，所以部分空間波數成分會超出定義的頻帶范圍，這些超出的成分構成了上述正演模型的誤差和噪音，因此在上式中需要雜訊項：
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
Duijndam等［3］通過最小二乘反演估計得到非規則采樣數據d（xn，t）的空間波數 從非規則采樣數據向量d中計算出未知的規則采樣的傅立葉系數向量 可以歸結為求解一個不適定線性反演問題，需要對其進行正則化，藉助一些先驗信息構建出合適的解。可以使用任何所需的參數估計技術，首先我們假設噪音n＝N（0，Cn）和先驗信息
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
都是高斯分布的，噪音的協方差矩陣為Cn，其平均值為零。利用貝葉斯參數反演方法通過尋找後驗概率密度函數油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
的最大值來進行反演，其中 是似然函數， 表示模型向量的先驗分布。分別滿足
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
求 的最大後驗概率解轉化為求下面目標函數的最小化解，建立目標函數
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
最小化目標函數得：
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
這里， 為計算要得到的規則采樣波數，AH為矩陣A的共軛轉置矩陣， 為先驗模型的協方差矩陣。
下面我們對（9）式進行簡化。首先對於地震數據，通常沒有先驗模型信息，因此 一般沒有理由假設空間波數之間的相關性，所以 是對角陣，通常的形式為 是先驗模型的方差。准確地表達噪音的協方差矩陣Cn是不現實的，因為關於噪音詳細的信息是未知的。Duijndam等［3］給出的噪音協方差矩陣為Cn ＝c2W－1，c是常數；W為權系數組成的對角陣，即W＝diag（△xn）。根據離散傅立葉變換理論，應選擇△k≤2π/X，這里X＝∑n△xn，為數據的長度，即X＝xN－1－x0，則（9）式變為
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
其中， 稱為阻尼因子。λ可以通過L－curve或者廣義交叉驗證（GCV）方法確定，最佳的選取方法是［4］：
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
式中：F為用戶給定的常數，表示期望的數據信噪比值。但在實際地震數據重建過程中，λ一般取AHWA矩陣主對角元素的1％。
方程（10）的解稱為最小范數解，也稱為阻尼最小二乘解，該重建方法稱為最小范數傅立葉重建方法（Fourierreconstruction with minimum norminversion，FRMN）［8］。通常非規則采樣時，式（10）的系數矩陣AHWA為病態的Toeplitz矩陣。當不加權矩陣W時，AHA形成的Toeplitz矩陣病態程度受非規則采樣數據之間的緻密程度控制。非規則采樣地震數據中地震道靠得越近，間距△x越小，則Toeplitz矩陣的條件數就越大，求解越困難；加上權系數矩陣W後，AHWA形成的Toeplitz矩陣病態程度受各數據之間的最大空隙△xa的大小控制，△xa＝max（△xn）。系數矩陣AHWA的條件數與最大空隙△xa的關系如下［7］：
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
由上式可見，最大空隙△xa越大，矩陣AHWA病態程度越大，求解方程時就越難以收斂。如果定義空間Nyquist采樣間隔為
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
則當△xa≥3△xNyq時，系數矩陣AHWA已經無法保證迭代收斂［3］。也就是說當非規則采樣地震數據的空隙太大時，不能得到滿意的重建效果。這是傅立葉重建方法的固有弊病。
方程（10）實際求解時一般在頻率域逐頻率求解。在求解方程時，由於低頻部分只需要很小的波數帶寬就能完整重建數據，因此求解方程（10）的規模小，求解相對容易；而高頻部分則需要較大的波數帶寬，因此求解式（10）中的未知數多，求解需要更多的計算時間，而且解也不穩定。因此，利用最小范數傅立葉方法重建的地震數據低頻部分有較高的精度。
2 多步自回歸方法
