蒙特卡洛演算法應用

① 蒙特卡洛模擬法的應用范圍是什麼

蒙特卡洛模擬法的應用領域主要有：

1.直接應用蒙特卡洛模擬:應用大規模的隨機數列來模擬復雜系統，得到某些參數或重要指標。

2.蒙特卡洛積分:利用隨機數列計算積分，維數越高，積分效率越高。

3.MCMC：這是直接應用蒙特卡洛模擬方法的推廣，該方法中隨機數的產生是採用的馬爾科夫鏈形式。

蒙特卡洛(Monte Carlo)模擬是一種通過設定隨機過程，反復生成時間序列，計算參數估計量和統計量，進而研究其分布特徵的方法。

具體的，當系統中各個單元的可靠性特徵量已知，但系統的可靠性過於復雜，難以建立可靠性預計的精確數學模型或模型太復雜而不便應用時，可用隨機模擬法近似計算出系統可靠性的預計值；隨著模擬次數的增多，其預計精度也逐漸增高。

由於涉及到時間序列的反復生成，蒙特卡洛模擬法是以高容量和高速度的計算機為前提條件的，因此只是在近些年才得到廣泛推廣。 蒙特卡洛(Monte Carlo)模擬這個術語是二戰時期美國物理學家Metropolis執行曼哈頓計劃的過程中提出來的。

蒙特卡洛模擬方法的原理是當問題或對象本身具有概率特徵時，可以用計算機模擬的方法產生抽樣結果，根據抽樣計算統計量或者參數的值；隨著模擬次數的增多，可以通過對各次統計量或參數的估計值求平均的方法得到穩定結論。

② 蒙特卡洛模擬法的應用范圍,可以進行哪些

蒙特卡洛模擬法的應用領域
蒙特卡洛模擬法的應用領域主要有：
1.直接應用蒙特卡洛模擬:應用大規模的隨機數列來模擬復雜系統，得到某些參數或重要指標。
2.蒙特卡洛積分:利用隨機數列計算積分，維數越高，積分效率越高。
3.MCMC:這是直接應用蒙特卡洛模擬方法的推廣，該方法中隨機數的產生是採用的馬爾科夫鏈形式。

蒙特卡洛(Monte Carlo)模擬是一種通過設定隨機過程，反復生成時間序列，計算參數估計量和統計量，進而研究其分布特徵的方法。具體的，當系統中各個單元的可靠性特徵量已知，但系統的可靠性過於復雜，難以建立可靠性預計的精確數學模型或模型太復雜而不便應用時，可用隨機模擬法近似計算出系統可靠性的預計值；隨著模擬次數的增多，其預計精度也逐漸增高。由於涉及到時間序列的反復生成，蒙特卡洛模擬法是以高容量和高速度的計算機為前提條件的，因此只是在近些年才得到廣泛推廣。
蒙特卡洛(Monte Carlo)模擬這個術語是二戰時期美國物理學家Metropolis執行曼哈頓計劃的過程中提出來的。
蒙特卡洛模擬方法的原理是當問題或對象本身具有概率特徵時，可以用計算機模擬的方法產生抽樣結果，根據抽樣計算統計量或者參數的值；隨著模擬次數的增多，可以通過對各次統計量或參數的估計值求平均的方法得到穩定結論。
蒙特卡洛模擬法求解步驟
應用此方法求解工程技術問題可以分為兩類:確定性問題和隨機性問題。
解題步驟如下：
1.根據提出的問題構造一個簡單、適用的概率模型或隨機模型，使問題的解對應於該模型中隨機變數的某些特徵（如概率、均值和方差等），所構造的模型在主要特徵參量方面要與實際問題或系統相一致
2 .根據模型中各個隨機變數的分布，在計算機上產生隨機數，實現一次模擬過程所需的足夠數量的隨機數。通常先產生均勻分布的隨機數，然後生成服從某一分布的隨機數，方可進行隨機模擬試驗。
3. 根據概率模型的特點和隨機變數的分布特性，設計和選取合適的抽樣方法，並對每個隨機變數進行抽樣（包括直接抽樣、分層抽樣、相關抽樣、重要抽樣等）。
4.按照所建立的模型進行模擬試驗、計算，求出問題的隨機解。
5. 統計分析模擬試驗結果，給出問題的概率解以及解的精度估計。

