求二項式系數的演算法

㈠ 二項式公式 謝謝

二項式公式為:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n.

二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓於1664-1665年提出。

公式為:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n

式中,C(n,i)表示從n個元素中任取i個的組合數=n!/(n-i)!i!

(1)求二項式系數的演算法擴展閱讀：

此定理指出:

1、(a+b)^n的二項展開式共有n+1項，其中各項的系數Cnr(r∈{0，1，2，……，n})叫做二項式系數。等號右邊的多項式叫做二項展開式。

2、二項展開式的通項公式(簡稱通項)為C（n，r）(a)^(n-r)b^r，用Tr+1表示(其中"r+1"為角標)，即通項為展開式的第r+1項(如下圖)，即n取i的組合數目。

㈡ 二項式的系數怎麼算的

解如圖。

㈢ 二項式定理中各項系數和公式是什麼

二項式定理 binomial theorem
二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓於1664、1665年間提出。
此定理指出：
其中，二項式系數指...
等號右邊的多項式叫做二項展開式。
二項展開式的通項公式為：...
其i項系數可表示為:...，即n取i的組合數目。
因此系數亦可表示為帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)
二項式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n為正整數時的展開式。(a+b)n的系數表為：
1 n=0
1 1 n=1
1 2 1 n=2
1 3 3 1 n=3
1 4 6 4 1 n=4
1 5 10 10 5 1 n=5
1 6 15 20 15 6 1 n=6
…………………………………………………………
（左右兩端為1，其他數字等於正上方的兩個數字之和）
在我國被稱為「賈憲三角」或「楊輝三角」，一般認為是北宋數學家賈憲所首創。它記載於楊輝的《詳解九章演算法》(1261)之中。在阿拉伯數學家卡西的著作《算術之鑰》(1427)中也給出了一個二項式定理系數表，他所用的計算方法與賈憲的完全相同。在歐洲，德國數學家阿皮安努斯在他1527年出版的算術書的封面上刻有此圖。但一般卻稱之為「帕斯卡三角形」，因為帕斯卡在1654年也發現了這個結果。無論如何，二項式定理的發現，在我國比在歐洲至少要早300年。
1665年，牛頓把二項式定理推廣到n為分數與負數的情形，給出了的展開式。
二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數列求和，以及差分法中有廣泛的應用。
1．熟練掌握二項式定理和通項公式，掌握楊輝三角的結構規律
二項式定理:叫二項式系數（0≤r≤n）.通項用Tr+1表示，為展開式的第r+1項，且, 注意項的系數和二項式系數的區別.
2．掌握二項式系數的兩條性質和幾個常用的組合恆等式.
①對稱性：
②增減性和最大值：先增後減
n為偶數時，中間一項的二項式系數最大，為：Tn/2＋1
n為奇數時，中間兩項的二項式系數相等且最大，為：T(n+1)/2＋1
3．二項式從左到右使用為展開；從右到左使用為化簡，從而可用來求和或證明.掌握「賦值法」這種利用恆等式解決問題的思想.
證明：n個（a+b）相乘，是從（a+b）中取一個字母a或b的積。所以（a+b）^n的展開式中每一項都是)a^k*b^(n-k)的形式。對於每一個a^k*b^(n-k)，是由k個(a+b)選了a,（a的系數為n個中取k個的組合數（就是那個C右上角一個數，右下角一個數））。（n-k）個(a+b)選了b得到的（b的系數同理）。由此得到二項式定理。
二項式系數之和:
2的n次方
而且展開式中奇數項二項式系數之和等於偶數項二項式系數之和等於2的(n-1)次方
二項式定理的推廣：
二項式定理推廣到指數為非自然數的情況：
形式為 推廣公式
注意：|x|<1
(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n
二項式的遞推

二項式展開後各項的系數依次為：，， …，.
其中，第1個數=1，從第2個數開始，後面的每一個數都可以用前面的那個數表示為
這就是二項式展開「系數遞推」的依據. 二項式系數遞推實際上是組合數由到的遞推.
加法定理 來自二項式性質

將楊輝三角形中的每一個數，都用組合符號表示出來，
則得圖右的三角形. 自然，「肩挑兩數」的性質可寫成組合的
加法式. 如
這里，（1）相加兩數和是「下標相等，上標差1」
的兩數；（2）其和是「下標增1，上標選大」的組合數.
一般地，楊輝三角形中第n+1行任意一數，「肩挑
兩數」的結果為組合的加法定理：
有了組合的加法定理，二項式(a+b)展開式的證明就變得非常簡便了.
數形趣遇 算式到算圖

二項式定理與楊輝三角形是一對天然的數形趣遇，它把數形結合帶進了計算數學. 求二項式展開式系數的問題，實際上是一種組合數的計算問題. 用系數通項公式來計算，稱為「式算」；用楊輝三角形來計算，稱作「圖算」.
【圖算】 常數項產生在展開後的第5、6兩項. 用「錯位加法」很容易「加出」楊輝三角形第8行的第5個數. 簡圖如下：
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
…… 15 20 15 6 …
1 …… 35 35 21 ……
… 70 56 …
圖上得到=70，==56.
故求得展開式中常數項為70 – 2×56 = – 42
【點評】 「式算」與「圖算」趣遇，各揚所長，各補所短.<, /o:p>
楊輝三角形本來就是二項式展開式的算圖. 對楊輝三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行：
1，6，15，20，15，6，1
那麼他可以心算不動筆，對本題做到一望而答.
楊輝三角形在3年內考了5個（相關的）題目，這正是高考改革強調「多想少算」、「邏輯思維與直覺思維並重」的結果. 這5個考題都與二項式展開式的系數相關，說明數形結合思想正在高考命題中進行深層次地滲透.