自回歸模型（預測濾波器）在信號處理領域具有廣泛的應用，它是一種模擬信號演化的技術［9］。自回歸模型可以應用於信號預測和噪音消除［10］、地震道內插［11，12］以及參數頻譜分析［13］等方面。t－x域的線性同相軸變換到f－x域是復正弦函數，該函數可以通過自回歸運算元來模擬。Spitz［11］和Porsani［12］提出了自回歸的重建方法，成功地解決了規則采樣含空間假頻地震數據的插值問題，這些方法是利用低頻信息來恢復數據的高頻部分。但這種方法只適用原始地震數據是空間規則采樣的情況，而且只能用於加密插值。
多步自回歸方法（multistep autoregressive，MSAR）［14］是對Spitz單步預測方法的拓展，使其應用范圍從只能進行道加密插值擴展到能對不規則缺道地震數據進行插值重建。假設地震數據包含有限個線性同相軸，由N個等間距的地震道組成，部分地震道是缺失的。首先將地震數據從時間域變換到頻率域，在f－x域，地震數據可以用向量x（f）表示，xT（f）＝［x1（f），x2（f），x3（f），…，xN（f）］，其中只有M道數據是已知的。分別用n＝｛n（1），n（2），n（3），…，n（M）｝和m＝｛m（1），m（2），m（3），…，m（N－M）｝表示已知數據和未知數據（缺失道）的下標，目標是從xn（f）中恢復出xm（f）。
由L個近似線性的同相軸構成的地震數據在f－x域可表示為
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
式中：△x和△f分別表示空間域和頻率域采樣間隔；pj表示第j個線性同相軸的斜率；Aj表示振幅。對於每個頻率成分f，上式表明在f－x域每個線性同相軸都可以用復諧波函數來表示。考慮當△x′＝α△x，△f′＝△f/α時，得到：
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
此外，通過自回歸模型的形式，可將L個諧波函數的疊加表達為
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
其中P（j，n△f）表示預測濾波因子。同樣的，對於△x′和△f′，有
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
比較表達式（15）、（16）和（17），可得：
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
該式即為多步自回歸方法的基礎。它表明在頻率軸上，對於預測濾波器的每個成分都是可預測的。這就意味著，如果已知某些頻率的預測濾波器，可以預測得到其他頻率的預測濾波器。也就是說，我們可以從傅立葉方法重建得到的無空間假頻的低頻成分的預測濾波器中提取高頻成分的預測濾波器，進而重建得到缺失地震道的高頻成分。
假設用最小范數傅立葉方法重建得到的低頻數據的頻率范圍為f∈［fminr，fmaxr］，在f－x域線性同相軸向前和向後預測的多步預測濾波器可以由下列方程組確定：
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
式中：*表示復共軛；L表示預測濾波器的長度；Pj（f）表示預測濾波器。這些方程對應一種特殊類型的自回歸模型，向前自回歸方程（19）和向後自回歸方程（20）是通過每次向前和向後跳α步來實現的。通過自回歸方程（19）和（20）可以計算出在α步時的預測濾波器Pj（f）。參數α＝1，2，…，αmax是步長因子，用於從頻率f中提取頻率αf的預測濾波器。由於步長因子是一個正整數，很顯然低頻部分為數據重建演算法提供了重要的信息。步長上限αmax依賴於地震道數N和預測濾波器的長度L，該參數由下式給出
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
這里［.］表示取整數部分。
當用多步自回歸方法從已重建的低頻數據x（f）中計算出高頻數據x（f′）的預測濾波器時，同Spitz插值方法相似，可以通過已知的數據和預測濾波器重建出缺失的數據。向前和向後自回歸重建方程為
油氣成藏理論與勘探開發技術（五）