來源：
http://..com/link?url=QBU52M_ugiFt5IJqz2ucnChRqm2G76zn9_Pei

③ 蒙特卡洛演算法的實際應用舉例

比較簡單的有隨機抽樣，通過坐標的變換產生球面，圓面，正方體面等等所需要的抽樣。在某些計算機模擬過程中，可以隨機產生雜訊，比如說水中花粉隨機行走之類的問題，可以用來隨機產生外界水分子的作用力，用來模擬現實情況。當然也可以用這種方式來近似某些科學計算，最簡單的例子就是近似計算積分。對於某些計算機無法完全枚舉的優化問題，也可以用蒙特卡洛方法得到較好的解，常見的比如模擬退火，量子退火等優化方法，都用到了蒙特卡洛演算法。

④ 蒙特卡洛方法在數學建模中有什麼作用

Monte
Carlo
方法的應用有兩種途徑：模擬和取樣。模擬是指提供實際隨機現象的數學上的模仿的方法。一個典型的例子就是對中子進入反應堆屏障的運動進行模擬，用隨機游動來模仿中子的鋸齒形路徑。取樣是指通過研究少量的隨機的子集來演繹大量元素的特性的方法。例如，在上的平均值可以通過間歇性隨機選取的有限個數的點的平均值來進行估計。這就是數值積分的Monte
Carlo
方法。MCM已被成功地用於求解微分方程和積分方程，求解本徵值，矩陣轉置，以及尤其用於計算多重積分。