㈣ 求二項式系數的和與各項系數的和的公式是什麼

二項式的各項系數之和，可以採用賦值法。

（ax十b）ⁿ二項式系數和

2ⁿ系數和（a+b）ⁿ，（即x=1時）

把x的位置用1代就是各項系數的和。

㈤ 二項式的系數有沒有快速的演算法

母都等於1,則計算出的結果就等於二項式展開式的各項系數的和. 如: (5x-1/根號x)的n次方的展開式各系數之和為M,其中M的演算法

㈥ 二項式公式是什麼

只有兩項的多項式，即兩個單項式的和。

形式

1、線性形式

如果二項式的形式為ax+b（其中a與b是常數，x是變數），那麼這個二項式是線性的。

2、復數形式

復數是形式為a+bi的二項式，其中i是-1的平方根。

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發展簡史

二項式定理最初用於開高次方。在中國，成書於1世紀的《九章算術》提出了世界上最早的多位正整數開平方、開立方的一般程序。11世紀中葉，賈憲在其《釋鎖算書》中給出了「開方作法本原圖」，滿足了三次以上開方的需要。

此圖即為直到六次冪的二項式系數表，但是，賈憲並未給出二項式系數的一般公式，因而未能建立一般正整數次冪的二項式定理。13世紀，楊輝在其《詳解九章演算法》中引用了此圖，並註明了此圖出自賈憲的《釋鎖算書》。

賈憲的著作已經失傳，而楊輝的著作流傳至今，所以今稱此圖為「賈憲三角」或「楊輝三角」。14世紀初，朱世傑在其《四元玉鑒》中復載此圖，並增加了兩層，添上了兩組平行的斜線。

在阿拉伯，10世紀，阿爾 ·卡拉吉已經知道二項式系數表的構造方法：每一列中的任一數等於上一列中同一行的數加上該數上面一數。11~12世紀奧馬海牙姆將印度人的開平方、開立方運算推廣到任意高次，因而研究了高次二項展開式。

13世紀納綏爾丁在其《算板與沙盤演算法集成》中給出了高次開方的近似公式，並用到了二項式系數表。15世紀，阿爾 ·卡西在其《算術之鑰》中介紹了任意高次開方法，並給出了直到九次冪的二項式系數表，還給出了二項式系數表的兩術書中給出了一張二項式系數表，其形狀與賈憲三角一樣。

16世紀，許多數學家的書中都載有二項式系數表。1654年，法國的帕斯卡最早建立了一般正整數次冪的二項式定理，因此算術三角形在西方至今仍以他的名字命名。

1665年，英國的牛頓將二項式定理推廣到有理指數的情形。18世紀，瑞士的歐拉和義大利的卡斯蒂隆分別採用待定系數法和「先異後同」的方法證明了實指數情形的二項式定理。

㈦ 二項式各項系數之和怎麼求

二項式的各項系數之和，可以採用賦值法。

二項式系數之和公式為C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。

二項式系數，或組合數，是定義為形如(1 + x)*6*7展開後x的系數（其中n為自然數，k為整數）。從定義可看出二項式系數的值為整數。

項式系數符合等式可以由其公式證出，也可以從其在組合數學的意義推導出來。如第一式左項表示從n+1件選取k件的方法數，這些方法可分為沒有選取第n+1件，即是從其餘n件選取k件；和有選取第n+1件，即是從其餘n件選取11件。而第二式則是每個從n件選取k件的方法，也可看為選取其餘n+1k件的方法。

(7)求二項式系數的演算法擴展閱讀

三角形本來就是二項式展開式的算圖. 對楊輝三角形熟悉的考生，比如熟悉到了它的第6行：

1，6，15，20，15，6，1

三角形在3年內考了5個（相關的）題目，這正是高考改革強調「多想少算」、「邏輯思維與直覺思維並重」的結果. 這5個考題都與二項式展開式的系數相關，說明數形結合思想正在高考命題中進行深層次地滲透.

㈧ 二項式展開式中,某項的系數怎麼求

二項式系數就是前面那個acb
，展開式系數的話還要乘上每項自帶的常數。
舉個例子吧，（x+2)^2，第二項的二次項系數就是2c1=2，展開式系數就是2c1*2=4

㈨ 排列組合求二項式系數

(a+b)^n按a的降冪排列，第k項的系數是：
C(k,n)
舉例說，(a+b)^3按a的降冪排列，所有項的系數依次是：
C(0,3)，C(1,3)，C(2,3)，C(3,3)，
即分別是：
1，3，3，1