設地震數據中含有L個不同斜率的線性同相軸，地震數據的有效頻帶范圍為［fmin，fmax］，含空間假頻的不規則道缺失的地震數據的重建實施步驟為：(1)首先將原始地震數據變換到f－x域，用最小范數傅立葉方法重建無空間假頻的低頻段［fminr，fmaxr］的地震數據，得到低頻段地震數據，其中fminr＝fminr。對於不含空間假頻的有限帶寬信號而言，FRMN重建得到的地震數據精度較高；(2)運用方程（19）和（20），從低頻段［fminr，fmaxr］中提取高頻成分的預測濾波器Pj（f′）；(3)利用已知道數據和預測濾波器Pj（f′）重建缺失的地震數據；(4)最後將重建後的地震數據反變換回t－x域。遇到復雜地震數據時，同相軸可能不滿足線性假設，可將地震數據劃分成多個小時空窗，分窗口進行重建。綜上所述，從無空間假頻低頻段［fminr，fmaxr］數據中提取缺失數據高頻成分f′＝αf的預測濾波器，然後利用已知數據和預測濾波器計算缺失數據的高頻成分，最終完成多步自回歸重建。
3 理論數據算例
為了驗證多步自回歸演算法的有效性，本節中我們將該演算法應用於理論數據，進行缺失道的重建以及加密插值。第一個理論數據如圖1（a）所示，是由7個不同斜率的線性同相軸組成，其f－k譜含有嚴重的空間假頻（如圖1（c）所示）。共有81道，道間距為5m，時間采樣間隔為2ms，采樣點數為901。圖1（b）是從原始數據中隨機抽去了40％的地震道後得到的數據。圖1（d）是圖1（b）對應的f－k譜。從圖1（d）中可以看出，由於地震道的缺失而導致f－k譜上產生嚴重的噪音。
圖1 多步自回歸法理論算例
圖2 最小范數傅立葉重建方法與多步自回歸法的理論聯合應用（一）
圖2（a）是利用FRMN方法重建出的低頻數據，其f－k譜如圖2（c）所示。重建出的低頻數據被MSAR演算法用於提取預測濾波器來重建數據的高頻部分。對於數據低頻端的預測濾波器是通過預測濾波器的外推來估計。通過FRMN ＋ MSAR方法重建後的完整數據如圖2（b）所示，其對應的f－k譜如圖2（d）所示，與原始數據的f－k譜（圖1（c））相對比，幾乎完全一樣，由采樣缺失引起的噪音已被消除。與原始數據（圖1（a））相對比，缺失的地震道被填充，線性同相軸的連續性也很好。
圖3 最小范數傅立葉重建方法與多步自回歸法的理論聯合應用（二）
圖4 圖3中數據對應的f－k譜
圖5 最小范數傅立葉重建方法與多步自回歸方法的實際應用
為了進一步驗證演算法在復雜情況下的適用性，我們選取了Marmousi模型數據中的一個單炮數據（圖3（a）），共有96道數據，道間距為25m，時間采樣間隔為4ms，采樣點數為750。隨機抽去了其中的27道數據（圖3（b）），用FRMN ＋ MSAR方法對該數據進行重建，圖3（c）顯示的是用FRMN方法重建的低頻段的數據，圖3（d）顯示的是用FRMN＋MSAR方法重建的完整單炮數據。由於模型很復雜，所以原始單炮數據的f－k譜有空間假頻的存在（圖4（a））。圖4（b）是圖3（b）對應的f－k譜，可以看出含有嚴重的噪音。圖4（c）和圖4（d）分別是3（c）和圖3（d）對應的f－k譜。重建後的數據f－k譜中的噪音消除了，缺失的道也得到了填充，而且同相軸也保持很好的連續性。
圖6 圖5中數據對應的f－k譜
4 實際數據算例
本節我們將對實際數據進行重建，以驗證FRMN ＋MSAR方法的適用性。選取一個共偏移距地震剖面的部分數據（圖5（a）），總共有201道，道間距為12.5m，時間采樣間隔為2ms。隨機抽去其中30％的地震道（圖5（b））進行重建，圖5（c）展示的是FRMN方法重建的低頻段的數據，圖5（d）展示的是FRMN＋MSAR重建的完整數據。圖6（a）、圖6（b）、圖6（c）和圖6（d）分別是圖5（a）、圖5（d）、圖5（c）和圖5（d）對應的f－k譜。可以看出，重建前後數據f－k譜的變化很小。重建後數據的缺失道得到了恢復，且同相軸連續，重建的結果接近於原始數據。
5 結論
本文在最小范數傅立葉重建方法的基礎上，結合多步自回歸方法進行含空間假頻地震數據的重建。多步自回歸方法是對Spitz方法的拓展，也是基於近似線性同相軸的假設。因此在處理復雜地震數據的時候一般難以滿足這個假設，這時可採用小時空窗的方法來進行計算，在小時空窗中可以認為滿足近似線性的假設。但是時空窗太小會使數據量不足，反而會導致重建的結果不好或可能無法重建。眾所周知，為了能夠求解大多數的地球物理問題，必須基於某些假設條件。一般在處理實際數據時，都是部分地違背這些假設的。事實上，對於中等程度彎曲的同相軸本方法同樣能取得比較理想的重建結果，說明本文的重建方法具有很好的穩定性。實際上，對於含有大間距空道的地震數據，該方法同樣取得了較好的重建結果。通過對一些理論數據和實際數據進行重建實驗，驗證了本文中重建方法的有效性和實用性。另外，地震數據的重建效果同原始數據的復雜程度以及譜的性質、缺失地震道的數量及位置和缺失道間距的大小等多方面原因有關，需要進一步研究這些因素對重建演算法的影響。
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