⑤ 能不能簡單的給我解釋一下蒙特卡羅演算法

以概率和統計的理論、方法為基礎的一種計算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯系，用電子計算機實現統計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統計模擬法或統計試驗法。
蒙特卡羅是摩納哥的一個城市，以賭博聞名於世界。蒙特卡羅法借用這一城市的名稱是為了象徵性地表明該方法的概率統計的特點。
蒙特卡羅法作為一種計算方法，是由S.M.烏拉姆和J.馮·諾伊曼在20世紀40年代中葉為研製核武器的需要而首先提出來的。在此之前，該方法的基本思想實際上早已被統計學家所採用了。例如，早在17世紀，人們就知道了依頻數來決定概率的方法。
20世紀40年代中葉，出現了電子計算機，使得用數學方法模擬大量的試驗成為可能。另外，隨著科學技術的不斷發展，出現了越來越多的復雜而困難的問題，用通常的解析方法或數值方法都很難加以解決。蒙特卡羅法就是在這些情況下，作為一種可行的而且是不可缺少的計算方法被提出和迅速發展起來的。
基本原理 考慮一個射擊運動員的射擊成績 G。令x表示彈著點到靶心的距離，g(x)表示得分，而�0�6(x)表示該運動員的彈著點的分布密度，則
。
另一方面，如果該運動員進行了實彈射擊，彈著點依次為X1，X2，…，XN，則平均得分為
。
很明顯，弿N是G 的一個近似估計。蒙特卡羅法正是用弿N作為G 的近似估計。
假設 x不是一維空間的點，而是一個S 維空間的點(x1，x2，…，xs)，則上述積分變為
。
蒙特卡羅法計算此積分是用
作為G 的近似估計，式中(X1n，X2n，…，Xsn)是由�0�6(x1，x2，…，xs)中抽取的第n 個樣本點。同上述一維積分比較，相同點是，都以某隨機變數的N 個獨立抽樣值的算術平均作為近似估計；不同點僅僅是，決定隨機量的樣本點不同，一個是一維空間的點，另一個是S 維空間的點。由上式可見， 決定近似估計 弿N好壞的僅僅是隨機變數g(x)或g(x1，x2，…，xs)的分布情況，而與它們是由怎樣的樣本點對應過來的無關。換言之，如果隨機變數g(x)和g(x1，x2，…，xs)具有相同分布，在不計抽樣，不計計算g(x)和g(x1，x2，…，xs)的差別的情況下，S維情況與一維情況無任何差異。這是其他計算方法所不具有的、一個非常重要的性質。
蒙特卡羅法解題的一般過程是，首先構成一個概率空間；然後在該概率空間中確定一個隨機變數g(x)，其數學期望
正好等於所要求的值G，其中F(x)為x的分布函數；最後，以所確定的隨機變數的簡單子樣的算術平均值
作為G 的近似估計。由於其他原因，如確定數學期望為G 的隨機變數g(x)有困難，或為其他目的，蒙特卡羅法有時也用G 的漸近無偏估計代替一般過程中的無偏估計弿N來作為G 的近似估計。
收斂性、誤差和費用 蒙特卡羅法的近似估計弿N依概率1收斂於G的充分必要條件是隨機變數g(x)滿足
。
如果隨機變數g(x)滿足條件
，
式中1≤r<2，則
，
亦即弿N依概率1收斂於G 的速度為。總之，蒙特卡羅法的收斂性取決於所確定的隨機變數是否絕對可積，而蒙特卡羅法的收斂速度取決於該隨機變數是幾次絕對可積的。
根據中心極限定理，只要隨機變數g(x)具有有限的異於零的方差σ2，當N 足夠大時便有蒙特卡羅法的誤差公式如下：
，
式中1-α為置信水平，x由置信水平所惟一確定。根據上述誤差公式，為滿足問題的誤差和置信水平的要求，子樣容量N必須大於(x/ε)2σ2，其中ε表示誤差。進一步假設每觀察一個樣本所需要的費用是C，則蒙特卡羅法的費用是。這一結果表明，在相同誤差和置信水平要求下，一個蒙特卡羅法的優劣完全取決於σ2C 的值的大小，它的值越小相應的方法越好，或者說，蒙特卡羅法的效率與σ2C 成反比。
提高效率的方法
降低方差技巧 降低方差是提高蒙特卡羅法效率的重要途徑之一。考慮二重積分
，
式中�0�6(x，y)為x和y的分布密度函數，g(x，y)的方差存在。蒙特卡羅法計算Eg的一般技巧是用g=g(x， y)作為所確定的隨機變數，其中x和y服從分布�0�6(x，y)。降低方差的具體辦法有：
① 統計估計技巧用�0�6(x) 和�0�6x(y)分別表示分布�0�6(x，y)的邊緣分布和條件分布。計算Eg的統計估計技巧是用y的統計估計量
作為所確定的隨機變數，其中x服從分布�0�6(x)。g的方差恰好為兩個方差的和，它們分別是對隨機變數x和隨機變數y採用抽樣辦法而產生的。gSE的方差正好等於前者，因此gSE的方差一定比g的方差小。統計估計技巧的一般原理是，對於問題中所出現的諸隨機變數，能夠確定其相應的統計估計量的，就不要再對它們採用隨機抽樣的辦法。
② 重要抽樣技巧引入任意分布密度函數�0�6*(x，y)，則
的數學期望同樣為Eg，其中x和y服從分布�0�6*(x，y)。當�0�6*(x，y)～|g(x，y)|�0�6(x，y)時，gIS的方差達到最小。在g(x，y)≥0時，方差等於零，gIS實際上變成了與其中出現的隨機變數無關的常數。重要抽樣技巧的一般原理是，盡量使所確定的隨機變數與問題中所出現的隨機變數關系不大。
③ 相關抽樣技巧考慮一個新的、積分值已知的二重積分
，
可得知
的數學期望同樣為Eg，式中x和y服從分布�0�6(x，y)，α為任意常數。當為隨機變數g(x，y)和g*(x，y)的均方差σg、λg*之比時，gCS的方差達到最小。此時的方差等於g 的方差 1-ρ2倍，ρ為隨機變數g(x，y)和g*(x，y)的相關系數。當ρ=1時，方差變為零。相關抽樣技巧的一般原理是，尋找一個數學期望已知的且與原確定的隨機變數正相關的隨機變數，使相應的相關系數盡量接近1，然後用這兩個隨機變數的線性組合作為蒙特卡羅法最終所確定的隨機變數。
降低方差的技巧還有對偶變數技巧、系統抽樣技巧和分層抽樣技巧等。對偶變數技巧的一般原理是，除了原確定的隨機變數外，尋找另一個（或多個）具有相同數學期望的隨機變數，使得它們之間盡量是對偶負相關的，然後用它們的線性組合作為蒙特卡羅法最終所確定的隨機變數。系統抽樣技巧的一般原理是，對問題中所出現的某些隨機變數按相應分布所確定的比例進行抽樣，而不是進行隨機抽樣。分層抽樣技巧的一般原理是，對問題中所出現的某些隨機變數進行分層，盡量使所確定的隨機變數在各層中相對平穩，各層間的抽樣按相應分布所確定的比例進行。
其他途徑 為了提高蒙特卡羅法的效率，除了簡單地降低方差外，還有為降低費用設計的分裂和輪盤賭技巧，為逐步降低方差而設計的多極抽樣技巧，為改善收斂速度而設計的擬蒙特卡羅法，為計算條件期望而設計的條件蒙特卡羅法等等。分裂和輪盤賭技巧的一般原理是，將x的積分區域分為重要和非重要兩部分，對於抽樣確定的X，當它屬於重要區域時，對相應的Y 進行多次抽樣；當它屬於非重要區域時，只有在賭獲勝時才對相應的Y 進行抽樣。多級抽樣技巧的一般原理是，在進行某一級抽樣計算的同時，根據它所提供的抽樣觀察值，設計更好的抽樣技巧，用新設計的抽樣技巧進行新的一級的抽樣計算，依次類推，最後用各級的結果的線性組合作為蒙特卡羅法的近似估計。擬蒙特卡羅法與一般蒙特卡羅法的最大區別是，前者不像後者那樣要求子樣 g(X1)，g(X2)，…，g(Xn)是相互獨立的。用一致分布點列替代由隨機數組成的點列的所謂數論方法，實際上就是一種擬蒙特卡羅法。條件蒙特卡羅法的一般原理是，首先將條件期望問題轉化成為非條件期望問題，然後用解非條件期望的一般方法來解決條件期望計算問題。由於條件蒙特卡羅法中引進了任意分布密度函數，因此，可以選取合適的分布密度函數來實現進一步降低方差的目的。
優缺點 蒙特卡羅法的最大優點是，在方差存在的情況下，問題的維數不影響它的收斂速度，而隻影響它的方差；問題幾何形狀的復雜性對它的影響不大；它不象其他數值方法那樣對問題一定要進行離散化處理，而是常可以進行連續處理；它的程序結構簡單，所需計算機存貯單元比其他數值方法少，這對於高維問題差別尤其顯著。蒙特卡羅法的最大缺點是，對於維數少的問題它不如其他數值方法好；它的誤差是概率誤差，而不是一般意義下的誤差。
應用 隨著電子計算機的迅速發展和科學技術問題日趨復雜，蒙特卡羅法的應用越來越廣泛，已經滲透到科學技術的各個領域。
在一些典型數學問題方面的應用主要有：多重積分計算、線性代數方程組求解、矩陣求逆、常微分方程邊值問題求解、偏微分方程求解、非齊次線性積分方程求解、本徵值計算和最優化計算等等。其中的多重積分計算、非齊次線性積分方程求解和齊次線性積分方程本徵值計算等，不僅非常有代表性，而且有很大的實用價值，對於高維問題常比其他數值方法好。
在一些實際問題方面的應用主要有，屏蔽計算、核臨界安全計算、反應堆物理計算、微擾計算、實驗核物理計算、高能物理計算、核物理計算、統計物理計算、真空技術、公用事業、資訊理論、系統模擬、可靠性計算和計算機科學等等。其中的屏蔽計算、核臨界安全計算、微擾計算、實驗核物理計算和統計物理計算等，不僅非常有代表性，而且應用得很廣泛，按蒙特卡羅法解決這些問題的能力講，已經超過了其他計算方法的水平。

⑥ 蒙特卡洛在交通燈方面的應用

蒙特卡洛演算法就是通過大量的隨機模擬，在隨機的數據里找到符合條件的數據，計算他的比例，從而推出解的近似值，比如，我要計算一個矩形里的不規則圖形的面積，我可以通過在矩形里生成大量隨機點，然後計算隨機點在不規則圖形里的概率，乘以矩形面積得出不規則圖形的面積。

⑦ 蒙特卡羅演算法是什麼

蒙特卡羅（MonteCarlo）方法，或稱計算機隨機模擬方法，是一種基於「隨機數」的計算方法。這一方法源於美國在第二次世界大戰進行研製原子彈的「曼哈頓計劃」。

該計劃的主持人之一、數學家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。

主要是：

使用隨機數（ 或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。 將所求解的問題同一定的概率模型相聯系， 用電子計算機實現統計模擬或 抽樣 ，以獲得問題的近似解。 為象徵性地表明這一方法的概率統計特徵， 故借用賭城蒙特卡羅命名。

⑧ 蒙特卡洛演算法能用來干什麼

蒙特卡洛方法在金融工程學，宏觀經濟學，生物醫學，計算物理學（如粒子輸運計算、量子熱力學計算、空氣動力學計算）等領域應用廣泛。

一般是計算一些復雜的隨機過程的路徑，取平均值，因為無法顯式計算出解析的函數表達式（很多是復雜概率密度函數的數學期望）
還可以計算數值積分
維數越高的積分越顯出蒙特卡洛演算法相對於高斯積分的優越性

不明白可追問

⑨ 蒙特卡洛方法原理

蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也稱統計模擬方法，是二十世紀四十年代中期由於科學技術的發展和電子計算機的發明，而被提出的一種以概率統計理論為指導的一類非常重要的數值計算方法。它是以概率統計理論為基礎, 依據大數定律( 樣本均值代替總體均值) , 利用電子計算機數字模擬技術,解決一些很難直接用數學運算求解或用其他方法不能解決的復雜問題的一種近似計演算法。蒙特卡洛方法在金融工程學，宏觀經濟學，計算物理學（如粒子輸運計算、量子熱力學計算、空氣動力學計算）等領域應用廣泛。
其基本原理如下：由概率定義知，某事件的概率可以用大量試驗中該事件發生的頻率來估算，當樣本容量足夠大時，可以認為該事件的發生頻率即為其概率。因此，可以先對影響其可靠度的隨機變數進行大量的隨機抽樣，然後把這些抽樣值一組一組地代入功能函數式，確定結構是否失效，最後從中求得結構的失效概率。蒙特卡洛法正是基於此思路進行分析的。
設有統計獨立的隨機變數Xi(i=1，2，3，„，k)，其對應的概率密度函數分別為fx1，fx2，„，fxk，功能函數式為Z=g(x1，x2，„，xk)。首先根據各隨機變數的相應分布，產生N組隨機數x1，x2，„，xk值，計算功能函數值Zi=g(x1，x2，„，xk)(i=1，2，„，N)，若其中有L組隨機數對應的功能函數值Zi≤0，則當N∞時，根據伯努利大數定理及正態隨機變數的特性有：結構失效概率，可靠指標。

⑩ 蒙特卡洛演算法

蒙特·卡羅方法（Monte
Carlo
method），也稱統計模擬方法，是二十世紀四十年代中期由於科學技術的發展和電子計算機的發明，而被提出的一種以概率統計理論為指導的一類非常重要的數值計算方法。是指使用隨機數（或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。與它對應的是確定性演算法。蒙特·卡羅方法在金融工程學，宏觀經濟學，計算物理學（如粒子輸運計算、量子熱力學計算、空氣動力學計算）等領域應用廣泛。
分子模擬計算
使用蒙特·卡羅方法進行分子模擬計算是按照以下步驟進行的：1．
使用隨機數發生器產生一個隨機的分子構型。2．
對此分子構型的其中粒子坐標做無規則的改變，產生一個新的分子構型。3．
計算新的分子構型的能量。4．
比較新的分子構型於改變前的分子構型的能量變化，判斷是否接受該構型。若新的分子構型能量低於原分子構型的能量，則接受新的構型，使用這個構型重復再做下一次迭代。
若新的分子構型能量高於原分子構型的能量，則計算玻爾茲曼因子，並產生一個隨機數。若這個隨機數大於所計算出的玻爾茲曼因子，則放棄這個構型，重新計算。
若這個隨機數小於所計算出的玻爾茲曼因子，則接受這個構型，使用這個構型重復再做下一次迭代。5．
如此進行迭代計算，直至最後搜索出低於所給能量條件的分子構型結束。